二组元声子晶体综合带隙算法及带隙参数规律研究
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二组元声子晶体综合带隙算法及带隙参数规律研究
李露露;温廷敦;韩建宁;杨鹏
【摘要】在研究声子晶体能带结构的算法方面,分别使用平面波展开法和时域有限元法对声子晶体的能带结构进行计算,并将两种算法得出的禁带结果进行对比研究.根据带隙图的差异分析说明了单一方法可能的不足,同时发现了计算结果最准确的区域是通过两种算法计算所得结果的重合区域,所以使用两种方法相结合的带隙算法,讨论了二组元材料参数和填充率对禁带的影响.研究发现散射体密度与基体的密度的比值越大,禁带的宽度就越宽,散射体相比于基体,对禁带的影响更大;增大填充率时禁带宽度变宽,大到一定程度时禁带宽度变窄.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2015(015)034
【总页数】5页(P123-127)
【关键词】声子晶体;平面波展开法;带隙;材料参数
【作者】李露露;温廷敦;韩建宁;杨鹏
【作者单位】中北大学理学院,太原030051;中北大学理学院,太原030051;中北大学理学院,太原030051;中北大学信息与通信工程学院,太原030051;中北大学信息与通信工程学院,太原030051
【正文语种】中文
【中图分类】O735
声子晶体是一种新型声学功能材料,具有很多天然材料所不具备的声学特性[1],它
是由M.S.Kushwsha等[2]在传统晶体和光子晶体研究的基础上提出的新课题。
近年来人们对声子晶体做了大量的研究[3—5],声波在周期性复合材料中的传播是声子晶体的主要研究方向,声子晶体的共振特性和带隙特性可以通过声波在声子晶体中的运动方程而得出,声子晶体研究的一个重要意义在于通过这些特性来控制声波在晶体中的传播[6]。
为了更好的深入研究能带结构,找到声子晶体调控声波的参数规律,需要找到一种对声子晶体能带结构设计的最好算法,该算法需具备精确度高,速度快,范围广,收敛性好等条件。
声子晶体禁带计算方面最常用的方法是平面波展开法和时域有限元法[7],有关这两种方法介绍的文献已经很多了,但对于将两者结合起来分析的
文献还没有。
运用这两种结合起来的方法,本文对带隙宽度的调制规律做了分析,影响带隙的主要因素有:组元的材料参数和结构参数。
组元的材料参数包括基体、散射体的密度、弹性模量等。
结构参数包括晶格形式,填充率等。
因为晶格形式对带隙的影响的研究已经很多了,本文主要研究材料参数和填充率对带隙的影响,将这两种方法结合起来,从而确定带隙宽度受这些因素的影响程度,为声子晶体的带隙设计提供理论指导。
1.1 基于平面波展开法的带隙特性分析
图1(a)为声子晶体原胞图,图1(b)是二维二组元声子晶体的横截面图,这个声子
晶体是由铅圆柱体按正方晶格周期排列在环氧树脂基体中所形成的,其中,各个铅圆柱之间的距离(即晶格常数)为a,铅圆柱的半径为rcore。
计算中所用的结构参
数为:a=0.001 7 m、rcore=0.000 7 m,相应的填充率为
fh=π(rcore/a)2=0.532,铅圆柱和环氧树脂的材料参数见表1。
计算中引入了
327个集中质量。
由于结构的周期性,组元材料参数λ、μ和ρ都是空间r=(x,y)的周期性函数,各参数均可按傅里叶级数展开[8]。
为了简便,这三个参数都用g来表示
式(1)中S表示原胞的面积表示在原胞上进行面积分。
当G=0时,
g(G)=gAf+gB(1-f)
式(2)中Δg=gA-gB。
P(G)为结构函数,与散射体的形状有关。
对圆柱散射体,
式(4)中J1为一阶第一类Bessel函数,G为倒格矢G的模。
位移场由于结构周期性,可根据Bloch定理分解为
u(r,t)=ei(kr-ωt)uk(r)
式(5)中k为限制在第一Brillouin区内的Bloch波矢;是与各材料参数具有相同周期的函数,同样可展开为傅里叶级数,即
将式(5)代入式(6)得
将式(2)和式(7)分别代入波动方程式中,可得到XY模式的本征方程
图2所示是声子晶体的能带结构图,它是由平面波展开法计算而得到的。
从图2中可以看出,最低完全禁带由第三条色散曲线最大值和第四条色散曲线最小值形成的,频率为400~600 kHz。
第二带隙由第七条色散曲线最大值和第八条色散曲线最小值形成的,频率为810~930 kHz。
第三带隙由第九条色散曲线最大值和第十条色散曲线最小值形成的,频率为1 010~1 050 kHz。
1.2 基于有限元振动的模态分析
观察图2可以发现,在频率范围分别为400~600 kHz,810~930 kHz,1 010~1 050 kHz有禁带存在。
下面采用有限元软件comsol对声子晶体原胞进行振动模态分析。
如图1(b)所示,为了对这种声子晶体进行计算,我们简化了模型,只计算其中一
个重复性晶胞。
波的波矢量K作为Floquet周期性边界条件包含在模型中。
Ez(2)=Ez(1)e-iβ
式(9)中Ez(1)和Ez(2)分别代表声子晶体原胞各材料参数的周期性函数。
β是通过
波矢和周期性边界条件距离d确定的一个相位因子:
β=kd
式(10)中k的范围由声子晶体的倒晶格向量决定。
一个二维晶体有两个晶格矢量(a1和a2),定义在图1(b)中。
从a1到a2的关系式计算倒晶格的矢量。
式(11)中,a3是单位向量ez,当晶格矢量a1和a2相互垂直时,b1和b2变为
在x和y方向上引入周期性边界条件,即位移依据如式(13)
因此,正方形晶格的声子晶体的周期边界条件可以写作:
kx=k(k1b1x+k2b2x)
ky=k(k1b1y+k2b2y)
COMSOL Multiphysics在有限元计算过程中,必须将建立的模型划分为较小的单位进行网格剖分。
选择声场模块中声压物理接口,然后绘制出几何结构,设定好材料参数,边界(Floquet周期性边界条件),然后利用comsol的特征频率求解器计算了4个特征频率。
图4给出的是单个原胞的振动位移场的振幅分布。
图4(a)~(f)分别表示特征频率:410 kHz,599 kHz,810 kHz,940 kHz,1 060 kHz,1 060 kHz。
图4(a)、(b)所
示为第一共振模式,振动主要在铅芯材料区域,基体振动很小;它是铅芯的整体剪
切振动,从而阻断了原色散关系曲线,形成了较宽的带隙。
图4(c)、(d)所示为第
二共振模式,振动主要在环氧树脂材料区域,散射体振动很小;形成了较窄的带隙。
对于4(e)、(f),振动主要为铅芯圆柱内两半区域反相振动,难以与长波条件下的剪
切波产生耦合,所以在该共振模式下未能产生带隙。
1.3 能带计算与讨论
比较图2和图4两种算法发现,得出的禁带不同,可以发现平面波展开法算出400~600 kHz,810~930 kHz,1 010~1 050 kHz三条禁带。
时域有限元法算出410~599 kHz,810~940 kHz两条禁带。
为了进一步研究,下面就这个模型,取散射体半径rcore为0.000 4~0.000 9 m。
分别利用平面波展开法和时域有限元法计算禁带结果如表2所示。
从表2中可以看出,①对于同一个结构平面波展开法和时域有限元法算出的禁带
个数不同。
时域有限元法的禁带个数一般少于等于平面波展开法的禁带个数;②禁带范围不同,但有重合区域。
通过对两种算法进行研究,发现了它们的局限性:平面波展开法,采用矢量分析方法,其计算精度正比于平面波数,计算量与平面波数成立方关系,所以如果平面波数不够的话容易引起计算不准确,产生不存在的带隙。
时域有限元法,是对微分方程进行差分,近似求解的过程,所以是禁带结果的近似。
因为两种算法都有它的合理性,所以重合的区域不是偶然的,把重合的区域作为最后禁带的计算结果。
通过上述的分析可以得出结论:平面波展开法计算能带结构后会产生一些不存在的带隙,而时域有限元法计算后会使带隙不准确。
将两种方法结合起来,先用平面波展开法对禁带进行粗略的计算,再用时域有限元法对其所算出的禁带进行真伪鉴定,最后确定禁带范围—两者的重合区域。
用时域有限元法计算能带结构时,一般会
取声子晶体中的一个原胞作为计算区域,在此区域内用有限元软件comsol对声子晶体进行模态分析,它能使振动模态动态化,从图中可以看出,在声子晶体受到激励时,其原胞振动的一个清晰的动态图像。
结合本文两种算法相比较得出1 010~1 050 kHz是一条不存在的禁带。
两种算法
算出禁带的重合区域为:410~599 kHz,810~930 kHz。
铅圆柱体按正方晶格周
期排列在环氧树脂基体中形成的禁带为:410~599 kHz,810~930 kHz。
通过上述将平面波展开法和有限元法结合起来计算声子晶体带隙的方法,讨论组元材料参数和填充率对带隙的影响。
散射体材料参数对带隙的影响,我们采用上述的声子晶体模型,只改变散射的材料参数,散射体分别采用碳、铝、钢、铅、金,按正方晶格周期排列在环氧树脂基体中形成的声子晶体为研究对象。
图5为声子晶体第一带隙随散射体密度增大的变
化曲线。
填充率对带隙的影响,我们采用固定晶格,增大散射体半径来增加填充率,变化曲线如图6所示。
从图5中可以看出,随着散射体密度的增大带隙下边界往下移动,而带隙上边界
时大时小,仔细观察发现,带隙上边界变小的都是弹性模量比较小的,像铅和金。
说明带隙上边界的主要影响因素是散射的弹性模量,下边界的影响因素是散射的密度。
所以散射体密度越大,弹性模量越小相对应的带隙宽度越宽。
基体材料参数对带隙的影响。
基体密度越大,基体与散射体的密度比就越大,与散射体密度对带隙的影响相似,带隙下边界向低频方向移动。
基体的弹性模量变化时,其带隙变化不大。
综上所述,散射体与基体的密度比值越大,禁带的宽度就越宽,相比于基体散射体对带隙的影响更大。
图6所示,随着填充率逐渐增大,带隙上边界会有所上升,下边界逐渐下降,宽
度逐渐变宽,这是由于当散射体增大到一定体积后,相邻两个柱体间相互振动作用加强,通带宽度增加,带隙宽度减小。
本文研究了声子晶体能带结构的算法,分别用平面波展开法和时域有限元法对声子晶体能带结构进行计算,对两种算法计算出的结果进行对比分析,发现了单一算法可能存在的不足,同时发现两种算法的重合区域是带隙计算最准确的结果,所以使
用两种结合起来的带隙算法,讨论了二组元材料参数和填充率对带隙的影响。
研究发现散射体与基体的密度比值越大,禁带的宽度就越宽,相比于基体散射体对带隙的影响更大。
增大填充率时带隙宽度变宽,大到一定程度时带隙宽度变窄。
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