八年级初二数学下学期平行四边形单元提高题学能测试

八年级初二数学下学期平行四边形单元提高题学能测试
一、解答题
1．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是
,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．
2．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝
13
S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
3．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想
（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程： （2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G 则90CGB ∠=
90GCB CBG ∴∠+∠=
又
四边形ABCD 正方形，
AB BC =，90ABC ∠=
则90CBG ABO ∠+∠=
GCB ABO ∴∠=∠
在CBE ∆与ABE ∆中， （类比探究，拓展延伸）
（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．
4．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．
（1）证明：AG BE =；
（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53
吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．
5．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC 中，AB =AC=2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求
PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
7．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ， (1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ； (2)如图1，若3，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1
AG
AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF = ①求证：EF 与BD 互相平分； ②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222
()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.
9．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．
（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝
1
4
S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝1
4
S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；
（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝1
4
S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．EF ＝13． 【分析】
首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故
∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出； 【详解】 解：连接AD ．
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点， ∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD =∠C =45°， ∵∠EDA +∠ADF =90°， 又∵∠CDF +∠ADF =90°， ∴∠EDA =∠CDF ． 在△AED 与△CFD 中，
EDA FDC AD CD
EAD C ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CFD (ASA )． ∴AE =CF =5． ∵AB =AC ， ∴BE =AF =12． 在Rt △AEF 中， ∵∠EAF =90°，
∴22222512169EF AE AF =+=+=， ∴EF =13． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键． 2．（1）P （103，2）；（2）（52，2）或（﹣5
2
，2） 【分析】
（1）根据已知条件得到C （5，3），设直线OC 的解析式为y ＝kx ，求得直线OC 的解析式为y ＝
35x ，设P （m ，35m ），根据S △POB ＝1
3
S 矩形OBCD ，列方程即可得到结论； （2）设点P 的纵坐标为h ，得到点P 在直线y ＝2或y ＝﹣2的直线上，作B 关于直线y ＝2的对称点E ，则点E 的坐标为（5，4），连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最
小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
3．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．
【分析】
（1）通过测量可得；
（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，
BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；
（3）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，
BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得结论．
【详解】
解：（1）△AEF的周长是OA长的2倍，
故答案为：2；
（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，
则∠CGB=90°， ∴∠GCB+∠CBG=90°， 又∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°， 则∠CBG+∠ABO=90°， ∴∠GCB=∠ABO ， 在△BCG 与△ABO 中，
GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BCG ≌△ABO （AAS ）， ∴BG=AO ，CG=BO ， ∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ， ∴四边形CGOF 是矩形， ∴CF=GO ，CG=OF=OB ， 在△ABE 和△CBE 中，
BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE=CE ，
∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ； （3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，
则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO ，
在△BCG 与△ABO 中
GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCG ≌△ABO （AAS ），
∴BG=AO ，BO=CG ，
∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，
∴四边形CGOF 是矩形，
∴CF=GO ，CG=OF=OB ，
在△ABE 和△CBE 中，
BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE=CE ，
∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，212x =-或212
+ 【分析】
（1）由折叠的性质得到BE=EP ，BF=PF ，得到BE=BF ，根据菱形的性质得到AB ∥CD ∥FG ，BC ∥EH ∥AD ，于是得到结论；
（2）由菱形的性质得到BE=BF ，AE=FC ，推出△ABC 是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；
（3）记AC 与BD 交于点O ，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，
S 四边形ABCD AEFCHG 的面积等于
4时，得到S △BEF +S △DGH =4，设GH 与BD 交于点M ，求得GM=
12
x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】
解:()1折叠后B 落在BD 上， ,BE EP ∴=BF PF = BD 平分,ABC ∠
BE BF ∴=，
∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，
////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴
∴四边形AEPG 为平行四边形，
AG EP BE ∴==.
()2不变.
理由如下:由()1得.AG BE =
四边形BEPF 为菱形，
,.BE BF AE FC ∴==
60,BAC ABC ∠=︒为等边三角
60B D ∴∠=∠=︒，
,,EF BE GH DG ∴==
36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.
()3记AC 与BD 交于点O .
2,60,AB BAC =∠=
30,ABD ∴∠=
1,AO ∴=3,BO =
12332
ABC S ∴=⨯=23ABCD S ∴=四边形当六边形AEFCHG 534 53233344
DEF DGH S S +==由()1得BE AG =
AE DG ∴=
DG x =
2BE x ∴=-
记GH 与BD 交于点,M
12GM x ∴=，3DM x = 23DHG S x ∴= 同理()223323344BEF S
x x x =-=+ 223333334
x x x +=化简得22410,x x -+= 解得121x =-221x = ∴当212x =-或212+时，六边形AEPCHG 534 【点睛】
此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x 表示出相关的线段，是一道基础题目．
5．（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：71+2，313+22，33+22 【分析】
（1）根据勾股定理计算BC 的长度,
（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,
（3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论.
【详解】
（1）∵BD ⊥CD
∴∠BDC =90°，BC >CD
∵在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，
∴AB =AD =CD =3,
∵BD=4，
∴BC =225CD BD +=,
（2）正确．
如图所示：
∵AB =AD
∴ΔABD 是等腰三角形．
∵AC ⊥BD ．
∴AC 垂直平分BD ．
∴BC =CD
∴CD =AB =AD =BC
∴四边形 ABCD 是菱形．
（3）存在四种情况，
如图2，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过C 作CF PE ⊥于F ，则∠CFE=90,
∵EP 是AB 的垂直平分线，
∴90AEF A ==∠∠ ,
∴四边形AEFC 是矩形，
在Rt ABC 中，2,2AB AC BC ==
= , ∴22CF AE BE ===
, ∵2AB PC ==
∴2262
PF PC CF =-= ∴BEP CFP AEFC S S S S =++四边形ABPC 矩形
1262126222222222⎛⎫=⨯⨯++⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 332
+= 如图4，四边形ABPC 是“准等边四边形”,
∵2AP BP AC AB ==== ,
∴ABP △是等边三角形， ∴2313(2)221422ABP ABC S S S =+=
⨯+⨯⨯=+四边形ACBP ; 如图5，四边形ABPC 是“准等边四边形”,
∵2AB BP BC === ,PE 是AB 的垂直平分线，
∴,PD AB ⊥ E 是AB 的中点，
∴1222
BE AB == , ∴222221422PE PB BE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
∴ACBP 1141722212222
APB ABC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+四边形 如图6，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过P 作PF AC ⊥于F ，连接AP ，
∵2AB AC PB ===
∴2
PE =，
∴1122APB APC ABPC S S
S =+=⨯+=四边形【点睛】 本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题.
6．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）4）4
【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；
（2）解法同（1）；
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出
15
2BM BC =
=，由勾股定理得出AM ==ABC ∆的面积1
2BC AM =
⨯=ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111
()2222
BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案； （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．
【详解】
解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，
∴ABP ∆的面积111031522
AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=.
故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===，
∴ABC ∆是等边三角形，
∵AM BC ⊥， ∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =-=-=，
∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =
⨯=⨯⨯=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥， ∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积
111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2
AB PE PF PG =++ 253=，
∴225353PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，
∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，
∵90C ∠=︒，
∴2222534DC DF FC =-=-=，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，
∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，
∴四边形EQCD 是矩形，
∴4EQ DC ==，
∵//AD BC ，
∴DEF EFB ∠=∠，
∵BEF DEF ∠=∠，
∴BEF EFB ∠=∠，
∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，
∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
7．（1）见解析；（2）AE
＝3）（3
）
12
AG AF =，理由见解析. 【分析】
（1）运用四边形AMFN 是正方形得到判断△AMC,△AND 是Rt △，进一步说明△ABC 是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.
（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x
，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；
（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GF
N ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形，
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND 是Rt △
∵△ABC 是等边三角形
∴AB=AC
∵旋转后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)
（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，
设AG ＝x
则AE=2x 3x
易得△GBE 是等腰直角三角形 ∴BG=EG 3x ∴AB=BC=31)x 易得∠DHF=30°
∴HD=2DF=3，HF=3 ∴BF=BH+HF=233 ∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL) ∴易得3 ∴BC=BF-CF=233333=+∴(31)33x =∴3x =∴AE ＝223x = （3）122
AG AF =； 理由：如图2中,延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =,则GMB ∆≌11GFC ∆,
∴111BM FC DF == 1BMG GF
N ∠=, ∴BM ∥1F N ,
∴MBA N ∠=∠
∵0190NAO OF D ∠=∠= 1AON DOF ∠=∠
∴1N ADF ∠=∠
∴1ABM ADF ∠=∠,
∵AB AD =
∴ABM ∆≌1ADF ∆（SAS ）
∴1AM AF = 1MAB DAF ∠=∠
∴0190MAF BAD ∠=∠=
∴1AMF ∆是等腰直角三角形
∴1AG MF ⊥ 1AG GF = ∴12AF ∴12AG AF =【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.
8．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE ≠DF 时，（BE +DF ）2+EF 2＝2AB 2仍然成立，理由详见解析；（3）62PD =-【分析】
（1）①连接ED 、BF ，证明四边形BEDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D 作DM ⊥BE 交BE 的延长线于M ，连接BD ，证明四边形EFDM 是矩形，得到EM=DF ，DM=EF ，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P 作PE ⊥PD ，过B 作BELPE 于E ，根据（2）的结论求出PE ，结合图形解答.
【详解】
（1）证明：①连接ED、BF，∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝1
2
BD，OE＝OF＝
1
2
EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，
理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP2BE，
2+2PD＝6，
∴2BE+2PD＝6，即BE+PD＝6，
∵AB＝4，
∴（6）2+PE2＝2×42，
解得，PE＝2
∴BE＝2
∴PD＝6﹣2．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.
9．（1）1
4
；（2）
mb
AG
a
；（3）
5
3
【分析】
（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到1
4
mb＝
1
4
AG•a，于是得到结论；
（3）如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON 的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．
【详解】
解：（1）如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，
∴∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝∠AOG（SAS），
∴△BOE≌△AOG，
∴S△BOE＝S△AOG，
又∵S△AOB＝1
4
S四边形ABCD，
∴S四边形AEOG＝1
4
S正方形ABCD，
故答案为：1
4
．
（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，
∴S△AOB＝S△AOD＝1
4
S矩形ABCD，
∵S四边形AEOG＝1
4
S矩形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝1
2
BE•OM＝
1
4
mb，
S△AOG＝1
2
AG•ON＝
1
4
AG•a，
∴mb＝AG•a，
∴AG＝mb
a
；
（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，
∵S△AOB＝S△AOD＝1
4
S▱ABCD，S四边形AEOG＝
1
4
S▱ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝1
2
BE•OM＝
1
2
OM，S△AOG＝
1
2
AG•ON，
∴OM＝AG•ON，
∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，
∴
5
3 OM
ON
，
∴AG＝5
3
；
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．
10．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3130
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）
②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可
DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到
△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
②∵△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG 为正方形．
∵∠BAF=∠DAF ，
∴BE=AB=DC ，
∵M 为EF 中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME 和△DMC 中，
BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BME ≌△DMC （SAS ），
∴MB=MD ，
∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=14，
∴
DM BD ∴=
=【点睛】 此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。