圆锥曲线-高中数学好题精练精讲解析版

一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知椭圆mx2+y2
2
=1的焦距为2，则实数m=( )
A. 1
3B. 1
6
C. 1
6
或1
2
D. 1
3
或1
2.已知等差数列{a n}满足4a3=3a2，则{a n}中一定为零的项是
( )
A. a6
B. a7
C. a8
D. a9
3.已知数列{a n}中，a3=2,a7=1.若{1
a n
}为等差数列，则a5=( )
A. 2
3B. 3
2
C. 4
3
D. 3
4
4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15,S10=80，则S20=( )
A. 145
B. 250
C. 360
D. 400
5.已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且对任意n≠7，S n<S7，则( )
A. S13<0
B. S14>0
C. S15<0
D. S16>0
6.已知数列{a n}，{b n}是等差数列，其前n项和分别为S n，T n，且S n
T n =2n−3
4n−3
，则
a1+a9
b2+b10
=( )
A. 15
41B. 5
11
C. 7
15
D. 19
41
7.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(−12,−15)，则E的方程为
( )
A. x2
3−y
2
6
=1 B. x
2
4
−y
2
5
=1 C. x
2
6
−y
2
3
=1 D. x
2
5
−y
2
4
=1
8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π
3
，设线段AB
的中点M在l上的投影为N，则|MN|
|AB|
的最大值是
A. 1
B. √3
2C. √3
3
D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）
9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1<0，S7=S12，则
( )
A. 数列{a n }是递减数列
B. a 10=0
C. S n <0时，n 的最大值是18
D. S 2<S 16
10.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，顶点为O ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若|AF|=3|FB|，则下列结论正确的是( ) A. 直线l 的斜率为√ 3 B. 线段AB 的长度为16
3
C. OA ⊥OB
D. 以AF 为直径的圆与y 轴相切
11.已知F 1，F 2是椭圆
x 2a 1
2+y 2
b 12=1(a 1>b 1>0)和双曲线
x 2
a 2
2−
y 2b 2
2
=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，P 是它们的
一个公共点，且∠F 1PF 2=π
3，则以下结论正确的是 ( )
A. a 12−b 12=a 22−b 2
2 B. b 12=3b 2
2 C. 14e 1
2+1
4e 2
2=1
D. e 12+e 2
2的最小值为1+√ 32
12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与√ (x −a)2+(y −b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)=√ x 2+4x +8−√ x 2−4x +8有1个零点
B. 函数g(x)=√ x 2+4x +8−√ x 2−4x +8−2有2个零点
C. 函数ℎ(x)=√ x 2+4x +8+√ x 2−4x +8有最小值4√ 2
D. 关于x 的方程√ x 2+4x +8+√ x 2−4x +8=6的解为x =±3√ 55
三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.经过A (2,
√ 2
2
)，B (√ 2,
√ 3
2
)两点的椭圆的标准方程为______．
14.设双曲线C ：x 2a 2
−
y 2b
2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若过点F 2且斜率为√ 3的直线l 与双
曲线的右支交于A ，B 两点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________．
15.如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为________cm．
16.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−2，a2n+1+a2n=3n−1
(n∈N∗)，则数列{a n}的前40项和
2
S40=．
四、解答题（本大题共6小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题12分)
已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=11，S8=64．
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{|a n|}的前n项和T n．
18.(本小题12分)
已知双曲线C的一条渐近线的方程是√3x+y=0，且双曲线C过点D(1,√2)．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C左支有两个不同的交点A,B，求实数k的取值范围；
(3)若过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C交于A,B两个不同的点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．
19.(本小题12分)
已知点A(4,−1)，B(0,3)，圆C的半径为1．
(1)若圆C的圆心坐标为C(3,2)，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；
(2)若圆C的圆心C在直线l：y=x−1上，且圆C上存在点M，使|MB|=2|MO|，O为坐标原点，求圆C圆心的横坐标a的取值范围
20.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，动点M到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1．
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点?若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x 2
a2+y
2
b2
=1(a>b>0)的焦距为2√ 3，O为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为B1，B2，左右顶
点分别为A1，A2，依次连接C的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求C的方程；
(2)过点(1,0)的直线与椭圆C交于E，F(不同于A1，A2)两点，问：是否存在实数λ使得tan∠FA2O=λtan∠EA1O 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x 2
a2+y
2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，直线y=1与椭圆C的两个交点
间的距离为4√ 6
3
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别过点F1、F2作直线l1、l2，且满足l1//l2，设直线l1、l2与椭圆C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的焦距，椭圆的性质，属于基础题．
分椭圆的焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论，利用a 2−b 2=c 2列方程求m 即可 ． 【解答】 解：椭圆mx
2
+y 22
=1，即为
x 2
1m
+y 22
=1，则m >0且m ≠12
，
因为椭圆的焦距为2，则2c =2，解得c =1， 当椭圆的焦点在x 轴上时，
则{1
m >21
m
−2=1
，解得m =13
；
当椭圆的焦点在y 轴上时， 则{0<1
m <2
2−1
m =1 ，解得m =1； 综上，m =13或m =1 ． 故选D ．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查数列的递推关系与等差数列的应用，难度较易，属于基础题． 设公差为d ，即可求出a 1=−5d ，即可求出答案． 【解答】 设公差为d ，
由4a 3=3a 2得a 1=−5d ， ∴a 6=a 1+5d =0， 故选A ．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列通项公式及性质，是基础题．
先求出公差d =14(1
a 7−1
a 3)=1
8，再求出1
a 5
，由此能求出a 5的值．
【解答】
解：∵数列{a n }中，a 3=2，a 7=1，{1
a n
}为等差数列，
∴d =14(1a 7−1
a 3)=14(1−12)=1
8
， ∴
1a 5
=
1a 3
+2d =1
2+2×1
8=3
4
， 解得a 5=4
3．
故选C ．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的前n 项和的性质，属于基础题． 利用等差数列前n 项和的性质求解即可． 【解答】
解：因为等差数列{a n }中其前n 项和为S n ，S 5=15,S 10=80， 所以S 5,S 10−S 5,S 15−S 10,S 20−S 15成等差数列，
即15，65，S 15−80，S 20−S 15成等差数列，此数列公差为d′=65−15=50， 所以S 15−80=(S 10−S 5)+d′=65+50=115，解得S 15=195， 所以S 20−195=(S 15−S 10)+50=115+50=165，解得S 20=360． 故选C ．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式，属于基础题;
由题意得到{a 7=1+6d >0
a 8=1+7d <0，解得d 的范围，结合等差数列的前n 项和公式即可求解． 【解答】
解：设{a n }的公差为d ，由题设条件可知d <0，且{a 7=1+6d >0a 8=1+7d <0，则d ∈(−16,−17)，
因此S 13=13(6d +1)>0，S 15=15(7d +1)<0，S 16=16(152
d +1)<0，
而S 14=14(13
2d +1)符号不确定．
所以ABD 错误，C 正确． 故选C ．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 因为等差数列前n 项和的形式为S n =An 2+Bn ，结合题目条件，所以设S n =kn(2n −3)，
T n =kn(4n −3)，故a 1+a 9b 2+b 10=2a 52b 6=a 5b 6=S 5−S
4
T 6−T 5
即可求解． 【解答】
解：因为等差数列前n 项和的形式为S n =An 2+Bn ，结合题目条件， 所以设S n =kn(2n −3)，T n =kn(4n −3)， 故a 1+a
9b 2+b 10=2a
52b 6=a
5b 6=S 5−S
4T 6−T 5=35k−20k
126k−85k =15k
41k =15
41． 故选A ．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的标准方程、几何性质，中档题，涉及弦中点问题，往往可以利用“点差法”，得到斜率的表达式．
由已知条件易得直线l 的斜率为k =k FN =1，利用点差法求解． 【解答】
解：设双曲线方程为x 2
a
2−
y 2b
2
=1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
则有{
x 1 2a 2−y 1 2b 2
=1x 2 2a 2
−
y 2 2b
2=1
,
两式相减并结合x 1+x 2=−24，y 1+y 2=−30得，
y 1−y 2x 1−x 2
=
4b
2
5a
2，从而4b
2
5a
2=1
即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5， 故选B ．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题． 设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义得2|MN|=a +b ，由余弦定理可得|AB|2=(a +b)2−3ab ，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案． 【解答】
解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2−2abcos60°=a2+b2−ab，配方得，|AB|2=(a+b)2−3ab，
又∵ab≤(a+b
2
)2，当且仅当a=b时，取等号，
∴(a+b)2−3ab≥(a+b)2−3
4(a+b)
2=
1
4(a+b)
2
得到|AB|≥1
2
(a+b)．
当且仅当a=b时，取等号，
∴|MN|
|AB|
≤1，
即|MN|
|AB|
的最大值为1．
故选A．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于中档题．利用等差数列的性质对选项一一进行分析判断即可得．
【解答】
解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1<0，S7=S12，
∴7a1+7×6
2d=12a1+12×11
2
d，
解得a1=−9d，
∴d>0，
对于A，a n+1=a n+d>a n，故A错误;
对于B，a10=a1+9d=−9d+9d=0，故B正确;
对于C，S
n =na1+n(n−1)
2
d=−9nd+n
2
2
d−n
2
d=d
2
(n2−19n)，
∵d>0，
∴S n<0，即n2−19n<0，解得0<n<19，
∵n为正整数，
∴S n<0时，n的最大值是18，故C正确；
对于D，S2=2a1+d=2×(−9d)+d=−17d，
S16=16a1+16×15
2
d=16×(−9d)+120d=−24d，
∵d>0，∴S2>S16，故D错误．
故选：BC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
由抛物线定义、抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系分析各选项即可得答案．
【解答】
解：如图，过点A，B分别作抛物线的准线x=−1的垂线，垂足为A′，B′，过点B作AA′的垂线，垂足为E．
设|BF|=m，则|AF|=3m，由抛物线定义得|AE|=|AA′|−|BB′|=|AF|−|BF|=3m−m=2m，|AB|= 4m，
在Rt △ABE 中，cos∠BAE =
2m 4m
=1
2，
所以∠BAE =π
3，得直线的倾斜角为π
3，所以直线l 的斜率为tan π
3=√ 3，A 项正确： 则直线l 的方程为y =√ 3(x −1)，联立{y =√ 3(x −1).
y 2=4x,
解得{x 1=3,y 1=2√ 3.{x 2=1
3,y 2=−2√ 33
即A(3,2√ 3)，B(13,−2√ 33
)，所以|AB|= (3−13
)2+(2√ 3+2√ 33
)2=163
.故B 项正确：
OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−4=−3≠0，故C 项错误; 又F(1,0)，线段AF 的中点坐标为(2,√ 3)，它到y 轴的距离为2，因为|AF|=4， 所以r =2，所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，D 项正确． 故选ABD ．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率有关的性质判断，属较难题． 椭圆C 1:x 2
a
2+
y 2b
2
=1(a >b >0)和双曲线C 2:
x 2m 2
−
y 2n 2
=1(m >0,n >0)有共同的焦点F 1，
F 2，|F 1F 2|=2c ，e 1，e 2分别是C 1，C 2的离心率，若点P 是它们的公共点，∠F 1PF 2=θ，则e 1与e 2的关系式为sin 2 θ
2e 1
2+
cos 2 θ
2e 2
2=1．
【解答】
解：由题意可得a 12−b 12=a 22+b 2
2
，故A 错误; 可设P 是第一象限的点，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ， 由椭圆及双曲线的定义可得m +n =2a 1，m −n =2a 2， 解得m =a 1+a 2，n =a 1−a 2， 因为∠F 1PF 2=π
3，在△F 1PF 2中， 由余弦定理可得cos∠F 1PF 2
=
|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|2
2|PF 1|⋅|PF 2|
=
m 2+n 2−4c 2
2mn
=12
， 化为a 12+3a 22=4c 2，又a 12−b 12=a 22+b 22
=c 2， 则b 12−3b 22=a 12−c 2−(3c 2−3a 22)=0，故B 正确; 由a 1
2+3a 2
2=4c
2，可得a 1
2
c 2
+3a 22c 2=4，即有1e 1
2+3
e 2
2=4，故C 错误;
e 12+e 22=
14(1e 12+3e 2
2)(e 12
+e 22
) =1
4(1+3+
e 22e 1
2+
3e 1
2e 2
2)≥14(4+2√ 3)=1+√ 3
2，
当且仅当e 22=√ 3e 12取等号，即有e 12+e 22的最小值为1+√ 32
，故D 正确． 故选BD ．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查新定义问题，设P(x,2)，A(−2,0)，B(2,0)，对选项A ，可得f(x)=|PA|−|PB|，令f(x)=0，则|PA|=|PB|，即可判断；对选项B ，g(x)=|PA|−|PB|−2，令g(x)=0，则|PA|−|PB|=2，点P 在双曲线x 2−
y 2
3
=1，
可判断B ；对选项C ，ℎ(x)=√ (x +2)2+(2−0)2+√ (x −2)2+(2−0)2=|PA|+|PB|， B 关于y =2对称点为C(2,4)，当A ，P ，C 三点共线时，ℎ(x)最小，可判断C ；对选项D ，
可得|PA|+|PB|=6>|AB|=4，则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，求出椭圆方程即可判断D ； 【解答】
解：设P(x,2)，A(−2,0)，B(2,0)，对选项A ，f(x)=√ (x +2)2+(2−0)2−√ (x −2)2+(2−0)2= |PA|−|PB|，令f(x)=0，则|PA|=|PB|，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上，又点P 的纵坐标是2，所以只有唯一一个点P 满足条件，函数f(x)只有1个零点，故A 正确;
对选项B ，g(x)=|PA|−|PB|−2，令g(x)=0，则|PA|−|PB|=2，点P 在双曲线x 2−y 2
3
=1的右支上，
又点P 的纵坐标是2，所以只有唯一一个点P 满足条件，函数g(x)只有1个零点，故B 不正确; 对选项C ，ℎ(x)=√ (x +2)2+(2−0)2+√ (x −2)2+(2−0)2=|PA|+|PB|，
B 关于y =2对称点为C(2,4)，则|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|，当A ，P ，
C 三点共线时，ℎ(x)最小，ℎ(x)min =|AC|=√ (2+2)2+(4−0)2=√ 32=4√ 2，故C 正确;
对选项D ，可得|PA|+|PB|=6>|AB|=4，则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此时2a =6，c =2， 即a =3，b 2=9−4=5，即椭圆方程为x 2
9+y 2
5=1，当y =2时，得x 2
9=1−45=15，得x 2=9
5，
得x =±3√ 55
，故D 正确，故选ACD ．
13.【答案】x 2
8
+y 2=1
【解析】【分析】
本题考查椭圆方程的标准方程，待定系数法的应用，属于基础题．
设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1，(m >0,n >0,m ≠n)，由已知得{4m +1
2n =1
2m +3
4n =1
，由此能求出椭圆的标准方程．
【解答】解：设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1，(m >0,n >0,m ≠n)， 则{4m +1
2n =1
2m +3
4n =1, 解得m =18
，n =1，
∴经过A(2,√ 22)，B(√ 2,√ 32)的椭圆的标准方程为x 2
8+y 2=1．
故答案为x 2
8
+y 2=1．
14.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件，考查运算能力，属于中档题．
若过点F 2且斜率为√ 3的直线与双曲线的右支有两个交点，则该直线的斜率的绝对值大于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【解答】
解：过F 2且斜率为√ 3的直线与双曲线右支交于A ，B 两点， 则该直线的斜率大于渐近线的斜率， 双曲线
x 2a 2−y 2
b
2=1(a,b >0)的渐近线方程为y =±b
a
x ，
即有b a <√ 3，即为b <a ，则e =c a =√ a 2+b 2
a =√ 1+
b 2a 2
<2 可得1<e <2．
15.【答案】3√ 6
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，由题意求出抛物线方程，即可求解 【解答】
解：如图建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，
则由题意可设抛物线的方程为x 2=2py (p >0)， 由题意可知点(3,2)在抛物线线上， 则32=2p ×2， 所以p =94
，
所以抛物线的方程为x 2=9
2
y ，
当水面再上升1cm 时，y =3，此时有x 2=9
2
×3=272
， 解得x =±√ 272=±3√ 62，
所以此时的水面宽度为3√ 6(cm) 故答案为：3√ 6
16.【答案】620
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系和分组求和，属于中档题．
将已知等式相减得a 2n−1+a 2n+1=3
2，则a 2n +a 2n+2=6n +1
2，再分组求和即可． 【解答】
解：因为a 2n −a 2n−1=3n −2，a 2n+1+a 2n =3n −1
2(n ∈N ∗)，
两式相减得a 2n−1+a 2n+1=3
2
，
则a 2n +a 2n+2=(3n −2+a 2n−1)+[3(n +1)−2+a 2n+1]=6n +1
2，
所以S 40=S 奇+S 偶
=S 奇+(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+⋯+(a 38+a 40)
=32×10+6×(1+3+⋯+19)+1
2×10=620． 故答案为：620．
17.【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，则：{
a 3=a 1+2d =11S 8=
8a 1+8×7
2d
=64⇒{a 1=15d =−2
， ∴a n =17−2n; (2)S n =
(15+17−2n)n
2
=−n 2+16n ，
当a n =17−2n >0⇒n ≤8，
当n ≤8时，a n >0，T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =S n =−n 2+16n ， 当n ≥9时，a n <0，T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=a 1+a 2+⋯+a 8−(a 9+⋯+a n ) =S 8−(S n −S 8)=2S 8−S n
=2(−82+16×8)−(−n 2+16n)=n 2−16n +128． 综上所述：T n ={−n 2+16n,n ≤8
n 2−16n +128,n ≥9
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，方程思想，属于中档题． (1)根据等差数列的通项公式及求和公式，列方程即可求解； (2)先去掉绝对值，再根据等差数列的求和公式，即可求解．
18.【答案】解：(1)由题知，有{1a 2
−2b 2=1
b
a
=√ 3.解得{a 2=1
3,b 2
=1.
因此，所求双曲线C 的方程是
x 2
13
−
y 21
=1；
(2)∵直线l 过点(0,1)且斜率为k ，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ∴直线l ：y =kx +1．
联立方程组{3x 2−y 2=1
y =kx +1，消去y 得(3−k 2)x 2−2kx −2=0.
又直线l 与双曲线C 左支有两个不同交点， ∴{
3−k 2≠0
Δ=(−2k)2−4(3−k 2)(−2)>0x 1+x 2=2k 3−k 2
<0x 1⋅x 2=
−23−k
2
>0
，
解得k ∈(√ 3,√ 6). (3)设交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，
由(2)可得{x 1+x 2=2k
3−k
2,x 1x 2=−2
3−k
2.
又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点， 因此，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)． 于是，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0，(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=0， −2(1+k 2
)3−k
2+
2k
23−k
2
+1=0，解得k =±1.
又k =±1满足3−k 2≠0，且Δ>0，所以，所求实数k =±1.
【解析】本题考查双曲线的概念及标准方程和直线与双曲线的位置关系，属于较难题．
(1)求双曲线的标准方程只需找到两个关于a ，b ，c 的两个等式，通过解方程即可得到a ，b ，c 的值，从而得到双曲线方程.
(2)由直线l 的方程与双曲线方程联立，消去y 可得关于x 的一个一元二次方程，又直线l 与双曲线C 左支有两个
不同交点，由{
3−k 2≠0
Δ=(−2k)2−4(3−k 2)(−2)>0
x 1+x 2=2k 3−k 2
<0x 1⋅x 2=
−23−k
2
>0
可求得k 的范围；
(3)设交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由(2)可得{x 1+x 2=2k
3−k 2,x 1x 2=−23−k
2.
，又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即x 1x 2+y 1y 2=0，可得(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=0，即可求解；
19.【答案】解：(1)由题意得圆C 标准方程为(x −3)2+(y −2)2=1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，y =k(x −4)−1 即kx −y −4k −1=0 由d =
√ k +1
=1，解得：k =−43
，
即切线方程为4x +3y −13=0
当切线的斜率不存在时，切线方程为x =4，满足题意； 所以切线的方程为x =4或4x +3y −13=0 (2)由圆心C 在直线l:y =x −1上，设C(a,a −1)，
设点M(x,y)，由|MB|=2|MO|，得：√ x 2+(y −3)2=2√ x 2+y 2， 化简得：x 2+(y +1)2=4，所以点M 在以D(0,−1)为圆心，2为半径的圆上． 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则1≤|CD|≤3，即1≤√ a 2+a 2≤3，
解得：
√ 2
2
≤a ≤
3√ 22或−3√ 2
2
≤a ≤−
√ 2
2
．
故a 的取值范围为[−3√ 2
2,−√ 22]∪[√ 22,3√ 2
2]．
【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．
(1)由题得圆心坐标，又圆C 的半径为1，则圆的方程可求，当切线的斜率存在时，设切线方程为y =k(x −4)−1，由圆心到直线的距离为1求解k ，则切线方程可求，当切线的斜率不存在时，即x =4也满足； (2)由题意设C(a,a −1)，设点M(x,y)，由|MB|=2|MO|得M 的轨迹，结合点M 在圆C 上，可得圆C 与圆D 有交点，则1≤|CD|≤3，由此求解可得圆心C 的横坐标a 的取值范围．
20.【答案】解：(1)设M(x,y)，由题意：√ (x −1)2+y 2=|x|+1
两边平方，整理可得：y 2=2|x|+2x
当x ≥0时，化简可得y 2=4x ，当x <0时，y =0， 所以曲线M 的轨迹方程为y 2=4x(x ≥0)和y =0(x <0);
(2)由题意可知C:y 2=4x(x ≥0)，设直线PQ 的方程为x =my +1，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立方程组{y 2=4x
x =my +1，整理得y 2−4my −4=0，
则△=16m 2+16>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，
直线OP 的方程为y =y 1
x 1x =4y 1x ，同理：直线OQ 的方程为y =4y 2x ，令x =1得，A(1,4y 1)，B(1,4
y 2
)，
设AB 中点T 的坐标为(x T ,y T )，则x T =1，y T =4y 1+4y 2
2
=
2(y 1+y 2)
y 1y 2
=−2m ，所以T(1,−2m)，
所以|AB|=
|4
y 1
−4y 2
|=
4|y 2−y 1||y 1y 2|
=
4√ (y 1+y 2)2
−4y 1y 2
4
=√ 16m 2+16．
可得圆的半径为r =√
16m 2+162
，所以以AB 为直径的圆的方程为(x −1)2+(y +2m)2=4m 2+4，
整理得(x −1)2+y 2+4my =4，令y =0，可得(x −1)2=4，解得x =3或x =−1． 所以以AB 为直径的圆经过定点(−1,0)和(3,0)．
【解析】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和抛物线、直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
(1)设M(x,y)，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；
(2)由题意可知C:y 2=4x(x ≥0)，设直线PQ 的方程为x =my +1，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由直线和圆相切的条件，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得定值．
21.【答案】解：(1)因为椭圆C 的焦距为2√ 3，
即2c =2√ 3，①
因为椭圆的上下顶点分别为B 1，B 2，左右顶点分别为A 1，A 2，依次连接C 的四个顶点构成的四边形的面积为4
所以S 四边形=1
2×2a ×2b =4，② 又a 2−b 2=c 2，③
联立①②③，解得a =2，b =1，
则椭圆C 的方程为x
2
4
+y 2=1；
(2)因为过点(1,0)的任意直线与椭圆C 交于E ，F(不同于A 1，A 2)两点， 易得该直线斜率不为零，
不妨设直线l ：x =my +1，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，
联立{x 2
4
+y 2=1
x =my +1
，消去x 并整理得(m 2+4)y 2+2my −3=0，
由韦达定理得y 1+y 2=
−2m
m 2+4，y 1y 2=
−3
m 2+4
， 此时直线A 1E 的斜率k 1=y
1x 1+2，直线A 2F 的斜率k 2=y
2
x 2
−2，
又my 1y 2=3
2
(y 1+y 2)，
所以k 1k 2=y 1(x 2−2)y 2(x 1+2)=y 1(my 2−1)y 2(my 1+3)=my 1y 2−y
1
my 1y 2+3y 2
=
3
2(y 1+y 2)−y 13
2(y 1
+y 2)+3y 2=
12y 1+32y 232y 1+92y 2
=1
3，
故直线A 1E 与A 2F 的斜率之比为1
3
， 因为k 1k 2=tan∠EA 1O tan∠FA 2
O =1
3，
所以3tan∠EA 1O =tan∠FA 2O ，
故存在λ=3，使得3tan∠EA 1O =tan∠FA 2O.
【解析】(1)由题意，根据椭圆的焦距、四边形面积公式和a 2−b 2=c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程； (2)设出直线l 的方程，将直线l 的方程与椭圆方程联立，根据韦达定理将直线A 1E 与A 2F 的斜率表示出来，代入k 1k 2
中并化简得到k
1k 2
为定值，进而即可求解．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
22.【答案】解：(1)由题意知y =1与椭圆C 的两个交点间的距离为4√ 63
，
则椭圆过点(2√ 63,1)，即(2√ 63)2
a 2
+
1b
2
=83a 2+
1b
2
=1 ①，
又2c =2，即c =1，
又a 2=b 2+c 2，即a 2=b 2+1 ②， 由①②解得：a 2=4，b 2=3， 故椭圆的方程为x 2
4
+y 2
3=1．
(2)如图所示：
设直线l 1:x =my −1，它与椭圆C 的另一个交点为D ， 联立{x =my −1x 24
+y 23
=1
，消去x 得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，
则Δ=144(m 2+1)>0，
设交点A(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−9
3m 2+4
，
则|AD|=√ 1+m 2×√ △|a |
=√ 1+m 2×12√ 1+m 23m 2+4
=12(1+m 2)
3m 2+4
， 点F 2(1,0)到直线l 1:x =my −1的距离d =√
2
，
所以S △ADF 2=1
2|AD| d =1
2×12(1+m 2)
3m 2+4×√2=12√ 1+m 2
3m 2+4， 令t =√ 1+
m 2
≥1，可得3m 2
+4=3t 2
+1，则S △ADF 2=12t 3t 2+1=12
3t+1t
，
令f(t)=3t +1
t (t ⩾1)，因为f(t)在[1,+∞)上单调递增，
所以当t =1时，f(t)取得最小值4，所以S △ADF 2的最大值为3， 设四边形ABF 2F 1的面积为S ， 由椭圆的对称性知|BF 2|=|DF 1|，
所以S =1
2(|AF 1|+|BF 2|)d =1
2(|AF 1|+|DF 1|)d =1
2
|AD|d =S △ADF 2，
故四边形ABF2F1面积的最大值为3．
【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中三角形(四边形)的面积、“对勾”函数的图象与性质、点与椭圆的位置关系，属于较难题．
(1)由题意结合a2=b2+c2，得到关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，即可求得椭圆C的方程；
(2)设直线l1:x=my−1，联立直线l1与椭圆的方程，利用韦达定理求得弦长|AD|，求得点F2(1,0)到直线
l1:x=my−1的距离，进而可得S△ADF
2关于m的表达式．利用对勾函数的性质求得S△ADF
2
的最大值，由此即
可求得四边形ABF2F1面积的最大值．。