2008乌鲁木齐中学高三期中数学试题

乌鲁木齐市高级中学2007-2008学年第一学期期中考试试题
高三数学
命题人 杨帆
(满分 100分 时间100分钟 ★祝你考试顺利★，只交答题卷，试卷考生留存以备考后讲评)
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在答题卷上. 1. 1．设全集{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A
B =ð
A ．{2}
B ．{3}
C ．{124}，，
D ．{14}，
2、若不等式 | a x +2 | < 6的解集为（－1，2），则实数a 等于
A. 8
B. 2
C.－4
D.－8 3．函数1
1
y x =-
-的图象是
4．设p 、q 为简单命题，则“p 且q”为假是“p 或q”为假的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(2008)的值是
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．0 6、．函数sin y x =的一个单调递增区间是 A ．ππ⎛⎫
- ⎪44⎝⎭
，
B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，
C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，
D ．32π⎛⎫
π
⎪2⎝⎭
， 7、若a 、b 、c 、d 为非零实数，c 、d 是方程2
0x ax b ++=的根，a 、b 是方程
20x cx d ++=的根，则a +b +c +d ＝
A. 0
B. —2
C. 2
D. 4 8．已知等比数列{}a n 的前n 项和为S x n n =⋅--31
6
1
，则x 的值为 A.
12
B.
13
C.-
13
D. -1
2
9．若0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 10．对一切实数x ，不等式01||2
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．)2,(--∞
B ．[)+∞-,2
C ．]2,2[-
D ．[)+∞,0
11. 设α是第二象限的角，tanα＝43－
，且sin cos 22αα＜，则cos 2
α
＝
A.3
5-
B.
D.± 12（文）小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下方案中任选其一：方案1：按使用面积缴纳，4元/米2；方案2：按建筑面积缴纳，3元/米2。

李明家的使用面积是60米2，如果李明家选择方案2缴纳费用较少，那么李明的建筑面积最大不超过 A.70米2 B.80米2 C.90米2 D.100米2
（理）某商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率（%100⨯-进价
进价销售价）由原来的r %增加到 (r+10) %,则r ＝
A. 25
B. 20
C. 15
D. 12
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题纸上。

13. 设12
3
2212x e ,x ,
f(x) log (x ),x .-⎧<=⎨-≥⎩，则2f f()][的值为_________. 14. 在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于
15. 已知f(x)定义在)0,(-∞上是减函数，且f(1-m)＜f(m-3),则m 的取值范围是
16. 下列命题， ①函数sin f () 1sin x
x x
=
+的值域为（－∞，1]2；②若函数f ()x 对定义域中x
总有f （x ）+f （y ）=f （x ＋y ），则f ()x 是奇函数；③函数1f () 1x
x x
-=+的图像关于（－1，－1）成中心对称。

其中正确．．的．命题的序号是 ．
三、解答题（48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知f （sinx ）＝3－2cos2x, x ∈R （Ⅰ）求f （x ）及f （x ）的定义域； （Ⅱ）计算f （sin2x ）＋f （cos2x ）。

18.（本题满分12分）已知向量(1 cos2)x =，a ， (12sin cos 1)x x =+，b ，设函数()f x =·a b ，
x ∈R ，
（Ⅰ）当[0,
]4
x π
∈时，求函数()f x 最小值以及取得这个最小值时的x 值的集合；
（Ⅱ）说明y ＝f （x ），x ∈R 的图像可由y ＝sin2x ，x ∈R 的图像怎样变换得到。

19.（本题满分12分）
（文科）三个正数成等比数列，如果将第二项增加8，则已知等比数列变成等差数列，如果再将这个等差数列的第三项增加64，则等差数列又变成等比数列，试求这三个数。

（理科）已知函数2x
f x)m t =(＋的图像经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），S n 为
数列{n a }的前n 项和，*
∈N n .（I ）求S n 及a n ；（II ）设22n n b log a =-，数列｛b n ｝的
前n 项和为T n ，求满足不等式T n ＜b n 的数n 的集合。

20.（本题满分14分）已知二次函数2
f ()1()x x bx b R =++∈，满足f (1)f (3)-=． （Ⅰ） 求b 的值；
（Ⅱ） 当1x >时，求函数f ()x 的反函数1
f ()x -；
（Ⅲ）（理科）对于（Ⅱ）中的1f ()x -，若1f ()(x m m ->在1
(0,]4
x ∈上恒成立，求
实数m 的取值范围。

（文科）对于（Ⅱ）中的1
f ()x -，若1
1
f ()2
x m m --＞（）在10,]4
x ∈（上有解，求实数m 的
取值范围．
参考答案
一、选择题
1. B
2. C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.B
8.A
9.C.数形结合法 lnx ＝4－x ，分别作出y ＝lnx 和y ＝4－x 的图像，考虑x ＝2时函数的值，易得。

10.B 11.B 12.文B 理C . 二、填空题
13. 2 14. 42 15.(1,2) 16.①③ (②中的定义域可能不关于原点对称，错误) 三、解答题
17. 根据《走向高考》 28页第7题改编
解：（Ⅰ）f （sinx ）＝3－2cos2x ＝3－2（1－2sin 2x ）＝1＋4sin 2x 2分 令t ＝sinx ，则－1≤t≤1 f （t ）＝1＋4t 2 （－1≤t≤1） 4分 ∴f （x ）＝1＋4x 2， f （x ）的定义域是[-1,1] 6分 （Ⅱ）f （sin2x ）＋f （cos2x ）=1＋4sin 2x ＋1＋4cos 2x ＝6 10分 18.解：（Ⅰ）()(12sin cos )cos 2f x a b x x x ==++
＝1＋sin2x ＋cos2x ＝π
124
x +（）
4分 ∵[0,
]4
x π
∈， ∴π24x +
3[,]44
ππ
∈ 5分
当πsin 242
x ⎛
⎫+
= ⎪
⎝
⎭时，()f x 的最小值为2， 6分
由πsin 242x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， π24x +＝π3π44或 因此得x 值的集合为π04⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，。

8分
（Ⅱ）将y ＝sin2x 的图像向左平移
8π个单位，得到πy sin 24
x +＝（）的图像，再将
π
y sin 24
x +＝（）图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到
π
y2
4
x+
（）
的图像，再将
π
y2
4
x+
（）
的图像向上平移一个单位就得到
π
y12
4
x+
＝（）的图像。

12分
19.（文科）
根据教材高一上136页复习参考题A组第10题改编
解：设三个数为a，aq，aq22分
由已知得2（aq＋8）＝a＋aq2①（aq＋8）2＝a（aq2＋64）②4分由②得a＝
4
4q
－
，代入①解得
4
a4
a
9
q3
q5
⎧
⎧
⎪
⎨⎨
⎩
⎪⎩
＝
＝
或
＝
＝－
，8分
∵三个数为正数，∴q＞0，∴
a4
q3
⎧
⎨
⎩
＝
＝
10分
故所求的三个数是4，12，36。

12分
（理科）
解：（I）由
211
431
m t m
.
m t t
+==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
+==-
⎩⎩
2分
21
x
f(x).
∴=-)
(1
2*
∈
-
=
∴N
n
S n
n
3分
∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－2n－1
当n＝1时，S1＝a1＝1 5分
∴a n＝2n－1（n∈N×）. 6分
（II）
2
23
n n
b log a n,
=-=-∴数列｛b n｝为等差数列
.
2
5
2
)3
2
(2n
n
n
n
T
n
-
=
-
+
-
=
∴8分
2
)6
)(1
(
2
6
7
)3
(
2
52
2
<
-
-
=
+
-
=
-
-
-
=
-
n
n
n
n
n
n
n
b
T
n
n
.6
1<
<
∴n10分
=
∴
∈*n
N
n,
2、3、4、5 11分∴所满足不等式T n＜b n的数n的集合为为{2，3，4，5} 12分
20.
解：（Ⅰ）∵f （－1）＝f （3） ∴1－b ＋1＝9＋3b ＋1 解得2-=b .（或利用对称性求解） 3分
（Ⅱ） 由⑴，记y ＝x 2－2x ＋1
∵当x ＞1时，y ＝（x －1）2 （y ＞0）
∴x －1x ＝1 6分
110 y f (x))-==+>∴. 8分
（Ⅲ）
11
f (x)m(m (0,], 1m(m 4
->∈>-∴
即(1+m +1)>0 对一切满足0＜x≤
1
4
的x 值恒成立 10分
法一 当1＋m ＞0，即m ＞－1m +1>0 ，m 1 ， 1 ＝1 ∴11m -<≤ 12分
当1＋m ＜0，即m ＜－1m +10 ＜ 1 ＜m ， m 1 ）max ＝32
，无解
综上所述 ，m 的取值范围是｛m|11m -<≤｝ 14分
法二 (1+m +1)>0 对一切满足0＜x≤
1
4
的x 值恒成立 10分
则 －1＜m 1 对一切满足0＜x≤1
4
的x 值恒成立 ∴11m -<≤
法二 设t 0＜t≤
12111112
1
g(t)(m)(t m )(m)t (m )(m ),t (0,].=+-+=+-+-∈且
当m ＝－1时 g （t ）＝0 ，不符合g （t ）＞0要求，故m≠－1
当m≠－1时，g （t ）为t 的一次函数，∵ g （t ）＞0在2
1t (0,]∈上恒成立 12分
只需110111022
g(0)(m )(m ),11
g()(m)(m )(m ).=-+⋅-≥⎧⎪⎨=+⋅-+->⎪⎩ 解得11m .-≤≤ ∴11m .-≤≤ ∴综上所述，m 的取值范围是｛m|11m -≤≤｝ 14分 （文科）若1
1()2f
x m m --＞（）
在1(0,]4x ∈上有解，即
11m(m )2+－在1
(0,]4
x ∈上有解 10分 需要
1max 1(m(m )2+>－
，由于1y =+在1
(0,]4
x ∈时是增函数 12分
∴312(+
≤
由13m(m )22≤－得 3
2
1m .≤≤－ ∴m 的取值范围是：｛m|3
2
1m ≤≤－｝ 14分。