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宁夏长庆高级中学2015—2016学年第二学期
高三数学（文）第一次模拟试卷
2月26日
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的．
1. 设R U =，{}12>=x x A ，{}0log 2>=x x B ，则=B C A U I （）
A ．{}0<x x
B ．{}1>x x
C ．{}10≤<x x
D ．{}10<≤x x
【解析】易知{}0>=x x A ，{}1>=x x B ，则{}
10≤<==x x B C A U I ，故选C. 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2z
=（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 【解析】：由题意()()()
22211111i i z i i i -===-++-，故选D ． 3. cos800cos 130°—sin800sin130°等于( )
A. -23
B. -21
C.21
D. 2
3 解析A （此题银川二中5次月考）
4. 设等比数列{a n }中，前n 项之和为S n ，已知S 3=8，S 6=7，则a 7+a 8+a 9=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：a 4+a 5+a 6=S 6﹣S 3=7﹣8=﹣1，a 4+a 5+a 6=a 1q 3+a 2q 3+a 3q 3=（a 1+a 2+a 3）q 3，
所以q 3=，则a 7+a 8+a 9=a 4q 3+a 5q 3+a 6q 3
=．故选B ． 5. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．48cm 3
B ．98cm 3
C ．88cm 3
D ．78cm 3
【解答】解：由三视图知：几何体是长方体削去一个三棱锥，如图：
长方体的长、宽、高分别为6、3、6，∴长方体的体积为6×6×3=108；
削去的三棱锥的底面直角三角形的两直角边长分别为3，5，高为4，∴体积为××3×5×4=10；
∴几何体的体积V=108﹣10=98（cm 3
）．故选：B ． 6. 已知()()1,2,2,4a b ==-r r ，且ka b +r r 与b r 垂直，则k =（ ）
A 、103
B 、103-
C 、203-
D 、203
【解析】：因为ka b +r r 与b r 垂直，所以2()0ka b b ka b b +⋅=⋅+=r r r r r r ，即0206=+k ，解得
3
10-=k ；故选B ． (此题六盘山2次月考)
7．下列命题是假命题的是（）
A ．R ∈∀ϕ，函数)2sin()(ϕ+=x x f 都不是偶函数
B ．R ∈∃βα,，使βαβαcos cos )cos(+=+
C ．向量)1,2(-=a ，)0,3(-=b ，则在方向上的投影为2
D ．“1≤x ”是“1<x ”的既不充分又不必要条件
【解析】易知A 错，故选A.B.当3-3π
βπ
α==，正确，C 、D 正确
8. 若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α
B ．若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m ∥n ，则α∥β
C ．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
【分析】对于选项A 直线m 可能与平面α斜交，对于选项B 可根据三棱柱进行判定，对于选项C 列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D 根据面面垂直的判定定理进行判定即可．
【解答】解：对于选项D ，若m ∥α，则过直线m 的平面与平面α相交得交线n ，由线面平行的性质定理可得m ∥n ，又m ⊥β，故n ⊥β，且n ⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．故选D
9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若
，b 2﹣a 2=ac ，则cosB=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 解：∵，∴由正弦定理，得=2，得c=2a
∵由余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，∴b 2=5a 2﹣4a 2cosB
∵b 2﹣a 2=ac ，∴b 2=a 2+ac=4a 2
因此，4a 2=5a 2﹣4a 2cosB ，解之得cosB= 故选：C(此题银川一中5次月考) 10. 若0,0a b >>，且函数32()42f x x ax bx =--在1=x 处有极值，则41a b
+的最小值为（ ）
A 、49
B 、43
C 、32
D 、23
【解析】：因为函数32()42f x x ax bx =--在1=x 处有极值，所以
02212)1('=--=b a x f ，即6=+b a ，则4114114543()()(5)6662a b a b a b a b b a ++=++=++≥=（当且仅当a
b b a 4=且6=+b a ，即42==b a 时取“=”
）；故选C(六盘山二次月考) 11. 已知点⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+14),(x x y y x y x P 满足，过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于B A ,两点，则AB 的最小值为（ ）
A ．2
B ．62
C ．52
D ．4
解析：选D 作出可行域，由图易得直线在（1,3）处取得最小值，最小值为过该点与过该点
直径垂直的直线，最小值为4. （此题银川二中5次月考）
12. 已知直线y mx =与函数212(),03()11,02
x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图像恰好有3个不同的公共点，则
实数m 的取值范围为( )
A
．4) B
．)+∞ C
． D
．
【解析】做出()f x 的图像，可知0m ≤时，直线y mx =与()f x 只有一个交点，不符题意；
当0m >时，y mx =与1
2()(0)3
x y x =-≤总有一个交点，故y mx =与211(0)2y x x =+>必有两上交点，即方程211(0)2
x mx x +=>必有两不等正实根，即方程2220x mx -+=必有21212
4802020m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩
，解得)m ∈+∞，选B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 设x ，R y ∈，向量(),1a x =r ，()1,b y =r ，()3,6c =-r ，且a c ⊥r r ，//b c r r ，则
()
a b c +⋅=r r r ． 【解析】：a c ⊥r r 360a c x ⇒⋅=-=r r ，2x =，//b c r r 36y ⇒=-，2y =-，则
(1,1)(3,1)a b x y +=++=-r r ，所以()
a b c +⋅=r r r 33(6)(1)15⨯+-⨯-=． 14. 已知3sin 45πα⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 【解析】：434παπ<
<Θ，ππαπ<+<∴42，又53)4sin(=+παΘ，54)4cos(-=+∴πα，则 102)5354(224)4(cos cos -=+-⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=ππαα；
故填．(此题六盘山二次月考) 15. 已知数列满足132n n a a -=+，且1a =2，则n a =__________．
【解析】2,2311=+=-a a a n n Θ，()31,13111=++=+∴-a a a n n ，即数列{}1+n a 是以3
为首项、3为公比的等比数列，则n n a 31=+，即13-=n n a ；故填31n -．(此题六盘山二
次月考)
16. 已知f （x ）=，则 f （2016）= ． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析出f （x ）是周期为6的周期函数，进而可得答案．
【解答】解：∵当x ＞0时，f （x ）=f （x ﹣1）﹣f （x ﹣2），
f （x ﹣1）=f （x ﹣2）﹣f （x ﹣3），
得出f （x ）=﹣f （x ﹣3），可得f （x+6）=f （x ），所以周期是6．
所以f （2016）=f （336×6）=f （0），
=2 0﹣1=
2
1． 三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 17. (本题满分12分)
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔
底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得
BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测
得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．
由正弦定理得
sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=
+·． (此题银川一中5次月考)
18．(本题满分12分)
数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．
解：（Ⅰ）12n n a S +=Q ，12n n n S S S +∴-=，13n n
S S +∴=． 又111S a ==Q ，∴数列{}n S 是首项为，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ． 当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==g ≥，
21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩g
， ，，≥． （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++L ，
当1n =时，11T =；
当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++g g L g ，…………①
12133436323n n T n -=++++g g L g ，………………………②
-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-L g 213(13)222313
n n n ---=+--g g 11(12)3n n -=-+-g ． 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭
≥． 又111T a ==Q 也满足上式，1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=
+-∈ ⎪⎝⎭N
（此题银川一中5次月考）
19.（本小题满分12分）． 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.
(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．
[解析] (1)∵折起前AD 是BC 边上的高．
∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，
又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，
∵AD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC.
(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，
∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，
从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12
， S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32
， ∴三棱锥D －ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32
. （此题银川二中5次月考）
20.（本小题满分12分）
已知四棱锥CD A-B E ，其中C C 1AB =B =A =BE =，CD 2=，CD ⊥面C AB ，//CD BE ，F 为D A 的中点．
（Ⅰ）求证：F//E 面C AB ；
（Ⅱ）求证：面D A E ⊥面CD A ；
（III ）求四棱锥CD A-B E 的体积．
试题解析：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ，
∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=2
1DC=1 ． ∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ．
ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ．
（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC
又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG
∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ．
∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC
∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ．
（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ． 4
3631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V 21.（本小题满分12分）．
已知函数)0,(ln 2)1()(2>∈∈--=a R a N k x a x x f k
且. A
B
C D
E
F
G
（1）求)(x f 的极值；
（2）若2016=k ，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值.
【解析】（1）x a x x f k 12)1(2)(⋅
--='， 当k 为奇数时，022)(>+='x
a x x f ，∴)(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f 无极值. 当k 为偶数时，x
a x a x x a x x a x x f ))((22222)(2-+=-=-='， ∴)(x f 在),0(a 上单调递减，),(+∞a 上单调递增，
∴)(x f 有极小值，a a a a a a a f x f ln ln 2)()(-=-==极小值. ..............5分
（2）∵2016=k ，则x a x x f ln 2)(2
-=，
令ax x a x x g 2ln 2)(2--=， )(2222222)(22a ax x x
x a ax x a x a x x g --=--=--=' 令0)(='x g ，∴02
=--a ax x ，∵0>a ，0>x ，∴2420a a a x ++=. 当),0(0x x ∈时，0)(<'x g ，∴)(x g 在),0(0x 上单调递减.
当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ，∴)(x g 在),(0+∞x 上单调递增. ..........9分
又0)(=x g 有唯一解，∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x g x g ，即⎩
⎨⎧=--=--②①,0,02ln 20200020a ax x ax x a x ..............10分
②-①得：101ln 20ln 200000=⇒=-+⇒=-+x x x a ax x a . ∴2
1=a . ....................12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图，在ABC ∆中， 090=∠B ，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，
过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F ．
（1）证明：E 是BC 的中点；（2）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅．
（Ⅰ）证明：连接BD ，因为AB 为⊙O 的直径，
所以BD AC ⊥，又90B ∠=o ，所以CB 切⊙O 于点B ，
且ED 切于⊙O 于点E ，因此EB ED =，
EBD EDB
∠=∠， 90CDE EDB EBD C ∠+∠==∠+∠o ，
所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =，
即E 是BC 的中点
（Ⅱ）证明：连接BF ，显然BF 是t R ABE ∆斜边上的高，
可得ABE AFB ∆∆∽A ，于是有AB AE AF AB =， 即2AB AE AF =⋅， 同理可得2AB AD AC =⋅，所以AD AC AE AF ⋅=⋅
（此题银川二中5次月考）
23 （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-π
θρ，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
试题解析：解：（1）由得．
从而的直角坐标方程为，即．
时，，所以．时，，所以．
（2）点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为．
所以点的直角坐标为
，则点的极坐标为． 所以直线
的极坐标方程为． （此题银川一中4次月考）
24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知R b a ∈,，12)(---=x x x f .
（1）若0)(>x f ，求实数x 的取值范围；
（2）对R b ∈∀，若)(x f b a b a ≥-++恒成立，求a 的取值范围.
【解析】（1）由0)(>x f 得12->-x x ，
两边平方得124422+->+-x x x x ， 解得23<x ，即实数x 的取值范围是)2
3,(-∞. .....................5分 （2）a b a b a b a b a 2=-++≥-++， ∵12)(---=x x x f ，1)(max =x f ， ∴2
1212112-≤≥⇒≥
⇒≥a a a a 或. 所以a 的取值范围为),21[]21,(+∞--∞Y . ..................10分。