2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第7讲《平面向量》

2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第7讲《平面向量》
(时间：10分钟＋35分钟)
1．若向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
2．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( )
A ．|2a |>|2a ＋b |
B ．|2a |<|2a ＋b |
C ．|2b |>|a ＋2b |
D ．|2b |<|a ＋2b |
3．已知向量a ＝(7，1)，b ＝(－1,3)，c ＝(k ，7)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.
4．已知e 1，e 2是夹角为2π3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2, 若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．
1．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )
A. 5
B.10 C ．5 D ．25
2．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，
RA →＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．1∶5
3．如图7－1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC
→的值等于( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．－4 4．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2
，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[1,2]
C ．[－2，－1]
D ．[－2,0]
5．已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________.
6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12
，则α和β的夹角θ的取值范围是________．
7.已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )．
(1)求证：向量a 与向量b 不可能平行；
(2)若a ·b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值．
8．设平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R .
(1)若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；
(2)若x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，证明a 和b 不可能平行； (3)若α＝0，求函数f (x )＝a ·(b －2c )的最大值，并求出相应的x 的值．
专题限时集训(七)
【基础演练】
1．D 【解析】 因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.
2．C 【解析】 因为|a ＋b |＝|b |，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |，选择C.
3．－7＋275 【解析】 因为a －2b ＝(7＋2，－5)，由a －2b 与c 共线，有k 7
＝－7＋25，可得k ＝－7＋275
. 4.54
【解析】 因为a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22， 且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以2k －12－2＝0，即k ＝54
. 【提升训练】
1．C 【解析】 |a ＋b |＝52⇒|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝50⇒5＋20＋|b |2＝50⇒|b |＝5.
2．B 【解析】 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，P A →＋PC →＝AB →－PB →，
即P A →＋PC →＝AB →＋BP →，P A →＋PC →＝AP →，∴PC →＝2AP →，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，取△ABC 为正三角形，不难得出面积比为1∶3.
3．B 【解析】 BD ＝AB cos30°＝23，所以BD →＝32
BC →. 故AD →＝BD →－BA →＝32
BC →－BA →. 又AC →＝BC →－BA →.
所以AD →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32BC →－BA →·(BC →－BA →)＝32BC →2－⎝
⎛⎭⎫1＋32BA →·BC →＋BA →2. BC →2＝BA →2＝16，BC →·BA →＝4×4×cos30°＝83，
代入上式得AD →·AC →＝83－⎝
⎛⎭⎫1＋32×83＋16＝4. 4．D 【解析】 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，则由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，
故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2.BP →＝(x －2，y )，AM →＝(1,1)，BP →·AM →＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取
值范围是[－2,0]．
5．6 【解析】 如图，由于三角形外心是三角形三边中垂线的交点，故取BC 的中点D ，则AO →＝AD →＋DO →，而DO →⊥BC →，这样所求的数量积就是AD →·BC →，再根据向量加法和减法
的几何意义即可把所求的数量积用AC →，AB →表示．
AO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12
(AC →2－AB →2)＝6.
6.⎣⎡⎦⎤π6 ，5π6 【解析】 由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12
.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.
7．【分析】 第(1)问利用反证法证明，先假设a ∥b ，易推出矛盾，故结论正确．
第(2)问利用二倍角公式及辅助角公式将结果化为A sin(ωx ＋φ)的形式，易得x 的值．
【解答】 (1)证明：假设a ∥b ，则
2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )．
即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x,1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，
1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2
＝0， 即2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－322
. 而sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1,1]，－322
<－1，矛盾． 故假设不成立，即向量a 与向量b 不可能平行．
(2)a ·b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2
sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4， a ·b ＝1⇒sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]，∴2x ＋π4∈[－7π4，π4
]， ∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4
， ∴x ＝－π或x ＝－3π4
或x ＝0. 8．【分析】 (1)利用a ·c ＝0解；(2)利用反证法证明a 与b 不可能平行；(3)通过数量积的运算，求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值．
【解答】 (1)若a ⊥c ，则a ·c ＝0，
cos x sin α＋sin x cos α＝0，sin(x ＋α)＝0，
所以cos(2x ＋2α)＝1－2sin 2(x ＋α)＝1.
(2)证明：假设a 和b 平行，则cos x sin x －sin x (cos x ＋23)＝0，
即23sin x ＝0，sin x ＝0，而x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2时，sin x >0，矛盾． 故假设不成立，所以a 和b 不可能平行．
(3)若α＝0，则c ＝(0,1)，则f (x )＝a ·(b －2c )
＝(cos x ，sin x )·(cos x ＋23，sin x －2)
＝cos x (cos x ＋23)＋sin x (sin x －2)
＝1－2sin x ＋23cos x ＝1＋4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以f (x )max ＝5，此时，x ＝2k π－π6
，k ∈Z .24315 5EFB 廻32268 7E0C 縌•25293 62CD 拍36817 8FD1 近•29311 727F 牿 R/5,226910 691E 椞38965 9835 頵。