近年高考数学一轮复习第7章不等式第2讲不等式的性质与基本不等式演练文(2021年整理)

2019高考数学一轮复习第7章不等式第2讲不等式的性质与基本不等式分层演练文
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第2讲不等式的性质与基本不等式
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式一定成立的是( ）A．a2<b2B．ab2>a2b
C．错误!<错误!D．错误!〈错误!
解析：选C。

若a<b<0，则a2>b2，故A错；若0<a<b，则错误!>错误!,故D 错；若ab〈0,即a<0，b>0，则a2b〉ab2，故B错；故C正确．所以选C.
2．已知0<a<b<1，则（)
A．错误!>错误! B.错误!错误!<错误!错误!
C．(lg a)2<(lg b)2D。

错误!〉错误!
解析:选D.因为0〈a〈b〈1，
所以错误!－错误!＝错误!〈0，
可得错误!〈错误!；错误!错误!>错误!错误!；(lg a）2〉(lg b）2；
因为lg a<lg b<0，
所以
1
lg a
〉错误!，综上可知D正确，
另解：取a＝错误!，b＝错误!，排除验证，知D正确，故选D. 3．当x>0时,函数f(x)＝错误!有( ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2
解析：选B。

f(x)＝错误!≤错误!＝1。

当且仅当x ＝错误!,x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1。

4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且错误!≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选A 。

因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）2
4＝错误!＝1，所以错误!≥1；
又错误!≥M 恒成立,所以M ≤1,即M 的最大值为1。

5．若错误!<错误!<0,则下列结论不正确的是( ) A ．a 2
〈b 2
B ．ab 〈b 2
C ．a ＋b 〈0
D ．|a |＋｜b |>|a ＋b |
解析：选D.由于1a <1b
〈0，不妨令a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2
，故A 正
确．ab ＝2，b 2
＝4，故B 正确．
a ＋
b ＝－3〈0，故C 正确．
｜a ｜＋|b ｜＝3，|a ＋b ｜＝3,｜a |＋|b ｜＝｜a ＋b ｜，所以D 不正确．故选D.
6．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b 〉0)被圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0截得的弦长为2错误!，则ab 的最大值是（ )
A ．9
B 。

9
2
C ．4
D.错误!
解析：选B 。

将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2
＋（y －2）2
＝5，圆心坐标为（1,2)，半径r ＝错误!,故直线过圆心，即a ＋2b ＝6,所以a ＋2b
＝6≥2a·2b,可得ab≤错误!，当且仅当a＝2b＝3时等号成立,即ab的最大值是错误!，故选B.
二、填空题
7．已知存在实数a满足ab2〉a>ab，则实数b的取值范围是________．解析:因为ab2〉a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2〉1>b，即错误!解得b〈－1；
当a<0时，b2〈1<b,即错误!无解．
综上可得b<－1。

答案：（－∞，－1)
8．已知a>0,b〉0，a＋2b＝3，则2
a
＋错误!的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得错误!a＋错误!b＝1,
所以错误!＋错误!＝错误!错误!
＝错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!。

当且仅当a＝2b＝3
2
时取等号．
答案：8 3
9．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,则菜园的最大面积为________．
解析:设菜园的长为x,宽为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，因为x＋2y≥22xy.所以xy≤错误!＝错误!。

当且仅当x＝2y＝错误!，即x＝错误!，y ＝错误!时，S max＝错误!.
答案：L2 8
10．设a，b〉0,a＋b＝5,则错误!＋错误!的最大值为________．
解析：设错误!＝m，错误!＝n，则m，n均大于零，
因为m2＋n2≥2mn，所以2(m2＋n2)≥（m＋n）2，
所以m＋n≤错误!·错误!，所以错误!＋错误!≤错误!·错误!＝3错误!，当且仅当错误!＝错误!，
即a＝错误!，b＝错误!时“＝”成立,所以所求最大值为3错误!。

答案：3错误!
三、解答题
11．实数x、y满足－1<x＋y〈4，2〈x－y〈3,求3x＋2y的取值范围．解：设3x＋2y＝m(x＋y）＋n(x－y），
则错误!所以错误!
即3x＋2y＝错误!(x＋y）＋错误!（x－y），
又因为－1〈x＋y<4，2〈x－y〈3，
所以－错误!<错误!（x＋y)<10，1〈错误!(x－y)<错误!,
所以－错误!〈错误!（x＋y)＋错误!（x－y)<错误!,
即－错误!〈3x＋2y<错误!，
所以3x＋2y的取值范围为错误!。

12．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天（1≤t≤30,t∈N*)的旅游人数f（t）（万人)近似地满足f（t）＝4＋错误!，而人均消费g(t）(元）近似地满足g(t）＝120－|t－20｜。

（1)求该城市的旅游日收益W（t）(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*）的
函数关系式;
（2)求该城市旅游日收益的最小值． 解：（1)W (t ）＝f (t ）g （t )＝⎝ ⎛
）
4＋
1t （120－|t －20｜)
＝错误!
(2）当t ∈［1，20]时，401＋4t ＋错误!≥401＋2错误!＝441(t ＝5时取最小值)．
当t ∈(20，30]时,因为W （t ）＝559＋错误!－4t 递减， 所以t ＝30时,W (t ）有最小值W （30）＝443错误!， 所以t ∈［1，30]时，W (t ）的最小值为441万元．。