湖南省湖湘教育三新探索协作体2020-2021学年高一上学期11月联考数学试题

湖南省湖湘教育三新探索协作体2020-2021学年高一上学期
11月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}1,2A =，{}|12=-<<B x x ，则A B =（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
2．命题“x N ∀∈，20x x +>”的否定是（ ） A ．x N ∀∉，20x x +< B ．x N ∀∈，20x x +≤ C ．x N ∃∈，20x x +<
D ．x N ∃∈，20x x +≤
3．设()3,0
1,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩
，则()()1f f -=（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >
B ．33a b >
C ．21a b -<
D ．
11
a b
< 5．已知:1p x >，:1q x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不
必要条件
6．函数1y x x =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时()2
3f x x x =-，则不等式()0
f x <的解集是（ ） A ．()0,3 B ．()3,+∞
C ．()
()
,30,3-∞-
D ．()()3,03,-⋃+∞
8．已知m ，R n ∈，且有222m n m n ++=，则12m n m n ++++的最小值是（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
二、多选题
9．下列命题中是假命题的有（ ） A ．函数()1
f x x x
=+
的最小值为2 B ．若21x ≤，则1x ≤ C ．不等式2
10ax ax 对任意R x ∈恒成立，则实数a 的范围是()4,0-
D ．若0a b >>，则
c c a b
< 10．已知集合{}2
|1A x y x ==+，{
}
2
|1B y y x ==+，下列关系正确的是（ ） A ．A B =
B ．A B ≠
C ．A B A =
D ．A B B =
11．关于函数()()21R x
f x m m =--∈，下列结论正确的有（ ） A ．若01m <≤，则()f x 的图象与x 轴有两个交点 B ．若1m ，则()f x 的图象与x 轴只有一个交点 C ．若0m <，则()f x 的图象与x 轴无交点 D ．若()f x 的图象与x 轴只有一个交点，则1m 12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫
++=
⎪+⎝⎭
，当10x -<<时，()0f x >，则以下结论正确的是（ ）
A ．()00f =
B ．()f x 为奇函数
C ．()f x 为单调递减函数
D ．()f x 为单调递增函数
三、填空题
13．)
10
2
419-⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭
______.
14．已知幂函数()R y m x
m α
=⋅∈的图象过点()
，则m α+=______.
15．股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券，它可以作为买卖对象和抵押品，是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌，在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%，当日上涨10%称为涨停，当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元，若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天，则4天后每股的价格是______元.
16．已知函数()2
2f x x kx =+-，若对于任意的1x 、2x 、352,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，以()1f x 、()2f x 、
()3f x 为长度的线段都可以围成三角形，则实数k 的取值范围为______.
四、解答题
17．已知全集U =R ，集合5|01x A x x -⎧⎫
=≤⎨⎬+⎩⎭
，{}|4,0B x a x a a =≤≤>. （1）求
U
A ；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 18．已知二次函数()2
24f x x ax =++.
（1）若函数()f x 在区间
3,2单调，求实数a 取值范围；
（2）若函数()f x 是偶函数，函数()()1g x f x =+，[]
4,6x ∈-，求函数()g x 的值域.
19．已知a ，R b ∈.
（1）求证：22
2(1)a b a b +≥+-；
（2）若0a >，0b >，3a b +=，求证：14914
a b ++≥. 20．已知函数()2
1
2mx
x f x -+=.
（1）若1m =，判断()f x 在区间1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
的单调性并证明；
（2）若()f x 的值域是)
+∞，求m 的取值范围.
21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产x 万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为2
1485
y x x =
+，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
22．已知函数()y f x =对任意1x ，()212R x x x ∈≠有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒
成立，函数()2020y f x =-的图象关于点()2020,0成中心对称图形.
（1）解不等式211202x f x ⎛⎫
-+<
⎪-⎝⎭
； （2）已知函数()y f x =是3
y x =，1
y x x
=+
，4y x =-中的某一个，令()22x x
a
g x =+
，求函数()()()F x g f x =在(],2-∞上的最小值.
参考答案
1．B 【分析】
直接根据交集的定义计算可得； 【详解】
解：∵{}1,2A =，{}|12=-<<B x x ，∴{}1A B ⋂=， 故选：B ． 2．D 【分析】
根据全称命题的否定的结构特点写出即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，命题“x N ∀∈，20x x +>”为全称命题， 它的否定是：x N ∃∈，20x x +≤. 故选：D ． 3．A 【分析】
根据函数解析式，由内到外逐步代入，即可求出函数值. 【详解】
()3,01,0
x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，()11∴-=f ，
()()()11134∴-==+=f f f ，
故选：A ． 4．B 【分析】
利用不等式的性质，结合函数的单调性对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】
对于A ，当0b a <<，22a b <，故A 错误；
对于B ，由3
y x =在R 上单调递增，若a b >，则33a b >，故B 正确；
对于C ，a b >，0a b ∴->，由2x y =在R 上单调递增，0221-∴>=a b ，故C 错误； 对于D ，11b a a b ab --=，当0a b >>时，0,0-<<b a ab ，0b a
ab ->，即11a b
>，故D 错误. 故选：B 5．B 【分析】
解出1x >即可判断. 【详解】
由1x >解得1x <-或1x >， 因此p 是q 的必要不充分条件. 故选：B ． 6．B 【分析】
利用分类讨论思想写出函数的解析式，再根据解析式选出图像即可. 【详解】
由2,0
,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，22
1,011,0
x x y x x x x ⎧+≥∴=+=⎨-<⎩， 根据函数解析式画出函数图像，如选项B 所示， 故选：B ． 7．C 【分析】
先解当0x >时，()0f x <的解集，由()f x 是奇函数，求出当0x <时，()f x 的解析式，再解()0f x <，取并集即为所求. 【详解】
当0x >时，()2
3f x x x =-，()2
300<⇒-<f x x x ，解得：03x <<，
又()f x 是奇函数，图像关于原点对称，
当0x <时，()2
3f x x x =--，()2
300⇒-<<-x x f x ，解得：3x <-，
故不等式()0f x <的解集是()(),30,3-∞-
故选：C ． 8．B 【分析】
由题设结合基本不等式可知24m n +≥，即2m n +≥，再结合不等式的性质可知结论.
【详解】
20,20>>m n ，利用基本不等式知22+≥=m n
又222m n m n ++=，()
2
224224++++∴≥⇒≥⨯⇒≥m n m n
m n m n ，
即2m n +≥，当且仅当1m n ==时等号成立．
由不等式的同向可加性知：2122127m n m n ++++≥++=． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，解答本题的关键是利用基本不等式转化已知条件得到24m n +≥，即2m n +≥，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，
属于基础题. 9．ACD 【分析】
A.取1x =-判断；
B.解不等式21x ≤判断；C 由0a =时判断；D 取0c ≤时判断. 【详解】
A.当1x =-时, ()2f x =-,故错误；
B.因为21x ≤，解得11x -≤≤,故正确； C 当0a =时，不等式显然恒成立，故错误； D 当0c ≤时，c c
a b
≥，故错误． 故选：ACD ． 10．BD 【分析】
化简集合A ,B ,再逐项判断即可得解.
【详解】
化简得R A =，[)1,B =+∞， 所以B A ⊆， 所以A B ≠，A B B =，
故选：BD ． 11．BC 【分析】
作出21x
y =-的图象,平移21x
y =-的图象，可得m 取不同值时()f x 的图象与x 轴的
交点的个数. 【详解】
()f x 的图象可由21x y =-通过上下平移得到，作出21x y =-的图象如下图：
可知下移小于1个单位则()f x 图象与x 轴有两个交点，所以A 错误； 下移超过1个单位，则只有一个交点，故B 正确； 若上移则没有交点，所以C 正确；
只有一个交点时，显然可以不平移，或者下移超过1个单位，故D 错误． 故选：BC ． 12．ABC 【分析】
A.令0x y ==求解判断；
B.令y x =-求解判断；CD.令1x x =，2y x =-，且12x x <，由
()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫
--=+-= ⎪-⎝⎭
判断其符号即可.
【详解】
令0x y ==得()()()000f f f +=，即得()00f =，A 正确；
在定义域范围内令y x =-得()()()00f x f x f +-==，即得()f x 是奇函数，B 正确； 令1x x =，2y x =-，且12x x <，所以()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫
--=+-=
⎪-⎝⎭
，
又120x x -<且111x -<<，211x -<<，所以()()()()1221121110x x x x x x ---=+->，
即12
12
101x x x x --<
<-，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是单调减函数，C 正确，D 错误．
故选：ABC ． 13．
52
【分析】
运用指数幂运算公式进行运算即可. 【详解】
)
110
2
2
4935
1119422-
⎛⎫⎛⎫
+
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
．
故答案为：5
2
14．53
【分析】
根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】
由函数为幂函数知1m =，又代入点得(2α
=，即
312
2
2
α=，解得2
3
α=
，所以函数为2
3y x =，所以25
133m α+=+=．
故答案为：
53
15．1470.15 【分析】
根据题意列出关系式：()()22
1500110%110%⨯+⨯-，计算即可求解. 【详解】
依题意可知，四天后的价格为()()2
2
1500110%110%1470.15⨯+⨯-=． 故答案为：1470.15
16．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
本题首先可根据题意得出当52,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x >恒成立，即2
k x x
>
-恒成立，解得1k >-，
然后根据二次函数性质得出()f x 在522⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增以及()min f x 和()max f x 的值，最后根据三个值中两较小值的和大于最大值即可得出结果. 【详解】
由题意易知，当52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时()0f x >恒成立， 即220x kx +->在52,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，化简为2
k x x
>
-恒成立， 因为函数2
=-y x x 在52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上为减函数，所以max 21x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1k >-， 因为二次函数()2
2f x x kx =+-的对称轴为122
k x =-
<， 所以()f x 在522⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，()()min 222f x f k ==+，()max 55
1722
4f x f k ⎛⎫==+ ⎪
⎝⎭， 要使以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段能围成三角形， 只需三个值中两较小值的和大于最大值， 即()51722224
k k +>
+，解得16k >，
综上所述，实数k 的取值范围为1,6⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
故答案为：1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查二次函数性质，能否根据题意得出()1f x 、()2f x 、()3f x 三个值中两较小值的和大于最大值是解决本题的关键，考查二次函数在区间上的单调性以及最值的判断，考查计算能力，是中档题. 17．（1）{|1U A x x =≤-或}5x >；
（2）50,4⎛⎤
⎥⎝⎦
． 【分析】
（1）解分式不等式求出集合A ，再根据集合的补运算即可求解. （2）根据集合的包含关系可得1a >-且45a ≤，解不等式即可. 【详解】
（1）依题意化简得{}|15A x x =-<≤， 又全集U =R ，所以
{|1U
A x x =≤-或}5x >．
（2）因为{}|4,0B x a x a a =≤≤>，B A ⊆， 所以1a >-且45a ≤， 解得514a -<≤
，又0a >，所以a 的取值范围是50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
． 18．（1）(][),23,-∞-+∞；
（2）[]4,53． 【分析】
（1）求出二次函数的单调区间，根据题意只需3a -≤-或2-≥a ，即求.
（2）根据题意可得0a =，从而求出()()2
14g x x =++，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】
（1）因为()f x 在(]
,a -∞-上递减，在[),a -+∞上递增， 所以()f x 要在
3,2单调需满足3a -≤-或2-≥a ，
解得a 的取值范围是(][),23,-∞-+∞．
（2）由()f x 偶函数得0a =，所以()2
4f x x =+，
所以()()2
14g x x =++，[]
4,6x ∈-， 所以()g x 在[]4,1--上递减，在(]1,6-上递增， 又()14g -=，()653g =，()413g -=， 所以()g x 值域是[]4,53．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）用比较法进行证明即可；
（2）把3a b +=变形为()14a b ++=，然后运用基本不等式进行证明即可. 【详解】
（1）()()()
()()
22
2
2
2
2
212121110a b a b a a b b a b +-+-=-++-+=-+-≥，
当且仅当1a b ==时等号成立，
所以2
2
2(1)a b a b +≥+-，当且仅当1a b ==时等号成立； （2）由条件有()14a b ++=，且0a >，10+>b ，
又
()1411
41141514141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝
⎭
()119
554444
⎛⨯+=⨯+= ⎝≥， 当且仅当
141
b a a b +=+，即12b a +=时等号成立， 此时由3a b +=得43
a =，5
3b =，
即证．
20．（1）()f x 在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，证明见解析；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． 【分析】
（1）将1m =代入解析式，记21u x x =-+，利用函数的单调性定义证出()u x 的单调性，再利用指数函数的单调性即可证明.
（2）将问题转化为(
)
2
min
1
12
mx x -+=
，讨论m 的值，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】
（1）1m =时，()2
1
2x x f x -+=，()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
单调递增．
证明如下：
记21u x x =-+，任取
121
2
x x ≤<， 则()()
()()2
2
1211221212111u u x x x x x x x x -=-+--+=-+-，
因为
121
2
x x ≤<，所以120x x -<，1210x x +->， 所以()()121210x x x x -+-<，即有120u u -<，12u u <，所以1222u u <， 即()()12f x f x <，所以()f x 在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增．
（2）()f x
的值域是)
+∞
，即2
1
1222mx x -+=≥，
所以2
112mx x -+≥
且取到最小值12，所以有()2
min 112
mx x -+=，
①0m =时，不符合要求； ②0m ≠时，则有0m >且41142m m -=，解得1
2
m =， 综上可知：12m =
，即m 的取值范围是12⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
． 21．（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130． 【分析】
（1）可得出平均每万箱的成本为80
485x W x
=++，再利用基本不等式可求； （2）可得利润为()2
152805
h x x x =-+-，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】
（1）设生产x 万箱时平均每万箱的成本为W ，
则21
804880548
5x x
x W x x
++==++，
因为0x >，所以
8085x x +=≥， 当且仅当
80
5x x
=，即20x 时等号成立．
所以min 84856W =+=，当20x
时取到最小值，
即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元． （2）设生产x 万箱时所获利润为()h x ， 则()2110048805h x x x x ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
，即()2152805h x x x =-+-，()0x ≥，
即()()2
113033005
h x x =-
-+， 所以()()min 1303300h x h ==，
所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．
22．（1）()()5,23,-⋃+∞；（2）当162a ->时，()min F x =162a -≤时，
()88min 22F x a -=+．
【分析】
（1）首先由条件判断函数是单调递减奇函数，利用奇函数的性质()00f =，再利用单调性
解不等式，转化为211202
x x -+>-，解不等式；
（2）由（1）中函数是单调递减的奇函数可知()4f x x =-，()4422
x
x
a F x --=+
，利用换元，设42x t -=，在(],2-∞上82t -≥，则
()a
G t t t
=+
，讨论a 的取值，由函数的单调性，确定函数的最小值. 【详解】
（1）由条件可知函数()f x 在R 上单调递减，且是奇函数，
所以()00f =，则不等式即为()211202x f f x ⎛⎫
-+< ⎪-⎝⎭
， 因为()f x 在R 上单调递减，
所以不等式等价为211202x x -+>-，即2215
02
x x x +->-，
即为2215020x x x ⎧+->⎨->⎩或2215020x x x ⎧+-<⎨-<⎩
，
解得52x -<<或3x >，
所以不等式的解集为()()5,23,-⋃+∞．
（2）由（1）得()4f x x =-，函数()()()
4422x
x
a F x g f x --==+
，
令42x t -=，在(],2-∞上82t -≥，设函数()a G t t t
=+， ①当0a ≤时，()a G t t t
=+在)8
2,-⎡+∞⎣上递增， 所以()()8
8
8min 2
2
2G t G a --==+，
所以函数()()()F x g f x =在(],2-∞上的最小值为8822a -+；
②当162a ->时，()a
G x t t
=+
≥
所以函数()()(
)
F x g f x =在(],2-∞上最小值为 ③当1602a -<≤时，()a
G x t t
=+在)8
2,-⎡+∞⎣上递增， 所以()()8
8
8min 2
2
2G t G a --==+，
所以函数()()()
F x g f x =在(],2-∞上的最小值为8822a -+．
综上，当162a ->时，函数()F x 在(],2-∞上最小值为 当162a -≤时，函数()F x 在(],2-∞上的最小值为8822a -+． 【点睛】
关键点点睛：本题第二问第一个关键点是确定()4f x x =-，第二个关键点是通过换元设函
数()a
G t t t
=+
，82t -≥，第三关键点是当0a >时，由对勾函数的极值点是否在定义域内为分界，讨论a ，求得函数的最小值.。