2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章_函数的概念与基本初等函数_4

【课时训练】第4节 函数的概念及其表示
一、选择题
1．(2018山东德州模拟)设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )
A ．(－∞，3)
B ．(－∞，－3)
C ．{3}
D ．[－3,3)
【答案】C
【解析】由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．
∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.
2．(2018河南三门峡一模)下列图象中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )
A B C D
【答案】C
【解析】A 选项中的值域不符合，B 选项中的定义域不符合，D 选项不是函数的图象，则选项C 正确．
3．(2018河北荆门期末)若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )
A ．g (x )＝2x 2－3x
B ．g (x )＝3x 2－2x
C ．g (x )＝3x 2＋2x
D ．g (x )＝－3x 2－2x
【答案】B
【解析】设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－2，
c ＝0，
∴g (x )＝3x 2－2x .
4．(2018陕西咸阳三模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－cos πx ，x >0， f (x ＋1)＋1，x ≤0，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－43的值
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．－2
【答案】C
【解析】f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－43＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＋2＝－cos 2π
3＋2
＝12＋2＝5
2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝12＋52＝3.
5．(2018安徽马鞍山质检)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋
f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )
A ．44
B ．45
C ．1 009
D ．2 018
【答案】A
【解析】由442＝1 936，452＝2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.
6．(2018湖南衡阳县联考)若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2a ≥0，
b －x >0，解不等式组得⎩⎨⎧
x ≥2a ，x <b .
∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝4，
∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B. 7．(2018福建福州八中期末)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2 x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0，若f (a )＝3，
则f (a －2)＝( )
A ．－1516
B ．3
C ．－6364或3
D ．－15
16或3
【答案】A
【解析】若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516；若a ≤0，则4a －2
－1＝3，解得a ＝3，不合题意．综上f (a －2)＝－1516.故选A.
8．(2018河南南阳第一中学第一次模拟)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3x 的
定义域为( )
A ．(－9,0)∪(0,9)
B ．(－9，－1)∪(1,9)
C ．(－3，－1)∪(1,3)
D ．(－9，－3)∪(3,9) 【答案】B
【解析】因为函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，所以3＋x
3－x >0，解得－3<x <3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－3<x 3<3，
－3<3
x <3，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－9<x <9，
x >1或x <－1，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x 的定义域为(－9，－1)∪(1,9)．故选B.
二、填空题
9．(2019湖北黄冈浠水县实验高中模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．
【答案】⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－12 【解析】∵函数f (x )的定义域为(－1,0)， ∴由－1＜2x ＋1＜0，解得－1<x <－1
2.
∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－12.
10．(2019山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)
－x 2
－3x ＋4
的定义域是________． 【答案】(－1,1)
【解析】∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x >－1，－4<x <1，
即－1＜x ＜1，
∴所求函数的定义域是(－1,1)．
11．(2018广西桂林调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.
若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝
________.
【答案】1
2
【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则25
2－b ＝4，解得b ＝1
2，满足题意．
12．(2018浙江台州一模)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，有f (x ＋1 001)＝2
f (x )＋1.若f (15)＝1，则f (2 017)＝________. 【答案】1
【解析】根据题意， f (2 017)＝f (1 016＋1 001)＝2
f (1 016)＋1， f (1 016)＝f (15
＋1 001)＝2f (15)＋1，而f (15)＝1，所以f (1 016)＝2
1＋1＝1，则f (2 017)＝
2f (1 016)＋1＝2
1＋1＝1.
三、解答题
13．(2018湖南永州模拟)已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.
(1)求f (－1)和f (1.5)的值；
(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．
【解】(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－1
8.
(2)当x ∈[0,1]时， f (x )＝x 2
；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1], f (x )＝－1
2f (x －1)
＝－1
2(x －1)2；
当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；
当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，
－2(x ＋1)2
，x ∈[－1，0)，
x 2
，x ∈[0，1]，
－12
(x －1)2
，x ∈(1，2].。