2020年福建省宁德市永安第一中学高三数学文月考试题含解析

2020年福建省宁德市永安第一中学高三数学文月考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则是的（）
A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：
B
2. 在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足，
，则△AMD与△ABC的面积比的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
3.
某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个不同的奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）
A.120种
B.48种
C.36种
D.18种
参考答案：
答案:C
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（A）若且，则（B）若且，则
（C）若且，则（D）若且，则参考答案：
【答案解析】B 解析：A.直线成角大小不确定；B.把分别看成平面的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.
【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．16 B．C．12 D．
参考答案：
B
6. 函数y＝－lg x的定义域为()
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤0}D．{x|x≥1}∪{0}
参考答案：
A
7. 设集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（）
A．B．（3，+∞）C．D．（，3）
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}={x|x＜1或x＞3}，
B={x|y=lg（2x﹣3）}={x|x＞}，
∴A∩B={x|x＞3}=（3，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
8. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=
（）
A．9 B．81 C．5 D．45
参考答案：
B
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用韦达定理求出a4+a6=18，再由等差数列通项公式和前n项和公式得
S9==（a4+a6），由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，
a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那
∴a4+a6=18，
∴S9===81．
故选：B．
9. 已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论
【解答】解：构造函数g（x）=，
则g′（x）==，
∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，
则②g（﹣）＜g（﹣），即＜，
∴＜，即f（﹣））＜f（﹣），故B正确；
③g（0）＜g（），即＜，
∴f（0）＜f（），故③正确；
④g（0）＜g（），即＜，
∴f（0）＜2f（），故④正确；
由排除法，
故选：A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．
10. 已知设函数，则
的最大值为（）
A．1 B． 2 C．
D．4
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，其中实数满足，则的最大值是
参考答案：
8
略
12. 某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。

为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数
为 .
参考答案：
50
13. 已知=（λ+1，0，2λ），=（6，2μ﹣1，2），且∥，则λμ=．
参考答案：
【考点】共线向量与共面向量．
【分析】利用向量平行的性质得（λ+1）×2=2λ×6，且2λ（2μ﹣1）=0，由此能求出λμ的值．
【解答】解：∵ =（λ+1，0，2λ），=（6，2μ﹣1，2），且∥，
∴（λ+1）×2=2λ×6，解得λ=．
并且2λ（2μ﹣1）=0，解得μ=，
∴λμ=．
故答案为：．
【点评】本题考查实数积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．
14. （5分）（2015?泰州一模）双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= ．
参考答案：
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．
解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），
右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，
右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，
由题意可得，b=（a+c），
即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，
即3c2﹣5a2﹣2ac=0，
由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，
解得，e=．
故答案为：．
【点评】：本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
15. 已知正四棱棱锥P-ABCD的底面边长和高都为2，O是底面ABCD 的中心，以O为球心的球与四棱锥P-ABCD 的各个侧面都相切，则球O的表面积为---------.
参考答案：
略
16. 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为
，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，
若，则椭圆的离心率为▲
参考答案：
由题意知
所以有两边平方得到，即
两边同除以得到，解得，即
17. 在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。

参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求的极值;
（Ⅱ）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）函数的定义域为∵
当a=0时，，则
∴的变化情况如下表
(0，)(，+∞)
∴当时，的极小值为1+ln2，函数无极大值.
（Ⅱ）由已知，得
若,由得,显然不合题意
若∵函数区间是增函数
∴对恒成立，即不等式对恒成立即恒成立故
而当，函数，
∴实数的取值范围为。

另解: ∵函数区间是增函数
对恒成立，即不等式对恒成立
设,
若,由得,显然不合题意
若,由,,无解, 显然不合题意
若,,故,解得
∴实数的取值范围为
19. 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线
的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

参考答案：
（Ⅰ）由⊙Q过M、F、O三点可知，Q一定在线段FO的中垂线上，所以
（Ⅱ）设存在点M(),切线MQ：，令
所以Q()，由可得
解方程得，存在M
20. 矩阵与变换
在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为．（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程．
参考答案：
解：（Ⅰ），，．…4分（Ⅱ），，
代入中得：．
故所求的曲线方程为：．…………………………………………7分
略
21. （本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角
（1）求的值；
（2）若求△ABC的面积。

参考答案：
22. （本小题共13分）
若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）若，点是双曲线上一点，且，求的值.
参考答案：
解：（1）由得
故双曲线的方程为
设，
由得
又直线与双曲线右支交于两点，所以
解得
（2）
得
∴或又∴
那么，
设，由已知，得
∴
∴，得
故，.
略。