北京朝阳区2016-2017学年高二数学北师大版必修四学业分层测评：第2章 §6 平面向量数量积的坐标表示

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·华阴高一检测)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x ＝()
A．－1B．1 2
C．－1
2D．1
【解析】因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.
【答案】 D
2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()
A．－π
4B．π6
C.π
4D．
3π
4
【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(2,4)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．
设夹角为θ，则cos θ＝
3×0＋3×3
32＋32·02＋32
＝1
2
＝2
2.
又因为θ∈t[0，π]，所以θ＝π
4.
【答案】 C
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋x b与－b垂直，则x的值为()
A．－2
5B．
23
3
C.3
23D．2
【解析】 因为a ＋x b ＝(3,4)＋(2x ，－x )＝(2x ＋3,4－x )，－b ＝(－2,1)．因为a ＋x b 与－b 垂直，所以(2x ＋3,4－x )·(－2,1)＝－4x －6＋4－x ＝0，
解得－5x ＝2，所以x ＝－2
5. 【答案】 A
4．在▱ABCD 中，已知AC →＝(－4,2)，BD →＝(2，－6)，那么|2AB →＋CD →
|＝( ) A ．5 5 B ．2 5 C ．210
D ．85
【解析】 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →＝(－4,2)．b －a ＝BD →
＝(2，－6)，所以b ＝(－1，－2)，a ＝(－3,4)，所以2AB →＋AD →
＝2a ＋b ＝(－7,6)，
所以|2AB →＋AD →|＝(－7)2＋62＝85.
【答案】 D
5．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →
，则点C 的坐标是( )
A ．(2,6)
B ．(－2，－6)
C ．(2，－6)
D ．(－2,6)
【解析】 设C (x ，y )，则A C →
＝(x ＋2，y －1)， B C →＝(x ，y －2)，A B →
＝(2,1)． 由A C →∥O B →，B C →⊥A B →
，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝6. ∴点C 的坐标为(－2,6)． 【答案】 D 二、填空题
6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.
【解析】 a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，得(3,3 m )·(m ＋1,1)＝0，即6m ＋3＝0，所以m ＝－1
2，所以a ＝(1，－1)，|a |＝
12＋(－1)2＝ 2.
【答案】
2
7．直线l 1：x ＋2y －3＝0和直线l 2：x －3y ＋1＝0的夹角θ＝________.
【导学号：66470058】
【解析】 任取l 1和l 2的方向向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12和n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，设m 和n 的夹角为α，
则cos α＝
1－1
61＋14×
1＋19
＝22， ∴α＝45°，∴θ＝45°. 【答案】 45°
8．(2016·西安高一检测)已知两个单位向量a ·b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.
【解析】 b ·c ＝b ·(t a ＋(1－t )b )＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×cos 60°＋(1－t )＝0，即1
2t ＝1，所以t ＝2.
【答案】 2 三、解答题
9．已知向量a 是以点A (3，－1)为始点，且与向量b ＝(－3,4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．
【解】 ∵b 是直线y ＝－4
3x 的方向向量，且a ⊥b ， ∴a 是直线y ＝3
4x 的方向向量， ∴可设a ＝λ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ，3λ4.
由|a |＝1，
得λ2
＋916λ2
＝1，
解得λ＝±
4
5，
∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4
5，－35.
设a 的终点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝45，y ＋1＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4
5，y ＋1＝－35.
即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝195，y ＝－2
5，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝115，y ＝－8
5.
∴a 的终点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫19
5，－25或⎝ ⎛⎭
⎪⎫115，－85.
10．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32，且a 与b 不共
线．
(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；
(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 【解】 (1)证明：由题意，知 a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos α－12，sin α＋32，
a －
b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
cos α＋12，sin α－32，
因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－3
4＝0, 所以(a ＋b )⊥(a －b )．
(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意，知(3a ＋b )2＝(a －3b )2，化简，得a ·b ＝0， 所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33.
又因为0≤α<2π，所以α＝π6或α＝7π
6.
[能力提升]
1．已知AB →＝(4,2)，AC →
＝(k ，－2)，若△ABC 为直角三角形，则k 等于( ) A ．1 B ．6
C ．1或6
D ．1或2或6
【解析】 若∠A 为直角，则AB →·AC →＝4k －4＝0，所以k ＝1，BC →＝AC →－AB →
＝(k ，－2)－(4,2)＝(k －4,4)．
若∠B 为直角，则BA →·BC →＝(－4，－2)·(k －4，－4)＝－4k ＋16＋8＝0，所以k ＝6.
若∠C 为直角，则CA →·CB →＝0，即(－k,2)·(4－k,4)＝0，方程无解，综上知k 的值为1或6.
【答案】 C
2．已知A (－1,2)，B (2,8)，C (0,5)，若AD →⊥BC →，BD →∥BC →
，则点D 的坐标是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2213，3213
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
3313，9813
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1413，813 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫1113，1013
【解析】 设D (x ，y )，则AD →
＝(x ＋1，y －2)，
BD →＝(x －2，y －8)，因为BC →＝(－2，－3)，AD →⊥BC →，BD →∥BC →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧
－2(x －1)－3(y －2)＝0，－3(x －2)＋2(y －8)＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2213，y ＝32
13.
所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2213，3213.
【答案】 A
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于________．
【解析】 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，由于(c ＋a )∥b ，
则有－3(1＋m )＝2(2＋n )， 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，
则有m ＝－79，n ＝－73，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9，－73.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7
9，－73
4．已知△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；
(2)求点D 和向量AD →
的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.
【解】 (1)证明：AB →
＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)， AC →
＝(4－2,3－4)＝(2，－1)． ∵AB →·AC →＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB →⊥AC →
，即AB ⊥AC .
(2)设D 点坐标为(x ，y )，则AD →
＝(x －2，y －4)， BC →
＝(5,5)． ∵AD ⊥BC ，
∴AD →·BC →＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.①
又BD →
＝(x ＋1，y ＋2)， 而BD →与BC →
共线， ∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)，② 由①②解得x ＝72，y ＝5
2， 故D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
72，52，
∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2，52－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32. (3)BA →＝(3,6)，BC →
＝(5,5)， cos θ＝BA →·BC
→|BA →||BC →|
＝
3×5＋6×532＋62×
52＋52
＝31010.。