安徽省寿县安丰高级中学2020届高考数学一轮复习第三章基本不等式及应用导学案新人教版必修5

基本不等式及应用
典例精析
题型一利用基本不等式比较大小
【例 1】 (1) 设 x， y∈R＋，且 xy－ (x ＋ y) ＝ 1，则 ()
A.x ＋ y≥ 2(2 ＋ 1)
B.x ＋ y≤ 2(2 ＋ 1)
C.x ＋ y≤ 2(2 ＋ 1)2
D.x ＋ y≥ (2 ＋ 1)2
(2) 已知 a， b∈R＋，则 ab， a＋ b2，a2＋ b22， 2aba＋ b 的大小次序是
【分析】 (1) 选 A. 由已知得xy ＝ 1＋(x ＋ y) ，又 xy ≤ (x ＋ y2)2 ，因此 (x ＋ y2)2 ≥ 1＋ (x ＋ y). 解得 x＋ y≥ 2(2 ＋ 1) 或 x＋ y≤2(1 － 2).
由于 x＋ y＞ 0，因此 x＋ y≥ 2(2 ＋ 1).
(2) 由 a＋ b2≥ ab 有 a＋ b≥ 2ab，即 a＋ b≥ 2abab，因此 ab≥ 2aba ＋b.
.
又 a＋ b2＝a2＋ 2ab＋ b24≤ 2(a2 ＋ b2)4 ，因此 a2＋ b22≥ a＋ b2，
因此 a2＋ b22≥ a＋ b2≥ ab≥ 2aba＋ b.
【点拨】此题(2) 中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.
【变式训练1】设 a ＞ b ＞ c ，不等式1a－ b＋ 1b－ c＞λ a－ c 恒建立，则λ的取值范围是.
【分析】 ( －∞， 4). 由于 a＞b＞ c，因此 a－ b＞0， b－ c＞ 0， a－ c＞ 0.
而(a － c)(1a － b＋ 1b－ c) ＝ [(a － b) ＋ (b － c)](1a － b＋ 1b－ c) ≥ 4，因此λ＜4.
题型二利用基本不等式求最值
【例 2】 (1) 已知 x＜54，则函数 y＝ 4x －2＋ 14x －5 的最大值为；
(2) 已知二次函数 f(x) ＝ ax2 ＋ bx＋ c 的导数 f ′ (x) ， f ′ (0) ＞0，对随意实数x，有 f(x)
≥0，则 f(1)f ′ (0) 的最小值为 ( )
A.3
B.52
C.2
D.32
【分析】 (1) 由于 x＜ 54，因此 5－ 4x＞0.
因此 y＝ 4x－ 2＋ 14x－ 5＝－ (5 － 4x＋ 15－ 4x) ＋3≤－ 2＋ 3＝ 1.
当且仅当5－ 4x＝ 15－ 4x ，即 x＝ 1 时，等号建立.
因此 x＝ 1 时， ymax＝ 1.
(2)选 C. 由于 f(x) ≥0，因此
因此 c≥ b24a. 又 f ′ (x) ＝ 2ax＋b，因此 f ′ (0) ＝b＞ 0，
f(1)f ′ (0) ＝ a＋ b＋cb＝ 1＋a＋ cb ≥ 1＋ 4a2＋ b24ab≥ 1＋ 24a2b24ab＝
2，当且仅当 c＝ b24a 且 4a2＝ b2 时等号建立 .
【点拨】应用基本不等式求最值时，常有的技巧是“拆或凑” ，同时注意“一正、二定、三相
等”这三个条件，防止出现错误 .
【变式训练 2】已知 x， a， b， y 成等差数列， x， c， d， y 成等比数列，求 (a ＋ b)2cd 的取值
范围 .
【分析】由等差数列、等比数列的性质得 a＋ b＝x＋ y，cd＝
xy ，因此 (a ＋ b)2cd ＝ (x ＋ y)2xy ＝2＋ xy ＋yx ，
当 yx ＞ 0 时， (a ＋ b)2cd ≥ 4；当 yx ＜ 0 时， (a ＋ b)2cd ≤0，
故(a ＋ b)2cd 的取值范围是 ( －∞， 0 ] ∪ [4 ，＋∞ ).
题型三应用基本不等式解实质应用问题
【例 3】某食品厂按期购置面粉，已知该厂每日需用面粉 6 吨，每吨面粉的价钱为 1 800 元，面粉的保存等其余花费为均匀每吨每日 3 元，购面粉每次需支付运费900 元 .
(1) 求该厂多少天购置一次面粉，才能使均匀每日所支付的总花费最少( 所购面粉次日才能
使用)；
(2) 若供给面粉的公司规定：当一次购置面粉许多于210 吨时，其价钱可享受9折优惠(即原价的 90%)，问该厂能否能够利用此优惠条件？请说明原因.
【分析】 (1) 设该厂 x 天购置一次面粉，其购置量为6x 吨，面粉的保存等其余花费为3[6x ＋6(x － 1) ＋＋ 6×2＋ 6× 1] ＝9x(x ＋ 1).
设均匀每日所支付的总花费为y1，则
y1＝ 1x[9x(x ＋ 1) ＋ 900] ＋ 6×1 800 ＝900x ＋ 9x＋ 10 809 ≥ 2 ＋ 10 809 ＝ 10 989 ，
当且仅当9x＝ 900x ，即 x＝10 时，取等号 .
即该厂应10 天购置一次面粉，才能使均匀每日所支付的总花费最少 .
(2) 若厂家利用此优惠条件，则起码应35 天购置一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每
x(x ≥ 35) 天购置一次面粉，均匀每日支付的总花费为y2，则
y2＝ 1x[9x(x ＋ 1) ＋ 900] ＋ 6×1 800 ×0.9 ＝ 900x＋ 9x＋ 9 729(x ≥ 35).
由于 y2′＝ 9－ 900x2，当 x≥35 时， y2′＞ 0.
所以 y2 ＝900x＋ 9x＋ 9 729 在 [35 ，＋∞ ) 上是增函数 .
因此 x＝ 35 时， y2 取最小值 70 4887.
由 70 4887 ＜ 10 989 知，该厂能够利用此优惠条件 .
【点拨】解决这种应用题，第一要依题意结构出相应的数学模型，并经过适合的变形使所得到的模型切合基本不等式的结构，再求最值 . 当等号不能建即刻，常利用函数的单一性来处理.
【变式训练3】已知 a＞ 0， b＞ 0，且 2a＋ b＝ 1，求 S＝ 2ab－ 4a2－ b2 的最大值 .
【分析】由于a＞ 0， b＞ 0,2a ＋ b＝ 1，
因此 4a2＋b2＝ (2a ＋ b)2 － 4ab＝ 1－ 4ab，
且 1＝ 2a＋b≥ 22ab，即 ab≤24， ab≤ 18.
因此 S＝ 2ab－ 4a2－ b2＝ 2ab－ (1 － 4ab) ＝ 2ab＋ 4ab－ 1≤ 2－
12，当且仅当 a＝ 14， b＝ 12 时，等号建立 .
总结提升
1.基本不等式的几种常有变形公式：
a b ≤ (a ＋b2)2 ≤ a2＋ b22(a ， b∈ R)；
2aba＋ b≤ ab≤ a＋ b2≤ a2＋ b22(a ＞ 0 ， b＞ 0).
注意不等式建立的条件及等号建立的条件.
2. 合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等
号能够建立 .
3. 多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号可否同时建立.。