中考数学复习专题八二次函数的综合探究(压轴题)

第二部分 专题综合强化
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1 ． (2017 潍 坊 ) 如 图 1 ， 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 经 过 平 行 四 边 形 ABCD 的 顶 点 A(0,3)，B(－1,0)，D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l，将平行四 边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线 上一动点，设点P的横坐标为t.
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如答图 1，作 PH⊥x 轴，交 l 于点 M，作 FN⊥PH，
∵P 点横坐标为 t，
∴P(t，－t2＋2t＋3)，M(t，－35t＋95)，
∴PM＝－t2＋2t＋3－(－35t＋95)＝－t2＋153t＋65，
答图1
∴S△PEF＝S△PFM＋S△PEM＝12PM·FN＋12PM·EH＝12PM·(FN＋EH)＝12(－t2＋153t＋
答图3
∴APKQ＝KPQE，即－t2＋t2t＋3＝－3t2－＋t2t，即 t2－t－1＝0，解得 t＝1＋2 5或 t＝1－2 5
＜－52(舍去)，
综上，可知存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或1＋2
5 .
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类型2 二次函数与规律探究性问题 特征与方法：抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或年 份，题目新颖，考查的知识点较多，有很浓的初高中衔接的味道，成为江西省中考 数学试题的一道主菜．解决此类问题应遵循从特殊到一般的思维方法，也就是从简 单情况出发探究抛物线上关键点满足的规律，然后归纳出一般情况．
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【例2】 (2018原创)在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：
A1(0,1)，A2(1,0)，A3(2,1)，A4(3,0)，A5(4,1)….依此规律可知，
当n为奇数时，有点An (n－1,1)，当n为偶数时，有点An(n－1,0)．
抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过
(1)求抛物线的解析式； (2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根； (3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明 理由．
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图1
解：(1)由题意可得ac＝－3b，＋c＝0， 4a＋2b＋c＝3，
a＝－1， 解得b＝2，
c＝3， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3；
答图2
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②当∠APE＝90°时，如答图 3，作 PK⊥x 轴，AQ⊥PK，
则 PK＝－t2＋2t＋3，AQ＝t，KE＝3－t，
PQ＝－t2＋2t＋3－3＝－t2＋2t，
∵∠APQ＋∠KPE＝∠APQ＋∠PAQ＝90°，
∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA， ∴△PKE∽△AQP，
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【思路点拨】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性 质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思 想．(1)由条件可求得A，B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)可先求 得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH＝45°，用m可表示出PG的 长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)分AC为边和 AC 为 对 角 线 ， 当 AC 为 边 时 ， 过 M 作 对 称 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F ， 则 可 证 得 △MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M 点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
则∠ALF＝∠ACO＝∠FNM， 在△MFN 和△AOC 中， ∠ ∠MFNFMN＝ ＝∠ ∠AAOCOC， ， MN＝AC， ∴△MFN≌△AOC(AAS)， ∴MF＝AO＝3，∴点 M 到对称轴的距离为 3，
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又∵y＝－23x2－43x＋2， ∴抛物线的对称轴为 x＝－1， 设 M 点坐标为(x，y)，则|x＋1|＝3，解得 x＝2 或 x＝－4， 当 x＝2 130)或(－4，－130)；
备用图
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(2)∵A(0,3)，D(2,3)，∴BC＝AD＝2.
∵B(－1,0)，∴C(1,0)，∴线段 AC 的中点为(12，32)， ∵直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等两部分，∴直线 l 过平行四边形的
对称中心，
∵A，D 关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为 x＝1，∴E(3,0)，
A3，A4，A5三点，……，抛物线Cn经过An，An＋1，An＋2.
(1)直接写出抛物线Cn的解析式；
(2) 若 点 E(e ， f1) ， F(e ， f2) 分 别 在 抛 物 线 C27 ， C28 上 ， 当 e ＝ 29 时 ， 请 判 断
△A26EF是什么形状的三角形并说明理由；
(3)若直线x＝m分别交x轴，抛物线C2
备用图
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【解答】 (1)根据顶点式容易求出C1，C2，C3，C4的解析式分别为： y1＝(x－1)2 y3＝(x－3)2 ……
y2＝－(x－2)2＋1 y4＝－(x－4)2＋1 ……
由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：
当n为奇数时，yn＝(x－n)2； 当n为偶数时，yn＝－(x－n)2＋1；
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(2)在 y＝－23x2－43x＋2 中，令 y＝2 可得 2＝－23x2－43x＋2，解得 x＝0 或 x＝－2， ∴E(－2,2)，∴直线 OE 的解析式为 y＝－x，由题意可得 P(m，－23m2－43m＋2)， ∵PG∥y 轴，∴G(m，－m)， ∵P 在直线 OE 的上方，∴PG＝－23m2－43m＋2－(－m)＝－23m2－13m＋2＝－23(m ＋14)2＋4294， ∵直线 OE 的解析式为 y＝－x，∴∠PGH＝∠COE＝45°，
式C1，C2，C3，C4的图象，再根据顶点式求出它们的解析式，然后分n为奇数和偶数 分别写出Cn的解析式；(2)由(1)的规律可知抛物线C27，C28的解析式应为y27＝(x－27)2, y28＝－(x－28)2＋1.则得到点E(29,4)，F(29,0)，A26(25,0)，根据坐标求出角度和线段 的长度可得△A26EF是等腰直角三角形；(3)分两种情况：在点A2 018(2 017,0)的左侧或 右侧，根据三角函数的定义即可得到sin∠PA2 018N的值．
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②当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K， ∵A(－3,0)，C(0,2)，∴K(－32，1)， ∵点 N 在对称轴上，∴点 N 的横坐标为－1， 设 M 点横坐标为 x，∴x＋(－1)＝2×(－32)＝－3，解得 x＝－2，此时 y＝2， ∴M(－2,2)； 综上可知，点 M 的坐标为(2，－130)或(－4，－130)或(－2,2)．
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【解答】 (1)∵矩形 OBDC 的边 CD＝1，∴OB＝1. ∵AB＝4，∴OA＝3，∴A(－3,0)，B(1,0)， 把 A，B 两点坐标代入抛物线解析式可得a9＋ a－b＋ 3b＋2＝2＝0，0，解得ba＝＝－－2343， ， ∴抛物线的解析式为 y＝－23x2－43x＋2；
f1)，F(e，f2)分别在抛物线C27，C28上，e＝29，
∴f1＝(29－27)2＝4, f2＝－(29－28)2＋1＝0，
∴点E(e，f1)，F(e，f2)坐标分别为E(29,4)，F(29,0)；
∵A26的坐标是(25,0)，点F(29,0)与点A30重合，
∴A26A30＝29－25＝4，EF＝4，且与y轴平行，∠EF A26＝90°， ∴△A26EF是等腰直角三角形；
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(2)△A26EF是等腰直角三角形．如图1，
由 一 般 到 特 殊 ， 可 得 抛 物 线 C27 的 解 析 式 为 y27 ＝ (x － 27)2 ， 且 过 点 A27 ， A28 ，
A29 ，抛物线C28的解析式为y28＝－(x－28)2＋1，且过点A28，A29，A30，∵点E(e，
设直线 l 的解析式为 y＝kx＋m，把 E 点和对称中心坐标代入可得12k＋m＝32，解 3k＋m＝0，
得km＝＝－95，35，
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∴直线 l 的解析式为 y＝－35x＋95， 联立直线 l 和抛物线解析式可得 yy＝＝－－35xx2＋＋295x，＋3，解得xy＝＝03，，或xy＝＝52－15，25， ∴F(－25，5215)，
017，C2
018于点P，M，N，作直线A2
018
，
M
A2 018 N，当∠PA2 018M＝45°时，求sin∠PA2 018N的值．
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【思路点拨】 本题考查顶点式求抛物线的解析式，勾股定理，锐角三角函数
等知识和分类讨论思想、从特殊到一般的归纳思想．(1)先在备用图上画出根据顶点
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【例1】 (2017烟台)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，与y轴 交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E.
图1
图2
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(1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线 EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数 关系式(不必写出m的取值范围)，并求出l的最大值； (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A， C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
∴l＝ 22PG＝ 22[－23(m＋14)2＋4294]＝－ 32(m＋14)2＋49482，∴当 m＝－14时，l 有 最大值，最大值为4948 2；
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(3)①当 AC 为平行四边形的边时，则有 MN∥AC，且 MN＝AC，如图，过 M 作 对称轴的垂线，垂足为 F，设 AC 交对称轴于点 L，
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专题八 二次函数的综合探究(压轴题)
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重点类型 ·突破
类型1 二次函数与特殊图形的存在性探究 特征与方法：抛物线中特殊图形的存在性问题主要包括特殊三角形和特殊四边 形存在性的探究，解决此类问题可按照找点—求点—代点的步骤进行分析思考，首 先找到图形中关键点，如顶点、中点等等，再把这些点求出或用抛物线的解析式表 示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据几何图形的性质代入得方程(组)， 如果求出的解满足题意，结果就存在，否则，就不存在．
N(2 016，－3)，sin∠PA2 018N＝3 1010；
图1
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(3)由(1)中发现的规律可知，抛物线 C2 017，C2 018 的解析式分别为 y2 017＝(x－2 017)2，y2 018＝－(x－2 018)2＋1. 点 A2 018 坐标为(2 017,0)． 由(2)的研究经验发现，可以退回到简单的抛物线 C3，C4 的情况来研究．如图 2， 在点 A2 018(2 017,0)的左侧，当 m＝2 016 时，M(2 016,1)，此时有∠PA2 018M＝45°，
65)(3＋25)＝－1170(t－1130)2＋218090×1170，
∴当 t＝1130时，△PEF 的面积最大，其最大值为218090×1170，
3 ∴最大值的立方根为＝
218090×1170＝1170；
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(3)由图可知∠PEA≠90°， ∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°， ①当∠PAE＝90°时，如答图2，作PG⊥y轴， ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°， ∴∠PAG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG， ∴t＝－t2＋2t＋3－3，即－t2＋t＝0，解得t＝1或t＝0(舍去)，