2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)平面、空间两条直线

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第九章直线、平面、简单几何体
网络体系总览
考点目标定位
1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.
2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质,三垂线定理.
3.两条异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角.
4.点到平面的距离,线面距离,平行平面的距离,异面直线的距离,两点间的球面距离.
5.空间向量及其加法、减法,空间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
6.直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质,球的体积及表面积的计算.
复习方略指南
1.立体几何不外乎两大问题,一类是空间位置关系的论证,这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证,位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等;另一类问题是空间量(空间角、距离、体积、侧面积)的计算,如线面角、二面角的求解.
2.立体几何在高考中,选择题、填空题一般出中等难度的题,解答题中可能会有难题.
3.归纳总结,理线串点,从知识上可分为:(1)平面的基本性质;(2)两个特殊的位置关系,即线线、线面、面面的平行与垂直;(3)三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题,
总结出解题方法,对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解,还要注意把空间向量贯彻、渗透其中,通过一题多解,使学生把所学知识真正学活、会用.
4.抓主线攻重点,可以针对一些重点内容进行训练,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化,并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量.
5.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,如割补思想、降维转化思想,即化空间问题到平面图形中去解决,又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决,又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算,这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事半功倍的效果.
9.1 平面、空间两条直线
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面内.它常用于判定直线在平面内、点在平面内.
(2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
它的作用有五个:①判定两个平面相交;②证明点在直线上;③证明三点共线;④证明三线共点;⑤画两个平面的交线.
(3)公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理3及三个推论的作用:①确定平面;②证明两平面重合;③证明点、线共面;④作截面、辅助面.
2.空间两条直线的位置关系
(1)相交直线——有且仅有一个公共点.
(2)平行直线——在同一平面内,没有公共点.
(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
3.异面直线
定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
4.异面直线的判定方法
方法一:利用定理“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线”判定.
方法二:利用反证法,即假设这两条直线不是异面直线,推导出矛盾.
5.异面直线所成的角
(1)定义:直线a、b是异面直线,经过空间一点O分别引直线a′∥a,b′∥b,a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角.
(2)两条异面直线所成的角的范围为(0°,90°).
(3)异面直线所成角的求法
A.平移,解三角形(平移主要有三种方法,即直接平移、中位线平移、补形平移).
B.〔供9(B)选用〕空间向量.
由于异面直线所成角的范围是(0°,90°],如果平移后在三角形中求出的角是钝角,则取它
的补角.
6.两条异面直线的公垂线
定义:把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.
注:与两条异面直线都垂直的直线有无数条;与两条异面直线都垂直、相交的直线有一条.
7.两条异面直线的距离
定义:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线的距离.
8.平行公理
公理4:平行于同一直线的两直线平行.
该公理揭示了平行线具有传递性.它的主要作用是沟通了“线线平行”与“线面平行”之间的内在联系,提供了判断空间直线平行及点、线共面的方法.
9.等角定理及推论
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
10.斜二测画法
斜二测画法是借助平面表现空间的主要手法,其原则是:(1)平行性保持不变;(2)平行于x 轴的线段在直观图中长度不变,平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
二、点击双基
1.若a 、b 是异面直线,则只需具备的条件是( )
A.a ⊂平面α,b ⊄平面α,a 与b 不平行
B.a ⊂平面α,b ⊂平面β,α∩β=l ,a 与b 无公共点
C.a ∥直线c ,b ∩c=A,b 与a 不相交
D.a ⊥平面α,b 是α的一条斜线
答案:C
2.下列说法正确的是( )
A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B.两条相交直线的直观图可能平行
C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D.一个角一定是平面图形
答案:D
3.(2004北京朝阳模拟)如图,正四面体S —ABC 中,D 为SC 的中点,则BD 与SA 所成角的余弦值是( )
A.33
B.32
C.63
D.6
2 解析:取AC 的中点E,连结DE 、BE,则DE ∥SA,∴∠BDE 就是BD 与SA 所成的角.设SA=a,
则BD=BE=23a,DE=21a,cos ∠BDE=DE BD BE DE BD •-+2222=63. 答案:C
4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,那么
(1)哪些棱所在直线与直线BA 1成异面直线?________________________________________;
(2)直线BA 1与CC 1所成角的大小为___________________;
(3)直线BA 1与B 1C 所成角的大小为___________________;
(4)异面直线BC 与AA 1的距离为___________________;
(5)异面直线BA 1与CC 1的距离为___________________.
答案:(1)D 1C 1、D 1D 、C 1C 、C 1B 1、DC 、AD
(2)45° (3)60° (4)a (5)a
5.正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是___________________.
解析:连结FE 1、FD,则由正六棱柱相关性质可得FE 1∥BC 1,
在△EFD 中,EF=ED=1,∠FED=120°,
∴FD=︒••-+120cos 222ED EF ED EF =3.
在△EFE 1和△EE 1D 中,易得E 1F=E 1D=1)2(2+=3,∴△E 1FD 是等边三角形,∠FE 1D=60°.而∠FE 1D 即为E 1D 与BC 1所成的角.
答案:60°
诱思·实例点拨
【例1】 如图,四面体ABCD 中,E 、G 分别为BC 、AB 的中点,F 在CD 上,H 在AD 上,且有DF ∶FC=2∶3,DH ∶HA=2∶3.
求证:EF 、GH 、BD 交于一点.
证明:连结GE 、HF ,∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点,∴GE ∥AC.又∵DF ∶FC=2∶3,DH ∶HA=2∶3,∴HF ∥AC.∴GE ∥HF.故G 、E 、F 、H 四点共面.又∵EF 与GH 不能平行, ∴EF 与GH 相交,设交点为O.
则O ∈面ABD ,O ∈面BCD ,而平面ABD ∩平面BCD=BD.∴EF 、GH 、BD 交于一点. 讲评:证明线共点,常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法,而第三条直线又往往是两
平面的交线.
【例2】 A 是△BCD 平面外的一点,E 、F 分别是BC 、AD 的中点,
(1)求证:直线EF 与BD 是异面直线;
(2)若AC ⊥BD,AC=BD,求EF 与BD 所成的角.
(1)证明:用反证法.设EF 与BD 不是异面直线,则EF 与BD 共面,从而DF 与BE 共面,即AD 与BC 共面,所以A 、B 、C 、D 在同一平面内,这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.
(2)解:取CD 的中点G,连结EG 、FG ,则EG ∥BD,所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中,求得∠FEG=45°,即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.
链接·提示
(1)证明两条直线是异面直线常用反证法;(2)求两条异面直线所成的角,首先要判断两条异面直线是否垂直,若垂直,则它们所成的角为90°;若不垂直,则利用平移法求角,一般的步骤是“作(找)—证—算”.注意,异面直线所成角的范围是(0,2
π]. 【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=a,BC=b,AA 1=c,且a>b,求:
(1)下列异面直线之间的距离:AB 与CC 1;AB 与A 1C 1;AB 与B 1C.
(2)异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.
(1)解:BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段,故AB 与CC 1的距离为b.
AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段,故AB 与A 1C 1的距离为c.过B 作BE ⊥B 1C,垂足为E,则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线,BE=C B BC BB 11•=22c
b b
c +,即AB 与B 1C 的距离为22c b bc
+.
(2)解法一:连结BD 交AC 于点O,取DD 1的中点F,连结OF 、AF,则OF ∥D 1B,∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.
∵AO=222b a +,OF=2
1BD 1=2222c b a ++,AF=2422c b +,
∴在△AOF 中,cos ∠AOF=
OF AO AF OF AO •-+2222=))((222222
2c b a b a b a +++-. 解法二:如下图,在原长方体的右侧补上一个同样的长方体,连结BG 、D 1G,则AC ∥BG , ∴∠D 1BG(或其补角)为D 1B 与AC 所成的角.
BD 1=222c b a ++,BG=22b a +,D 1G=224c a +,
在△D 1BG 中,cos ∠D 1BG=BG B D G D BG B D •-+1212212=-))((222222
2c b a b a b a +++-, 故所求的余弦值为))((222222
2c b a b a b a +++-.
链接·拓展
利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.。

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