中考数学专题圆的切线(2020年整理).pptx
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。
圆的切线课件
什么是圆的切线？
圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，可以通过圆心与切点之间的连线来 画出切线。
圆的切线的性质
1 垂直性质
切线与半径垂直，形成90度的角。
2 切点延长线
切点在半径所在直线的延长线上。
3 夹角性质
两条切线的夹角等于对应切点处圆心角的一半。
如何求圆的切线？
求圆的切线的方法有两种： 1. 直接通过圆心和切点画出切线。 2. 利用勾股定理和切线的性质求出切线方程。
圆与直线的位置关系
弦
圆内一条与圆心的距离小于 半径的直线。
切线
圆内一条与圆心的距离等于 半径的直线。
割线
圆内一条与圆心的距离大于 半径的直线。
结语
圆的切线是圆的基本性质之一，它的定义、性质和求法可以帮助解决与圆有 关的形态变化、函数等问题。 通过深入了解圆的性质，我们可以更好地理解和应用数学知识。
中考数学专题圆的切线(2020年7月整理).pdf
B
A
3
1D
2C
O
3
3
∵ OB=OC， ∴ BOC + 23 =180， ∵ BOC = 2A， ∴ A + 3 = 90 ． ∴ CBD + 3 = 90 ． ∴ ∠OBD=90°． ∴ 直线 BD 与⊙O 相切．
D 为 BC 上一点， CE⊥AD 于 E. 求证：AE= BD +DE．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有
关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形
2
2
学海无涯
中找到和 BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后 去找相似或者全等三角形中的线段关系。
（2）当 BC=4,cosC= 1 时，求⊙O 的半径. 3
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质
以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的
那些题是一个意思。
【思考 4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆，
学海无涯
中考数学专题圆的位置关系
第一部分 真题精讲
【例 1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过 AC 的中点 D，DE⊥BC 于点 E．（1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若 DE=2，tanC= 1 ，求⊙O 的直径．
2
D
A
C
O
E
B
【例 2】已知：如图，⊙O 为 ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线 BF ，使得 BA 平分 CBF ，过点 A 作 AD ⊥ BF 于点 D .（1）求证： DA 为⊙O 的切线；（2）若 BD = 1， tan BAD = 1 ，求⊙O 的半径.
《圆的切线》PPT课件
.
4
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
.
5
动手做一做
• 画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半 径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直 线与圆有几个交点？
●O
┐
l
思考：直线l一定是圆O的A切线吗？
由此，你知道如何画圆的切线吗？
.
6
〖想一想〗
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
.
11
∴PE为⊙0的切线。
〖拓展例题〗 ：如图所示，等腰△ABC，BC边过圆
心O,且满足OB=OC,AB边交⊙O于点D，连结AO,并且满足
OD⊥AB。求证：AC与⊙O相切。
A
证明：过点O作OE⊥AC于E。
∵△ABC是等腰△ABC
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
Байду номын сангаас
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
〖想一想〗
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
.
1
圆的切线
授课教师：邹春雨
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
九年级数学下2.5.2圆的切线(湘教版)数学课件PPT
3、方法归纳：
当直线与圆有公共点，常连结圆心和公共点（半 径），证明直线垂直于这条半径。
连半径，证垂直
当直线与圆没有公共点，过圆心作直线的垂线， 证明圆心到直线的距离等于半径。
作垂直，证半径
51.事业的成功没有止境，它是一场无终点的追求。 70.人应该活到老学到老，我们不应该取笑那些勤奋好学的老年人，相反，我们应该鼓励和支持他们的精神。 96.志气和贫困是患难兄弟，世人常见他们伴在一起。 60.生活就是这样简单，无须在意别人的评说，走自己的路，做自己的事。人生就是这样单纯，无须在意别人的眼神，尽自己的力，出自己的汗。生活里真正关心你的，也就是那几个，不必太多 的抱怨，那样自己太累。不必过多的讨好，那会迷失自己，本着良心做事就行。
2、切线和圆心的距离等于半径。
B
3、直线l与⊙O相切于点A，则过点A的 直径AB与切线l有怎样的位置关系？垂直 O ·
圆的切线垂直于过切点的半径
4、直线l与⊙O相切，作直径AB，
A
l
且AB⊥l ，则点A是切点吗？
经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
5、直线l与⊙O相切于点A，过点A作 AB⊥l ，则AB一定经过圆心吗？
12 ·
DB C
2、如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，
AT=AB，求证:AT是⊙O的切线. ∠BAT=90° ·O
T
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行
已知：如图，AB 是⊙O的直径，
AC、BD是⊙O的切线. 求证: AC∥BD
AB⊥AC AB⊥BD
A AC
·O
BD
4、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、
P
·
C
证明：过P点，作PD⊥OB垂足为D， O
圆的切线方程 ppt课件
的切线方程。
解：设所求圆的切线方程为: y 4 k(x 2)
圆心0,0, r 2, kx y 4 2k 0
y A( 2,4 ) ox
k 0 0 4 2k
2k 3
1 k2
4
但斜率不存在时，x 2
故切线方程为：3x 4 y PPT课件 10 0或x 2 9
3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的斜率为1的切
线方程.
x-y+1± 2 =0
3. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
PPT课件
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练习3: 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
PPT课件
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备用： 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y2)2=1相交，相切，相离？
解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即
kx-y=0的距离为 d= k-2 k2+1
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例1: 求与圆x2 y2 13切于P(3, 2) 点的切线方程。
解： P(3,2)在圆上是切点 可直接写出切线方程： 3x 2 y 3x 2 y 13 0
【初中数学课件】圆的切线ppt课件
【初中数学课件】圆的切线ppt课件
当直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。
O
其中的直线叫做圆的切线。
A
证明：作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D 设小圆的半径为r。
(
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴OD＝OE
又∵AB与大圆相切， ∴OD＝r，∴OE＝r
故由切线判定定理知，AC为小圆切线。
练习1 已知点B在⊙O上。根据下列条件， 能否判定直线AB和⊙O相切？
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
（2） ∠O=68.5°， ∠A=21.5°;
∴AB＝10 根据三角形面积公式有：AB·OC＝OA·OB ∴OC＝ 4(cm)，OC是⊙O的半径。 直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于
半径OC所 以AB与 ⊙O相切。
题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半 径”，即可得直线与圆相切。
例4:当圆心到直线的距离等于圆的半径 时，该直线是这个圆的切线
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
OD是⊙O的半径 OD⊥l于D
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和 “垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
关于切线的判定问题，常见类型 有：
如图，求证：DE是⊙O的切线。
动画演示
分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，
2020年中考数学提优专题：《圆：切线长定理》(含答案)
《圆：切线长定理》知识梳理：（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．综合练习：一．选择题1．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为（）A．2 B．3 C．3.5 D．42．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形3．如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P＝56°，则∠MON＝（）A．56°B．60°C．62°D．不可求4．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．107．如图△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）A．B．C．D．8．PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（）A．36°B．63°C．126°D．46°9．如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°10．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O 于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④二．填空题11．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，PA＝6，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是．12．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝．13．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE＝．14．如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．则⊙O的半径．15．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为．16．如图，PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝10cm，则△PEF的周长是cm，若∠P＝35°，则∠AOB＝（度），∠EOF＝（度）．17．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝，△PMN的面积是．三．解答题18．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．19．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB ＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．（1）求△PDE的周长；（2）若DE＝cm，求图中阴影部分的面积．20．已知：AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．①求BC的长；②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．参考答案一．选择题1．解：由切割线定理，得DE2＝EA•EB，∵AB＝3，ED＝2，∴4＝AE（AE+3），解得AE＝1或﹣4（舍去），∵CB切⊙O于B，∴∠B＝90°，∴根据勾股定理得，BC2+42＝（BC+2）2，∴BC＝3．故选：B．2．解：A、矩形只有外接圆，没有内切圆，故本选项不符合题意；B、菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意；C、正方形既有外接圆，也有内切圆，故本选项符合题意；D、矩形只有外接圆，没有内切圆，菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意；故选：C．3．解：∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠P＝124°，∠AMN+∠BNM＝360°﹣124°＝236°，∵MA、MC是⊙O的切线，∴∠AMO＝∠CMO，∵NB、NC是⊙O的切线，∴∠BNO＝∠CNO，∴∠CMO+∠CNO＝（∠AMN+∠BNM）＝118°，∴∠MON＝180°﹣118°＝62°，故选：C．4．解：连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH＝OF＝OE，∵S△AOB＝•OB•AH＝•AB•OE，∴OB＝AB，同理可证：CD＝CO，∴AB+CD＝BC，故选：B．5．解：由8CF＝DF，得CF＝15×＝，则CH2＝CF×DC，故CH＝5，设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG，故AG＝20﹣x，又∵5AE＝4DE，∴DE＝x，AE＝x，则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2＝x2，解得：x＝12，故BH＝BC﹣CH＝7．故选：C．6．解：连接OA，∵PA切⊙O于A，∴∠OAP＝90°，∴在Rt△OAP中，OP＝10，OA＝6，由勾股定理得：PA＝8，∵PA，PB分别切⊙O于点A和点B，DE切⊙O于C，∴PA＝PB＝8，DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16，故选：A．7．解：连接OA，OB．则OA⊥AP，OB⊥PB，∴在四边形APBO中，∠P+∠AOB＝180°，又∵∠AOB＝2∠ACB，∠ABC＝2∠P，设∠ACB＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣4∠P，∴∠AOB＝360°﹣8∠P，∴∠P+∠AOB＝∠P+（360°﹣8∠P）＝180°，∴∠P＝，∴∠ACB＝180﹣4×＝，∴∠ACB的弧度数为．故选：A．8．解：如图，连接OA，OB，OE，∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∴∠AOC＝∠EOC，同理∠BOD＝∠DOE，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝126°，∴∠COD＝63°．故选：B．9．解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．故选：D．10．解：连接OD，DE，EB，CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，∵OC＝OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO，∴∠COD＝∠COB，∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，∴AD∥OC，故①正确；∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，又∵BE⊥GF，∴FB＝GB，由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，∴∠BCE＝∠GBA，而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），∴∠AGB＝∠CFE，∴△ABG∽△CEF，∴CE•GB＝AB•CF，又∵FB＝GB，∴CE•FB＝AB•CF故④正确．因此正确的结论有：①②④．故选：D．二．填空题（共7小题）11．解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB，同理，DA＝DC，EB＝EC．∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝2×6＝12．故答案是：12．12．解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD＝CE，∵∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴AD＝CE，∵AD＝2，∴CE＝2．故答案为：2．13．解：设正方形ABCD的边长为4a，EC＝x，∵AF为半圆O的切线，∴AF＝AB＝4a，EC＝EF＝x，在Rt△ADE中，DE＝4a﹣x，AE＝4a+x，∴AE2＝AD2+DE2，即（4a+x）2＝（4a）2+（4a﹣x）2，解得x＝a，∴AE＝5a，DE＝3a，在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．故答案为．14．解：连接OP，OB，∵AP为⊙O切线，PB为⊙O切线，∴PA＝PB，∵∠APO＝∠BPO，PG＝PG，∴△APG≌△BPG，∴∠PGA＝90°，∵△APO为直角三角形，∠APG＝∠APG，∴△PGA∽△PAO，根据垂径定理，得到AG＝GB，在R t△PAG中，PG＝＝4，∵△PGA∽△AGO，∴＝，∴＝，∴AO＝．故答案为：．15．解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAC＝35°，∴∠AOB＝110°，∵PA，PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠AOB+∠PAO+∠PBO＝360°，∴∠P＝70°．故答案为：70°．16．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴PA＝PB＝10cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝20（cm）；∵PA、PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣35°＝145°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝72.5°，∠EOF＝72.5°．故答案为20；145；72.5．17．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB；∵CD＝CB，∴CM＝CD＝4．设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x；在Rt△CDE中，由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1；故AE＝1．（2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3；则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP，∴PM＝PN；故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME•cos∠DEC＝，MR＝ME•sin∠DEC＝；过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM＝；易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，∴＝（）2＝；∵S△REM＝MR•RE＝××＝，∴S△PMG＝×＝，故S△PMN＝2S△PMG＝．三．解答题（共3小题）18．解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，∴DE＝DA+EB，∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，即△PDE的周长为12；（2）连接OF，∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，∵∠APB＝52°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．19．解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD＝PE+BE+AD+PD＝PA+PB＝3cm+3cm＝6cm；（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，∵PA、PB、OC是⊙O的切线，∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，∴∠OBP＝∠OPA＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠BOA＝120°，∵BE＝CE，DC＝DA，∴S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，∴S五边AOBED＝2S△ODE＝2×××＝4，∴图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB＝4﹣＝（4﹣π）cm2．20．解：①过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，∵DE与⊙O相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC，设BC＝x，则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，解得：x＝，即BC＝；②∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC+CG＝5，∴AE：EG＝4：5，在Rt△ABG中，AG＝＝3，∴EG＝AG＝．。
2020年中考数学专题复习：圆中三大切线定理
题目中圆的切线,可以“连半径,标直角〞,然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题.【例1】 如图,在△ABC 中,BC AB =,以AC 为直径的⊙0与BC 边交于点D ,过点D 作⊙O 的切线DE ,交AB 于点E ,假设 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．【解析】 连接OD 、AD ,由切线的性质定理可得AB OD ⊥,知识互联网思路导航典题精练题型一：切线的性质定理圆中三大切线定理E ODCBA2又∵DE ⊥AB , ∴AB OD ∥那么OD 为ABC ∆的中位线, D 为BC 中点, 又∵︒=∠90ADC ,那么AD 为BC 的垂直平分线,∴BC AC AB ==,ABC ∆为等边三角形, ∴︒=∠=∠60ADE B , ∴BE DE AE 33==．判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法,其中常用的是距离法和定理法,可以总结为六字口诀,定理法是“连半径,证垂直〞,距离法是“作垂直,证半径〞,定理法的使用频率最高,必须熟练掌握.【例2】 如图,C 是以AB 为直径的⊙O 上一点,过O 作OE ⊥AC于点E ,过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F , 连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . ⑴ 求证：PC 是⊙O 的切线.⑵ 假设AB =4,2 1：：=PC AP ,求CF 的长.【解析】⑴ 证实：连结OC ．∵ OE ⊥AC ,∴ AE =CE ．∴ F A =FC ．∴ ∠F AC =∠FCA ．∵ OA =OC ,∴ ∠OAC =∠OCA ．∴ ∠OAC +∠F AC =∠OCA +∠FCA ． 即∠F AO =∠FCO ．∵ F A 与⊙O 相切,且AB 是⊙O 的直径, ∴ F A ⊥AB ．∴ ∠FCO =∠F AO =90°． ∴ PC 是⊙O 的切线．⑵ ∵∠PCO =90°,即∠ACO +∠ACP =90°.又∵∠BCO +∠ACO =90°,∴ ∠ACP =∠BCO . 思路导航典题精练题型二：切线的判定定理E ODCBA∵ BO =CO ,∴ ∠BCO =∠B ,∴ ∠ACP =∠B . ∵ ∠P 公共角,∴ △PCA ∽△PBC . ∴BCACPC PA PB PC ==. ∵2 1：：=PC AP ,∴21=BC AC . ∵ ∠AEO =∠ACB =90°,∴ OF ∥BC .∴ABC AOF ∠=∠.∴21tan tan =∠=∠ABC AOF .∴21tan ==∠AO AF AOF . ∵ AB =4,∴ AO =2 .∴ AF =1 .∴ CF =1 .【例3】 如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,BD 平分ABC ∠,以D 为圆心、CD 长为半径作D ⊙,与AC 的另一个交点为E ． ⑴ 求证：AB 与D ⊙相切； ⑵ 假设43AC BC ==，,求AE 的长．【解析】 ⑴ 证实：过点D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠,90ACB ∠=︒,DH AB ⊥, ∴DC DH =．∵DC 是D ⊙的半径,∴AB 与D ⊙相切．⑵ 解：设D ⊙的半径为r ．在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,43AC BC ==，, ∴5AB =．由⑴可知BC 切D ⊙于C ,BH 切D ⊙于H ,∴3BH BC ==, ∴532AH AB BH =-=-=． 又4AD AC CD r =-=-,∴在Rt ADH △中,90AHD ∠=︒,∴222AH DH AD +=,即()22224r r +=-,解得32r =．∴421AE AC CE r =-=-=．另：该问还可以用AHD ACB △∽△求得AE 的长． 还可以用ADB △面积的求法,3(4)5r r -=.【例4】 ：如图,AB 是O ⊙的直径,C 是O ⊙上一点,OD BC ⊥于点D ,过点C 作O ⊙的切线,交OD 的延长线于点E ,连结BE ． ⑴ 求证：BE 与O ⊙相切；⑵ 连结AD 并延长交BE 于点F ,9OB =，2sin 3ABC ∠=,求BF 的长．【解析】⑴ 证实：连结OC .EC 与⊙O 相切,C 为切点.FECBMAO DE DCBAHABCDE490....ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=，∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=AB 是⊙O 的直径. BE ∴与⊙O 相切.⑵ 解：过点D 作DM AB ⊥于点M ,那么DM ∥FB . 在Rt ODB ∆中,2909sin 3sin 6.ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=⋅∠=，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD =-= 在Rt DMB ∆中,同理得 22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM =⋅∠==-=O 是AB 的中点, 18.13.AB AM AB BM ∴=∴=-=DM ∥FB ,..365.AMD ABF MD AMBF ABMD AB BF AM ∴∆∆∴=⋅∴==切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长． 思路导航题型三 切线长定理O PE DC BA⑵ 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【引例】：如图,PA PB 、分别与O ⊙相切于A B 、两点．求证：⑴ APO BPO ∠=∠；⑵ PA PB =；⑶ OP 垂直平分线段AB ．【解析】 连结OA OB ， ∵PA PB ，分别与O ⊙相切,∴PA OA PB OB ⊥⊥，, ∵OA OB =,OP=OP ∴AOP BOP △≌△ ∴APO BPO ∠=∠． ∴PA PB =,由等腰三角形“三线合一〞可知：OP AB ⊥且AC BC =, ∴OP 垂直平分线段AB ．【例5】 ⑴ 如图,PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、,假设10PO =,PDE △周长为16,求O ⊙的半径．⑵ 梯形ABCD 中,AB CD ∥,O 是AB 上一点,以O 为圆心的半圆与AD CD BC 、、都相切．6AD =,4BC =,求AB 的长．【解析】 ⑴ 连结OA∵PA PB DE 、、都与O ⊙相切, ∴PA PB DC DA EC EB ===，，,∴PDE △周长PD DE PE PD DC CE PE =++=+++16PD DA EB PE PA PB =+++=+= ∴8PA =∴226OA PO PA =-=,即O ⊙的半径为6． ⑵ 连接OD OC 、,∵AD CD BC 、、都是半圆O 的切线,由切线长定理得OD 平分ADC ∠,OC 平分BCD ∠, ∵AB CD ∥,∴6AO AD ==,4BO BC ==, ∴6410AB AO BO =+=+=．【例6】 ⑴ 如右图所示,ABC △的内切圆与三边AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F .13cm AB =,14cm BC =,11cm CA =,求AD 、BE 、CF 的长．例题精讲典题精练C OB AP ABO C FEDA ODCAA BCDO6⑵ 如图,在ABC ∆Rt 中,︒=∠90C ,6=AC ,8=BC ,圆O 为ABC ∆的内切圆,点D 是斜边AB 的中点,那么ODA ∠tan .〔2021启东市模拟〕【解析】 ⑴ ∵AB 、BC 、CA 与O ⊙相切,∴AD AF =,BD BE =,CE CF =设 AD x =,BD y =,CE z =,131411x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得586x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,即AD 、BE 、CF 的长分别为5cm 、8cm 和6cm ．⑵ 2．MC图6FBO M 图4F【例7】 ：AB 是半圆O 的直径,点C 在BA 的延长线上运动〔点C 与点A 不重合〕,以OC 为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ,DCB ∠的平分线与半圆M 交于点E ． (1) 求证：CD 是半圆O 的切线〔图1〕；(2) 作EF AB ⊥于点F 〔图2〕,猜测EF 与已有的哪条线段的一半相等,并加以证实.【解析】 ⑴ 连结OD ,那么OD 为半圆O 的半径．∵OC 为半圆M 的直径, ∴90CDO ∠=︒．∴CD 是半圆O 的切线．⑵ 猜测：12EF =OA ．证法一：如图4,连结OD OE ，,延长OE 交CD 于点K ,作EG CD ⊥于点G ,那么EG OD ∥． ∵CE 平分DCB ∠, ∴OCE KCE ∠=∠． ∵EF AB ⊥, ∴EG EF =．∵OC 是半圆M 的直径,E 为半圆M 上的一点, ∴90CEO CEK ∠=∠=．∵CE 为公共边, ∴COE CKE △≌△． ∴OE KE =．∵EG OD ∥, ∴DG GK =．∴1122EF EG OD OA ===．证法二：如图5,以OC 为直径作M ,延长EF 交M 于点P ,连结OD ． ∵EF CO ⊥,∴12EF PF EP ==,EO PO =．∵CE 平分DCB ∠, ∴DCE ECO ∠=∠． ∴DE OE =． ∴OD EP =． ∴OD EP =．C F O 图2C 图18C图5∴1122EF OD OA ==．证法三：如图6,连结OD ME 、,OD ME 、相于点H ．∵CE 平分DCB ∠, ∴DE OE =．∴12ME OD OH OD ⊥=，．∵EF CO ⊥,∴90MFE MHO ∠=∠=︒． ∵EMF OMH ME MO ∠=∠=，, ∴MEF MOH △≌△． ∴EF OH =．∴1122EF OD OA ==．精讲：三角形内切圆相关性质和结论探究；【探究对象】三角形内切圆相关性质和结论【探究过程】【探究1】角的相关性质探究：AO 、BO 、CO 均为角平分线,且A BOC ∠+︒=∠2190；【探究2】直角三角形内切圆半径计算方法探究：直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=,或cb a ab r ++=(其中a 、b 为直角边,c 为 斜边)例：如图,O 为Rt ABC ∆的内切圆,9043ACB AC BC ∠=︒==，，,求内切圆半径r ．43OCBAPNMOCBA分析：方法一：连接OA OB OC ，，, ∵43AC BC ==，, ∴5AB =∵BOC AOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=,设三角形的底BC AB AC ，，各为a b c ，，, 即11112222ar br cr ab ++=,∴341345r ⨯==++ 方法二：设O 切BC AC ，,AB 于M N ，,P 三点, 由切线长定理可知：CN CM AN AP BM BP ===，， O A∴()()CM CN CB BM AC AN +=-+- BC AC BP AP =+--3452BC AC AB =+-=+-= ∵CM CN =,∴1CM =, 由90C OM BC ON AC ∠=︒⊥⊥，，可证得四边形OMCN 为正方形． ∴1OM MC ==,即O 的半径1r =．【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究：普通三角形的内切圆半径()()()cb ac p b p a p p r ++---=2(其中a 、b 为直角边,c 为斜边,2cb a p ++=) 分析：由【探究2】的方法一可知,cb a Sr ++=2,由海伦公式可得()()()c p b p a p p S ---=；【探究4】增加内切圆的个数；例：如图,1O 和2O 为Rt ABC ∆的内切等圆,43AC BC ==，,求1O 的半径r ．BABA分析：连接1212BO AO CO CO ，，，．那么121212ABC BCO ACO CO O ABO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形, 即34(25)(2.4)234r r r r r r ++++-=⨯,解得57r =． 【探究5】继续增加内切圆的个数； 例：如图,12n O O O ，为Rt ABC ∆的内切等圆,43AC BC ==，,求1O 的半径r ．分析：参见前一变式的解法,由面积易得,∵111n n n ABC BO C CO O ACO BAO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形,即11111213434(22)()[2(1)5]222252r r n r r n r r ⨯⨯=⨯+⨯+-⨯-+-+, ∴6512236(1)5r n n ==++-．【探究6】改变内切圆的位置；例：如图,假设两等圆12O O ，与Rt ABC ∆的边BC 及AC AB ，的延长线相切,且两等圆外切,求此时两等圆的半径r ．分析：连接121122O O O C O A O B O A ，，，，,∵112212ABC ACO O O A AO B O O BC S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形, 即()()12424523r r r r r r =+⋅++-+,解10得,67r =． 例：假设将上面变式中的n 个等圆,放到ABC ∆外相邻两圆相外切,且与线段BC 相切,与线段AB AC ，的延长线相切,求这些圆的半径r ．分析：连接111n n n O C O A O O O B O A ，，，，,那么111n n n ABC AO C AO O ABO BCO O S S S S S ∆∆∆∆=++-梯形,即4(22)(4)5[(22)3]12r n r r r n r r +-⋅++--+=,解得641r n =-． 【总结】求直角三角形内切圆半径通常方法有两种：⑴ 面积法；⑵ 利用切线长定理．求其它三角形内切圆半径的方法也有两种： ⑴ 面积法：知道三角形的三边,利用勾股定理可求出任意一边上的高,于是就可以求出三角形的面积,接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径．⑵ 利用切线长定理：利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长,利用三角函数可求出三角形以这个顶点为角的内角度数,再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可．【探究7】圆外切四边形的性质探究：圆外切四边形的对边和相等：BC AD CD AB +=+；分析：由切线长定理可设线段长度如下图； 那么BC AD d c b a CD AB +=+++=+；BADDOD CB AO ABCDO F E D CBA题型一 切线的性质定理 稳固练习【练习1】 如图,AB 与O ⊙相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,60AOB ∠=︒,4cm BC =,那么切线AB = cm .【解析】 4．题型二 切线的判定定理 稳固练习【练习2】 在平行四边形ABCD 中,1060AB AD m D ==∠=︒，，,以AB 为直径作O ⊙,⑴ 求圆心O 到CD 的距离〔用含m 的代数式来表示〕；⑵ 当m 取何值时,CD 与O ⊙相切．【解析】 ⑴ 分别过A O ，两点作AE CD OF CD ⊥⊥，,垂足分别为点E F ，, ∴AE OF ∥,OF 就是圆心O 到CD 的距离．∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB CD ∥,∴AE OF =．在Rt ADE △中,60D ∠=︒,∴3sin AE D AD ==,那么3AE m =, ∴3AE OF m ==,∴圆心到CD 的距离OF 为3m ．⑵ 由⑴得3OF m =,∵AB 为O ⊙的直径,且10AB =,∴当5OF =时,CD 与O ⊙相切于F 点,即35m =,解得103m =, ∴当103m =时,CD 与O ⊙相切．【练习3】 ：如图,由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线分别交BD 、CD 及BC 的延长线于点E 、F 、G ,求证：CE 和CGF △的外接圆相切．【解析】 连结OC由ABCD 是正方形,容易证实()SAS ABE CBE △≌△,∴BAE BCE ∠=∠,∵CFG △是直角三角形,∴外接圆圆心O 为FG 中点, ∴OC OG =,∴OCG OGC ∠=∠．∵90BAE OGC ∠+∠=︒,∴90BCE OCG ∠+∠=︒, ∴90OCE ∠=︒,∴CE 与O ⊙相切．复习稳固OGFEDC GOFEDCBA12【练习4】 如图,AB 是O ⊙的直径,BC AB ⊥于点B ,连接OC 交O ⊙于点E ,弦AD OC ∥,弦DF AB ⊥于点G ．⑴ 求证：点E 是BD 的中点； ⑵ 求证：CD 是O ⊙的切线；⑶ 假设4sin 5BAD ∠=,O ⊙的半径为5,求DF 的长．【解析】 ⑴ ∵AD OC ∥,∴A COB ∠=∠,∴2DB BE =,∴DE BE =． ⑵ 连结OD由⑴知DOE BOE ∠=∠在COD △和COB △中,CO CO OD OB ==，, ∴COD COB △≌△ ∴CDO B ∠=∠,又∵BC AB ⊥,∴90CDO B ∠=∠=︒, 即CD 是O ⊙的切线．⑶ 解法一：在ADG △中,4sin 5DG A AD ==,设45DG x AD x ==， ∵DF AB ⊥,∴3AG x =,又∵O ⊙的半径为5,∴53OG x =-,∵222OD DG OG =+,即()()2225453x x =+-,解得12605x x ==，〔舍去〕,∴6482855DF DG ==⨯=． 解法二：连结BD ∵AB 是直径,∴90ADB ∠=︒,4sin 5BD A AB ==∵O ⊙的半径为5,∴485BD AB ==,6AD =,∵DF AB ⊥,∴2DF DG =,在Rt ABD △中,AB DG AD BD ⋅=⋅,∴6824105AD BD DG AB ⋅⨯===, ∴4825DF DG ==．题型三 切线长定理 稳固练习【练习5】 ⑴ 如图,O ⊙是ABC △的内切圆,D E F 、、是切点,18cm AB =,20cm BC =,12cm AC =,又直线MN 切O ⊙于G ,交AB BC 、于M N 、,那么BMN △的周长为______________．⑵ Rt ABC △中,9068C AC BC ∠=︒==，，,那么ABC △的内切圆半径r =________．⑶ 等腰梯形ABCD 外切于圆,且中位线MN 的长为10,那么这个等腰梯形的周长是_____．【解析】 ⑴ 26cm ；⑵ 2；⑶ 40．14【测试1】 如图,MP 切O ⊙于点M ,直线OP 交O ⊙于点A B 、,弦AC MP ∥,求证：MO BC ∥．MPOC BA【解析】 ∵MP 是O ⊙的切线,∴OM MP ⊥,∵AC MP ∥,∴AC OM ⊥,∵AB 是直径,∴90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥, ∴MO BC ∥． 【测试2】 如图,四边形ABCD 内接于O ,BD 是O 的直径,CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠．(1) 求证：AE 是O 的切线；(2) 如果4=AB ,2=AE ,求O 的半径．【解析】(1) 证实：联结OA ,∵OA =OD ,∴∠1=∠2．∵DA 平分BDE ∠,∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OA ∥DE ． ∴∠OAE =∠4,∵AE CD ⊥,∴∠4=90°．∴∠OAE =90°,即OA ⊥AE ． 又∵点A 在⊙O 上,∴AE 是⊙O 的切线.(2) 解：∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD =90°．∵∠5=90°,∴∠BAD =∠5． 又∵∠2=∠3,∴△BAD ∽△AED ．∴AEBA AD BD =,∵BA =4,AE =2,∴BD =2AD ． 在Rt △BAD 中,根据勾股定理,得BD =833． ∴⊙O 半径为433．课后测OA CEBD 54321O A CEBD。
圆的切线PPT课件
如上图：直线l与⊙O相切，直线l叫做⊙O切线 ，点D叫做切点。
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活动二:探究切线的判定
问题：过已知一个圆和圆上的一个点，怎样过该 点作圆的切线？
已知：⊙O和⊙O上的一点D，如何过点D 画⊙O的切线？
下面我们共同完成作图后,再回答问 题:
（1）任意画一个半径为r的⊙O。 （2）任意画⊙O的一条半径OD。 （3）过D作直线l⊥OD。
若直线满足②， 而不满足①。
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例题欣赏
例1：如图，直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA＝OB, CA＝CB, 求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连接OC ∵OA=OB ∴ABC是等腰三角形 ∵CA=CB ∴OC⊥AB ∵OC为半径 ∴AB为⊙O的切线
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2 、如图，以O为圆心，OA为半 径的圆交OB于C，若OA=3，AB=4， BC=2，则AB是⊙O的切线吗？
如果不相切，请说明理由？ ②，若CD与⊙O相切，且∠D＝30，BD＝ 10，求⊙O的半径。
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练习引入： 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝ 120°,AB＝AC,AB＝4,以A为圆心，2 为半径，做⊙A,试问直线BC与⊙A的 相切吗？说明原因 ？
答：相切 ∵D＝2＝r
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A
O
B
D C
（2），如图，AB为非直径的弦， 且∠CAE＝∠B, 求证：直线EF是⊙O的切线。
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1，AD为等腰△ ABC的高，E、F分别为AB、AC的中点，
则以EF为直径的圆与BC的位置关系是
（C）
A.
相离
B、相切
C、 相交
D、以上都有可能
2020秋北京课改版数学九上22.2《圆的切线》ppt课件2
切线垂直于半 径
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
3、圆的切线垂直于过切点的半径。 三、利用性质定理辅助线的作法：作过切点 的半径
作业： 练习册A组第4题
复习回顾 1.切线的判定定理
切线的判定定 理：
①过半径的外端点 ②垂直于这条半径
切线
2、证明切线时常用的添辅助线方法 (1)有交点，连半径，证垂直。 (2)无交点，作垂直，证半径（d=r)。
复习
3、切线的判定方法有哪几种？
（1）利用切线的定义:与圆有唯一一个公 共点的直线是圆的切线。
（2）利用圆心到直线的距离d与圆半径r的 关系:当d＝r时直线是圆的切线。
（3）利用切线的判定定理:经过半径的外 端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
22.2圆的切线（二）
思考
将（1）、（2）的结论和条件反过来
成立吗？
成立
切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个公共点 2、圆的切线到圆心的距离等于圆的半径
探索如图,如果直线I是⊙O
的切线,A是切点,那么半径
O．
OA与l垂直吗?
12A
∴∠1=∠2 ∴AC平分∠DAB
辅助线的作法：作过切点的半径
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O
的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（C ）
A. 70° B. 35° C. 20° D.
10° O
A
E
O
B
A
C
B
D
C
（1）
（2）
B A （3）
2、如图,在△ABC
中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D, 与6A0B相交于点E,则∠ADE等于___ _度.
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【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出 AC 评分角 EAD 这样的条件，但是通过给
定 CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC 和△CAF 是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依
然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
E C
A
O FB D
4
4
于点 D .（1）求证： DA 为⊙O 的切线；（2）若 BD 1， tan BAD 1 ，求⊙O 的半径. 2
A F
D
B
O
C
A
F
43
D 12
B
O
C
1
1
【例 3】已知：如图，点 D 是⊙ O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙ O 上，且 OA AB AD .
1 求证： BD 是⊙ O 的切线；
【思考 3】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的⊙ O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为⊙O 的直径.
1 求证：AE 与⊙O 相切； 2 当 BC=4,cosC= 1 时，求⊙O 的半径.
3 【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质 以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到
（2）解：∵ ∠D=∠ACB ， tan ACB 4 ，
3
∴ tan D 4 ．
E C
O
A
B D
∴ BE AE 2 AB2 2 5 . ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ∴ cos BAD cos E. ∴ AB BE .
AD AE
即 425. AD 6
∴ AD 12 5 . 5
【思考 2 解析】
A
解：（1）直线 BD 与⊙O 相切．
证明：如图 3，连结 OB．-
线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考 5】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线的一点，AE⊥CD 交 DC 的延
长线于 E，CF⊥AB 于 F，且 CE＝CF．
1
求证：DE 是⊙O 的切线；
2
若 AB＝6，BD＝3，求 AE 和 BC 的长．
的 那些题是一个意思。
3
3
【思考 4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆， D 为 BC 上一点， CE⊥AD 于 E. 求证：AE= BD +DE．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就 是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和 BD 相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有
E
A
F
D
B
G
C
2
2
第二部分 发散思考
【思考 1】如图，已知 AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C=∠BAD，且 BD⊥AB 于 B. 1 求证：AD 是⊙O 的切线； 2 若⊙O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长. 【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的 任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB 就会得到一个和 C 一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例 关系，从而求解。
【思考 1 解析】
第三部分 思考题解析
1）证明: 如图, 连接 AO 并延长交⊙O 于点 E, 连接 BE, 则∠ABE=90°. ∴ ∠EAB+∠E=90°. ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD， ∴ ∠EAB+∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°. ∵ AE=2AO=6, AB=4,
中考数学专题圆的位置关系
第一部分 真题精讲
【例 1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过 AC 的中点 D，DE⊥BC 于点 E．（1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若 DE=2，tanC= 1 ，求⊙O 的直径．
2
D
A
C
O E
B
【例 2】已知：如图，⊙O为 ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线 BF ，使得 BA 平分CBF ，过点 A 作 AD BF
2 若点 E 是劣弧 BC 上一点， AE 与 BC 相交 于点 F ，且 BE 8 ， tan BFA 5 ，求⊙ O 的半径长. 2
B E
DA
F C
O
【例 4】如图，等腰三角形 ABC 中， AC BC 6 ， AB 8 ．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点G ， DF AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E ．
1 求证：直线 EF 是⊙O 的切线； 2 求 sin E 的值．
A
F D
G
E
B
O
C
【例 5】如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E. 1 若 ED 与⊙A 相切，试判断 GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； 2 在（1）的条件不变的情况下，若 GC＝CD＝5，求 AD 的长.
C
O
B
A
D
【思考 2】已知：AB 为⊙O 的弦，过点 O 作 AB 的平行线，交 ⊙O 于点 C，直线 OC 上一点 D 满足∠D=∠ACB. 1 判断直线 BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
2 若⊙O 的半径等于 4， tan ACB 4 ，求 CD 的长.
3
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明 90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB 这个条件，去 将他们放在 RT 三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD 拆分成两个角去证明和为 90°。
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D， ∴ ∠2=∠CBD． ∵ AB∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A=∠CBD． ∵ OB=OC， ∴ BOC 23 180 ， ∵ BOC 2A ， ∴ A 3 90 ． ∴ CBD 3 90． ∴ ∠OBD=90°． ∴ 直线 BD 与⊙O 相切．