2018年秋九年级数学上册4.1正弦和余弦第3课时余弦作业新版湘教版_398

4.1 第3课时 余 弦
一、选择题
1．若∠A 为锐角，cos A ＝
2
2
，则∠A 的度数为( ) A ．75° B．60° C．45° D．30°
2．用计算器计算cos44°的结果是(精确到0.01)( ) A ．0.90 B ．0.72 C ．0.69 D ．0.66
3．2017·湖州如图K －32－1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是链接听课例1归纳总结( )
图K －32－1
A.35
B.45
C.34
D.43
4．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝1
2，则cos A 等于( )
A.
32 B.22 C.1
2
D ．1 5．下列计算正确的是( ) A ．sin30°＋sin45°＝sin75° B ．cos30°＋cos45°＝cos75° C ．sin60°－cos30°＝cos30° D.
sin60°
cos30°
－1＝0
6．下列式子正确的是( )
A ．sin55°＜cos36° B．sin55°＞cos36° C ．sin55°＝cos36° D．sin55°＋cos36°＝1
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，AC ＝3
2，则AC ＋AB 的值为( )
A ．4
B ．8
C ．1
D ．6
8．在直角坐标系中，直线y ＝－2(x －1)＋1与x 轴所夹锐角的余弦值是( ) A.12 B ．－12 C.55 D ．－5
5
9．因为cos60°＝12，cos240°＝－12，所以cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°；
由此猜想、推理知：当α为锐角时，cos(180°＋α)＝－cos α，由此可知：cos210°＝( )
A ．－12
B ．－22
C ．－3
2
D ．－ 3
10．如图K －32－2，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自点B 向点C 运动(点
D 与点B ，C 不重合)，作B
E ⊥AD 于点E ，C
F ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( )
图K －32－2
A ．不变
B ．逐渐增大
C ．逐渐减小
D ．先变大再变小 二、填空题
11．计算：sin60°×cos30°－1
2
＝________.
12．已知cos α＝0.25，则α≈________(精确到0.01°)． 13．用不等号连接下面的式子： (1)cos30°________cos28°；
(2)sin45°________sin55°.链接听课例4归纳总结
14．已知
3
2
＜cos A＜sin70°，则锐角A的取值范围是________．
三、解答题
15．求下列各式的值：
(1)1＋sin245°＋cos245°；
(2)2sin30°－2cos60°＋sin45°－cos45°.
16．已知：如图K－32－3，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求AB边上的高．(精确到0.01)
图K－32－3
17．在△ABC中，锐角∠A，∠B满足|2sin A－1|＋(2cos B－2)2＝0，求∠C的度数．
18．如图K－32－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于点D，AC＝12，试求：
(1)sin A的值；
(2)cos∠ACD的值；
(3)CD的长．
图K－32－4
19．(1)锐角的正弦值和余弦值都随着锐角度数的确定(变化)而确定(变化)，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°角，正弦值的大小和余弦值的大小．
(3)比较大小：若α＝45°，则sin α________cos α；若0°＜α＜45°，则sin α________cos α；若45°＜α＜90°，sin α________cos α.(填“>”“<”或“＝”)
20阅读与分类讨论思想阅读下列解题过程：
若锐角α满足45°＜α＜90°，且sin αcos α＝1
8，求sin α－cos α的值．
解：由45°＜α＜90°，得sin α＞cos α， 即sin α－cos α＞0. 又sin 2
α＋cos 2
α＝1， 且sin αcos α＝1
8
，
∴(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2
α＝1－2×18＝34，
∴sin α－cos α＝
32
. ∴sin α－cos α的值为
32
.
解决问题：
(1)若将条件中α的范围改为“0°＜α＜45°”，且sin αcos α＝1
8，求sin α－cos α
的值；
(2)若α为锐角，sin αcos α＝1
8，求sin α－cos α的值．
1．[答案] C 2．[答案] B 3．[答案] A 4．[答案] A
5．[解析] D
sin 60°
cos 30°－1＝32
3
2
－1＝1－1＝0.故选D .
6．[解析] B ∵cos 36°＝sin (90°－54°)＝sin 54°，而sin 55°＞sin 54°，∴
sin 55°＞cos 36°.故选B .
7．[答案] A
8．[解析] C 直线y ＝－2(x －1)＋1＝－2x ＋3，如图所示，可得BO ＝3
2
，AO ＝3，在
Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝AO 2＋BO 2＝
3 5
2
， ∴直线y ＝－2(x －1)＋1与x 轴所夹锐角的余弦值是
BO AB ＝32
352
＝55
.故选C
. 9．[解析] C ∵cos (180°＋α)＝－cos α，∴cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－
cos 30°＝－
3
2
.故选C . 10．[解析] C 方法一：∵BE⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，∴CF ∥BE ，∴∠DCF ＝∠DBE.设∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF ＝DC·cos α，BE ＝DB ·cos α，∴BE ＋CF ＝(DB ＋DC)cos α＝BC·cos α.∵∠ABC ＝90°，∴0°＜α＜90°.当点D 从点B 向点C 运动时，α是逐渐增大的，∴cos α的值是逐渐减小的，∴BE ＋CF ＝BC·cos α的值是逐渐减小的．故选C .方法二(面积法)：S △ABC ＝12·AD·C F ＋12·AD·BE＝12·AD·(CF＋BE)，∴CF ＋BE ＝2S △ABC
AD
.∵点D 沿BC
自点B 向点C 运动时，AD 逐渐增加，∴CF ＋BE 的值逐渐减小．
11．[答案] 1
4
12．[答案] 75.52° 13、[答案] (1)＜ (2)＜ 14．[答案] 20°＜∠A＜30° [解析] ∵
3
2
＜cos A ＜sin 70°，sin 70°＝cos 20°，∴cos 30°＜cos A ＜cos 20°，∴20°＜∠A ＜30°.故答案为20°＜∠A＜30°.
15．解：(1)原式＝1＋(
22)2＋(22
)2
＝2. (2)原式＝2×12－2×12＋22－2
2＝0.
16．解：过点C 作CH⊥AB，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH
AC ，
∴CH ＝AC·sin A ＝9sin 48°≈6.69.
17．解：∵|2sin A －1|＋(2cos B －2)2
＝0， ∴2sin A －1＝0，2cos B －2＝0， ∴sin A ＝12，cos B ＝2
2
，
∴∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴∠C ＝105°. 18．解：(1)由BC ＝5，AC ＝12， 得AB ＝BC 2＋AC 2
＝13，所以sin A ＝513.
(2)cos ∠ACD ＝sin A ＝5
13
.
(3)因为sin A ＝CD
AC
，
所以CD ＝AC·sin A ＝12×513＝60
13
.
或由面积公式，得12×13CD＝12×5×12，解得CD ＝60
13
.
19．解：(1)如图①，令AB 1＝AB 2＝AB 3，作B 1C 1⊥AC 于点C 1，B 2C 2⊥AC 于点C 2，B 3C 3⊥AC 于点C 3，显然有：B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，∠B 1AC ＞∠B 2AC ＞∠B 3AC.∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1
AB 1，sin ∠B 2AC
＝B 2C 2AB 2，sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，而B 1C 1AB 1＞B 2C 2AB 2＞B 3C 3AB 3，∴sin ∠B 1AC ＞sin ∠B 2AC ＞sin ∠B 3AC.如图②，已知Rt △ACB 3中，∠C ＝90°，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1，cos ∠B 2AC ＝AC AB 2，cos ∠B 3AC ＝AC
AB 3.∵AB 3＞AB 2
＞AB 1，∴
AC AB 1＞AC AB 2＞AC
AB 3
，即cos ∠B 3AC ＜cos ∠B 2AC ＜cos ∠B 1AC. 结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． (2)由(1)可知：sin 88°＞sin 62°＞sin 50°＞sin 34°＞sin 18°；cos 88°＜cos 62°＜cos 50°＜cos 34°＜cos 18°.
(3)若α＝45°，则sin α＝cos α；若0°＜α＜45°，则sin α＜cos α；若45°＜α＜90°，则sin α＞cos α.故答案为＝，＜，＞.
20解：(1)由0°＜α＜45°，得sin α＜cos α，即sin α－cos α＜0.
sin α－cos α＝－（sin α－cos α）2＝－sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝－
1－2×18＝－32
.
(2)∵sin 2α＋cos 2
α＝1，且sin αcos α＝18
，
∴(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2
α＝1－2×18＝34，
∴|sin α－cos α|＝
32
. 当0°＜α＜45°时，sin α－cos α＜0，
∴sinα－cosα的值为－
3 2
；
当45°＜α＜90°时，sinα－cosα＞0，
∴sinα－cosα的值为
3
2
.。