高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 文

12/11/2021
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根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有 一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
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【解析】 在命题 p 中，当 x<0 时，x＋1x<0， 所以命题 p 为假命题，所以﹁p 为真命题；
在命题 q 中，sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4，
当 x＝π4时，sin x＋cos x＝ 2， 所以 q 为真命题，故①为真命题．
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(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤 ①先判断简单命题 p，q 的真假． ②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
p：c2＜c 和 q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0.若
p 和 q 有且仅有一个成立，则实数 c 的取值范围是
___－__21_，__0__∪___12_，__1______．
[解析] p：由 c2＜c 得 0＜c＜1；
q：由 Δ＝16c2－4＜0，
得－12＜c＜12.
要使 p 和 q 有且仅有一个成立，则
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1.(2018·南京质检) 已知命题 p：∃x∈R， x2＋1<2x；命题 q：若 mx2－mx－1<0 恒成立，则－4<m<0， 那么下列说法正确的是___③_____． ①﹁p 是假命题； ②q 是真命题； ③p 或 q 为假命题； ④p 且 q 为真命题．
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【解析】 (1)由全称命题的否定是存在性命题得，命题 “∀x≥2，x2≥4”的否定是“∃x≥2，x2＜4”，故填∃x≥2.
(2)因为 sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4≤ 2<32，故①错误；当 x<0
时，y＝2x 的图象在 y＝3x 的图象上方，故③错误；因为
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[解析] 函数 y＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，
所得函数为 y＝sin2x－π3＝sin2x－23π，
所以命题 p 是假命题．
又 y＝sinx＋π6cosπ3－x ＝sinx＋π6cosπ2－x＋π6 ＝sin2x＋π6＝12－12cos2x＋π3，
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(3)含有一个量词的命题的否定 命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
_____∃_x_∈__M__，__﹁_p_(_x_) __
∃x∈M，p(x)
_____∀__x∈__M__，__﹁_p_(_x_) __
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1．如果命题“非 p 或非 q”是假命题，给出下列四个结论： ①命题“p 且 q”是真命题；②命题“p 且 q”是假命题； ③命题“p 或 q”是真命题；④命题“p 或 q”是假命题． 其中正确的结论序号是__①__③____．
实数 c 的取值范围为－21，0∪12，1.
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——复合命题真假性判断 (2018·郑 州 调 研 ) 分 别 指 出 由 下 列 命 题 构 成 的 “p∨q”“p∧q”“ ﹁p”形式的命题的真假． (1)p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}； (2)p：1 是奇数，q：1 是质数； (3)p：0∈∅，q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；
含有逻辑联结词命题的真假判定 (2018·徐州模拟)已知命题 p：∀x∈R，x＋1x≥2；命
题 q：∃x∈0，π2，使 sin x＋cos x＝ 2，则下列命题中为
真命题的是___①_____． ① (﹁p)∧q ②p∧(﹁q) ③(﹁p)∧(﹁q) ④p∧q
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因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0 恒成立，即 p 真，所以
﹁p 假． (2) ﹁q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3) ﹁r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R， x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0 成立． (4) ﹁s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于 x＝－1 时， x3＋1＝0.
[解析] 对于存在性命题的否定，是将“∃”改为“∀”，再 将“＞”否定为“≤”．
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3．下列命题中是真命题的序号是__①__②__④__． ①∃x∈R，x＋1x＝2；②∃x∈R，sin x＝－1； ③∀x∈R，x2>0；④∀x∈R，2x>0.
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命题 p：将函数 y＝sin 2x 的图象向右平移π3
个 单 位 得到 函 数 y＝ s in 2x－π3 的 图 象 ；命 题 q ： 函 数 y ＝ sin x＋π6 · cos π3－x 的 最 小 正 周 期 为 π ， 则 命 题
“p∨q”“p∧q”“ ﹁p”中真命题的个数是___2_____．
[解析] “非 p 或非 q”是假命题⇒“非 p”与“非 q”均为假 命题⇒p 与 q 均为真命题．
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2 ． (2018·南 通 调 研 测 试 ) 命 题 “ ∃ x ∈ R ， 2x>0 ” 的 否 定 是 “__∀__x_∈__R__，__2_x≤__0__________”．
(4)p：5≤5，q：27 不是质数．
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【解】 (1)因为 p 是假命题，q 是真命题， 所以 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， ﹁p 为真命题． (2)因为 1 是奇数， 所以 p 是真命题． 又因为 1 不是质数， 所以 q 是假命题． 因此 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，﹁p 为假命题．
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(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ①p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假． ②p∨q 假⇔p，q 均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真． ③p∧q 真⇔p，q 均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假． ④p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真． ⑤﹁p 真⇔p 假；﹁p 假⇔p 真．
x∈0，π4时有 sin x<cos x，故④错误．
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(1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区 别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词 (或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题 的否定则是直接否定结论即可． (2)要判断“﹁p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断 p 的真假．因为 p 与﹁p 的真假相反且一定有一个为真，一个 为假．
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所以其最小正周期为 T＝22π＝π， 所以命题 q 真． 由此，可判断命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，“﹁p”为真． 所以真命题的个数是 2.
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含有一个量词的命题的否定(高频考点)
(1)(2018·无锡市高三上学期期末考试)命题“∀x≥2， x2≥4”的否定是“_∃__x≥___2__，x2＜4”． (2)下列命题中的假命题的序号是_____①__③__④____________． ①∃x∈R，使得 sin x＋cos x＝32； ②∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1； ③∃x∈(－∞，0)，2x<3x； ④∀x∈(0，π)，s页，共三十四页。
(2)存在量词与存在性命题 ①短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在 量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存 在性命题． ②存在性命题“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立”可用符号 简记为“∃x∈M，p(x)”，读作“存在 M 中的元素 x，使 p(x) 成立”．
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(3)因为 0∉∅，所以 p 为假命题．
又因为
x2－3x－5<0⇒3－2
29 3＋ <x< 2
29，
所以{x|x2－3x－5<0}＝x|3－2
29 3＋ <x< 2
29⊆R
成立．
所以 q 为真命题．
所以 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，﹁p 为真命题．
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[解析] 由于 x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即 x2＋1≥2x， 所以 p 为假命题； 对于命题 q，当 m＝0 时，有－1<0，恒成立， 所以命题 q 为假命题． 综上可知：﹁p 为真命题， p 且 q 为假命题，p 或 q 为假命题．
(3)命题 p∧q，p∨q，﹁p 的真假判断：
p∧q 中 p、q 有一假为假，p∨q 中 p、q 有一真为真，p 与非
p 必定是一真一假．
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2．全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题 ①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称 命题． ②全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简 记为“∀x∈M，p(x)”，读作“对任意 x 属于 M，有 p(x)成 立”．
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2．命题 p：有的三角形是等边三角形．命题﹁p： _所__有__的__三__角__形__都__不__是__等__边__三__角__形______________． [解析] 命题 p 为存在性命题，故﹁p 为全称命题．
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必明辨的 2 个易错点 (1)p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可；p∧q 为真命 题，必须 p、q 同时为真． (2)对命题否定时，要注意其中量词的变化．
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1．下列命题中，所有真命题的序号是___①__②___． ①5>2 且 7>4；②3>4 或 4>3；③ 2不是无理数． [解析] ①5>2，7>4 都正确，故①为真命题．②4>3 正确，故 ②为真命题．而③显然错误．
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由命题的真假确定参数的取值范围 已知命题 p：关于 x 的方程 x2－ax＋4＝0 有实根；命 题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax＋4 在[3，＋∞)上是增函数．若 p∨q 是真命题，则实数 a 的取值范围是__(_－__∞__，__＋__∞__)___． 【解析】 若命题 p 是真命题，则 Δ＝a2－16≥0，即 a≤－4 或 a≥4；若命题 q 是真命题，则－a4≤3，即 a≥－12.因为 p 或 q 是真命题，所以 a∈R，即 a 的取值范围是(－∞，＋∞)．
第一章 集合(jíhé)与常用逻辑用语
第3讲 简单的逻辑(luójí)联结词、全 称量词与存在量词
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1．简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作 p∧q，用联结
词“或”联结命题 p 和命题 q，记作 p∨q. (2)对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p， 读作“非 p”或“p 的否定”．
(4)显然 p：5≤5 为真命题，q：27 不是质数为真命题，
所以 p∨q 为真命题，p∧q 为真命题，﹁p 为假命题．
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本考题源于苏教版选修 1-1P10 例 2：写出由 下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”以及“非 p”形 式的命题： (1)p：3 是质数，q：3 是偶数； (2)p：方程 x2＋x－2＝0 的解是 x＝－2， q：方程 x2＋x－2＝0 的解是 x＝1.
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写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
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解：(1) ﹁p：∃x∈R，x2－x＋14<0，这是假命题．