安徽省黄山市屯溪一中高三(上)第四次月考数.docx

2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数
学试卷（文科）（12月份）
一、选择题
1．若集合，则M∩N=（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0＜x＜2}
2．复数在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列有关命题的说法中错误的是（）
A．“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是真命题
B．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（1，2）
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”
D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
5．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（）
A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10
6．函数f（x）=的零点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=（）
A．﹣5 B．0 C．3 D．5
8．如图所示程序框图，输出结果是（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．.20
10．如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且（n ≥2），则a 100=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知双曲线﹣=1（0＜b ＜2）与x 轴交于A 、B 两点，点C （0，b ），则△ABC 面积的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．已知A ，B ，C ，D 是球面上的四个点，其中A ，B ，C 在同一圆周上，若D 不在A ，B ，C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于（ ）
A．B．C．D．
二.填空题
13．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=________．
14．已知等差数列{a
n }的公差d≠0，且a
1
，a
3
，a
13
成等比数列，若a
1
=1，S
n
是数列{a
n
}前n
项的和，则的最小值为________．
15．已知实数x，y满足，z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数
a的取值范围为________．
16．抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是________．
三.解答题
17．从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：
质量指标值分组[10，20）[20，
30）
[30，40）[40，50）[50，60）
[60，
70）
频数 2 3 4 5 4 2
（Ⅰ）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？
质量指标值分组[10，20）[20，
30）
[30，40）[40，50）[50，60）
[60，
70）
频数0.15 0.2
（Ⅱ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）．
18．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在的值域；
（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c， a=2csinA，若f
（A+）=，求cosB的值．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E位PC的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求E到平面PBD的距离．
20．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）
（1）若函数f （x ）在x=1处取得极值2，求a ，b 的值；
（2）求试讨论f （x ）的单调性；
（3）若b=c ﹣a （实数c 是a 与无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c 的值．
21．已知椭圆E ： =1（a ＞b ＞0），离心率为，且过点A （﹣1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）若椭圆E 的任意两条互相垂直的切线相交于点P ，证明：点P 在一个定圆上．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED ． （Ⅰ）证明：CD ∥AB ；
（Ⅱ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）；
（Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f （x ）=|x ﹣a|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f （x ）+f （﹣x ）≥4；
（Ⅱ）证明：f （x ）+f （﹣）≥2．
2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若集合，则M∩N=（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0＜x＜2}
【考点】交集及其运算．
【分析】直接求出集合M，N，然后求解M∩N．
（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}；
【解答】解：M={x|log
2
={x|0＜x＜2}；
所以M∩N={x|1＜x＜2}．
故选A．
2．复数在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．
【解答】解： ==在复平面上对应的点位于第二象限．
故选：B．
3．△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，
若，
则sin（A+B）=，
即sinAcosB+cosAsinB=，
∴cosAsinB=cosAcosB，
若cosA=0或tanB=，
即A=90°或B=60°，
∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．
故选：A．
4．下列有关命题的说法中错误的是（）
A．“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是真命题
B．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在区间是（1，2）
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”
D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的否命题判断A；利用函数零点存在性定理判断B；写出命题的逆否命题判断C；写出特称命题的否定判断D．
【解答】解：“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题，故A正确；
函数f（x）=e x+x﹣2是增函数，若有零点，则唯一，又f（0）=﹣1，f（1）=e﹣1＞0，∴f （x）的零点所在区间是（0，1），故B错误；
命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，故C正确；
对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D正确．
∴错误的命题是B．
故选：B．
5．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（）
A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10
【考点】正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】观察f（x）的解析式可看出，函数y=ax5+bx3+sinx为奇函数，从而可以求出f（﹣2）+f（2），然后根据f（﹣2）=10便可得出f（2）的值．
【解答】解：根据f（x）解析式得：f（﹣2）+f（2）=﹣16；
又f（﹣2）=10；
∴f（2）=﹣26．
故选A．
6．函数f（x）=的零点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】令函数f（x）=0，求解即可，注意x的取值范围．
【解答】解：∵x﹣1＞0，x2﹣5x+5＞0，
∴x＞
令函数f（x）==0
∴x+1=0，或ln（x2﹣5x+5）=0，
∴x2﹣5x+5=1．
解得x=4，
∴所求零点的个数是1个．
故选C．
7．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=（）
A．﹣5 B．0 C．3 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．
【解答】解：∵=+， =+，∴+=+++=﹣，
∴（+）•（+）=（﹣）•（+）=2﹣2=22﹣32=﹣5．
故选：A．
8．如图所示程序框图，输出结果是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．
【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构
第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3；
第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13；
第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69；
第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431；
第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500；
跳出循环，输出i=6．
故选B．
9．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于（）
A．B．C．D．.20
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，把该四棱锥放入棱长为4的正方体中，容易计算出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
，
该几何体是如图所示的四棱锥D﹣CBEC
1
把该四棱锥放入棱长为4的正方体中，如图所示；
则该四棱锥的体积为 V=S 四边形CBEC 1•CD=×
×4×4=．
故选：C ．
10．如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且（n ≥2），则a 100=（ ） A ．B ． C ． D ．
【考点】数列递推式．
【分析】要求a 100，只要根据已知递推公式求出通项即可，而由整理可得，结合a 1=2，a 2=1可求a n ，从而可求
【解答】解：∵ ∴
∵a 1=2，a 2=1 ∴，， 是等差数列，首项为，公差为 ∴
∴
∴
故选：D
11．已知双曲线﹣=1（0＜b ＜2）与x 轴交于A 、B 两点，点C （0，b ），则△ABC 面积的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出A ，B 的坐标，可得△ABC 面积，利用基本不等式求出△ABC 面积的最大值．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（0＜b ＜2）与x 轴交于A 、B 两点，
∴A（﹣，0），B（，0），
∵点C（0，b），
∴△ABC面积S=×2×b=×b=≤=2
当且仅当b=时取等号，
∴△ABC面积的最大值为2，
故选：B．
12．已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于（）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】从这四点中的任意两点的连线共有=6条，从这四点中的任意两点的连线中取2条，基本事件总数n==15，利用列举法求出这两条直线是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这两条直线是异面直线的概率．
【解答】解：从这四点中的任意两点的连线共有=6条，
其中A，B，C三点中任意两点连线有3条，AB、AC、BC，
D与A，B，C中的每一个点都构成一条直线，AD、BD、CD，
从这四点中的任意两点的连线中取2条，基本事件总数n==15，
这两条直线是异面直线包含的基本事件有：AC与BD，AB与CD、BC与AD，共3种，
∴这两条直线是异面直线的概率p=．
故选：B．
二.填空题
13．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，可得P点坐标为（0，1），|AB|=，再由△PAB的面积等于π，可得：
=π，求出周期后，可得ω的值．
【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，
由x=0时，2sin =1可得：P 点坐标为（0，1），
函数f （x ）=2sin （ωx +）（ω＞0）的图象与A ，B ，
故|AB|=，
∵△PAB 的面积等于π， ∴=π， ∴T=4π=，
∵ω＞0， ∴ω=， 故答案为：
14．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则
的最小值为4．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d ，代入等差数列的通项公式、前n 项和公式求出a n 、S n ，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求
出式子的最小值．
【解答】解：因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以，
又a 1=1，所以（1+2d ）2=1×（1+12d ）， 解得d=2或d=0（舍去）， 所以a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，S n =
=n 2，
则===
=﹣2≥2﹣2=4，
当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故答案为：4．
15．已知实数x，y满足，z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数
a的取值范围为[﹣1，1]．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再根据题意建立关于a的不等式组，解之即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中
A（3，﹣3），B（3，9），C（﹣3，3），
设z=F（x，y）=2x﹣y，把A、B、C坐标分别代入得
F（3，﹣3）=3a﹣3，F（3，9）=3a+9，F（﹣3，3）=﹣3a+3
结合题意，可得，解之得﹣1≤a≤1．
∴实数a的取值范围为[﹣1，1]
故答案为：[﹣1，1]
16．抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，可得=，求
出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．
【解答】解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，
∵抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），点A（﹣2，0）
∴=，
设过A抛物线的切线方程为y=k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，
∴△=（4k2﹣8））2﹣16k4=0，
∴k=±1
∴∈[．
故答案为：．
三.解答题
17．从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：
质量指标值分组[10，20）[20，
30）
[30，40）[40，50）[50，60）
[60，
70）
频数 2 3 4 5 4 2
（Ⅰ）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？
质量指标值分组[10，20）[20，
30）
[30，40）[40，50）[50，60）
[60，
70）
频数0.15 0.2
（Ⅱ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）．
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表，由此能求出该企业生产这种产品的合格率．（Ⅱ）众数是频率最大的区间的“中间值”，平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值”之和，中位数左边和右边的频率相等，由此能估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表如下：
质量指标
值分组
[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.2 0.1
∴该企业生产这种产品的合格率为：
p=0.2+0.25+0.2+0.1=0.75．
（Ⅱ）∵众数是频率最大的区间的“中间值”，
∴众数为： =45，
∵平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值”之和，
∴平均数为： =15×0.1+25×0.15+35×0.2+45×0.25+55×0.2+65×0.1=41．
∵中位数左边和右边的频率相等，
从表中可知，中位数落在区间[40，50）内，
设中位数为x，则0.1+0.15+0.2+0.25×，解得x=42，
∴这种产品质量指标值的中位数的估计值为42．
18．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在的值域；
（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c， a=2csinA，若f （A+）=，求cosB的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+）﹣1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）即可；
（2）根据x的范围求出x+的范围，从而求出函数f（x）的值域即可；
（3）先求出A的三角函数值，再求出A+B的值，根据两角和的余弦公式计算即可．
【解答】解：（1）f（x）=sin（ϖx）﹣2•
=sin（ϖx）+cos（ϖx）﹣1
=2sin（ϖx+）﹣1，
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，
即=3π，解得ϖ=，
所以f（x）=2sin（x+）﹣1；
（2）x∈时： x+∈（﹣，），
∴x+=﹣时：f（x）取得最小值﹣2，
x+=时：f（x）取得最大值1，
故函数f（x）的值域是（﹣2，1]；
（3）a=2csinA，由正弦定理得
∴==，…
又sinA≠0，∴sinC=，…
又因为 a＜b＜c，所以C=，
由f（A+）=，
得：2sin[（+）+]﹣1=，
∴2sin（A+）﹣1=，
∴cosA=，sinA=，
而A+B=π﹣C=，
∴cos（A+B）=cos，
∴cosAcosB﹣sinAsinB=，
∴676cos2B﹣24×26cosB+69=0，
解得：cosB=或．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E位PC的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求E到平面PBD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知推导出PD⊥底面ABCD，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由 BC⊥平面PBD，能求出E到平面PBD的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面PCD⊥底面ABCD于CD，PD⊂面PCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，
∵BC⊂面ABCD，∴PD⊥BC
在Rt△ABD中，AB=AD=1，故，
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，故
由BC2+BD2=CD2，得BC⊥BD，
又∵PD⊥BC，PD∩DB=D，
∴BC⊥平面PBD．…
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC⊥平面PBD，
E为平面PBD的斜线段PC的中点，
故E到平面PBD的距离．
20．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值；
（2）求试讨论f（x）的单调性；
（3）若b=c﹣a（实数c是a与无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取
值范围恰好是，求c的值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（0）•f（﹣a）=b（a3+b）
＜0，根据函数的单调性求出c的值即可．
【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+b，f′（x）=3x2+2ax，
若函数f（x）在x=1处取得极值2，
则，解得：；
（2）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣a，
∴f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，0）递减，在（0，+∞）递增，
a=0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞﹣a，
∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增；
（3）由（2）得：函数f（x）有2个极值，
分别是：f（0）=b，f（﹣a）=a3+b，
则函数f（x）有3个零点等价于f（0）•f（﹣a）=b（a3+b）＜0，
∴或，
又b=c﹣a，∴a＞0时， a3﹣a+c＞0或a＜0时， a3﹣a+c＜0，
设g（a）=a3﹣a+c，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是
，
∴（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0，在（1，）∪（，+∞）上，g（a）＞0均恒成立，
从而g （﹣3）=c ﹣1≤0，且g （）=c ﹣1≥0，故c=1；
此时，f （x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（x+1）[x 2+（a ﹣1）x+1﹣a]，
∵f （x ）有3个零点，则x 2+（a ﹣1）x+1﹣a=0有2个异与﹣1的不等实根， ∴△=（a ﹣1）2﹣4（1﹣a ）=a 2+2a ﹣3＞0， 且（﹣1）2﹣（a ﹣1）+1﹣a ≠0， 解得：a ∈，
综上：c=1． 21．已知椭圆E ：
=1（a ＞b ＞0），离心率为
，且过点A （﹣1，0）． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）若椭圆E 的任意两条互相垂直的切线相交于点P ，证明：点P 在一个定圆上． 【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（Ⅰ）根据
且b=1，则a=
，c=1；
（Ⅱ）设P （x 0，y 0），分两类讨论：①当直线l 的斜率存在且非零时，得出；②
当直线l 的斜率不存在或斜率等于零时，P 也符合上述关系．
【解答】解析：（Ⅰ）由已知，且椭圆的焦点在y 轴上，
所以，b=1，则，a=
，c=1，
所以椭圆E 的方程为：
；
（Ⅱ）设两切线的交点P （x 0，y 0），过交点P 的直线l 与椭圆相切，
①当直线l 的斜率存在且非零时，x 0≠±1．
设其斜率为k ，则直线l ：y=k （x ﹣x 0）+y 0，联立方程
，
消y 得：
，
因为直线l 与椭圆相切，△=0， 即，
化简得，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣（*）
因椭圆外一点所引的两条切线互相垂直，则k 1k 2=﹣1，
而k
1，k
2
为方程（*）的两根，故，整理得：；
②当直线l的斜率不存在或斜率等于零时，易求得P点的坐标为，
显然，点P也满足方程：，
综合以上讨论得，对任意的两条相互垂直的切线，点P的坐标均满足方程x2+y2=3，
故点P在定圆x2+y2=3上．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；
（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．
【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．
（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，
所以∠EDC=∠ECD
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA
故∠ECD=∠EBA，
所以CD∥AB
（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，
因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC
连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F四点共圆
[选修4-4：极坐标与参数方程] 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 【分析】（I ）利用
，以及x 2+y 2=ρ2，直接写出圆C 1，C 2的极坐标方程，求出
圆C 1，C 2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；
（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C 1与C 2的公共弦的参数
方程．
【解答】解：（I ）由，x 2+y 2=ρ2，
可知圆，的极坐标方程为ρ=2， 圆，即
的极坐标方程为ρ=4cosθ，
解
得：ρ=2，
， 故圆C 1，C 2的交点坐标（2，），（2，
）．
（II ）解法一：由
得圆C 1，C 2的交点的直角坐标（1，
），（1，
）．
故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为 （或圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为）
（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1
从而
于
是圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（﹣x）≥4；
（Ⅱ）证明：f（x）+f（﹣）≥2．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简可得|x﹣1|+|x+1|≥4，从而讨论以去绝对值号，从而解得；（Ⅱ）f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣|=|x﹣a|+|+a|≥|x+|≥2．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，∵f（x）+f（﹣x）≥4，
∴|x﹣1|+|x+1|≥4，
当x≤﹣1时，﹣2x≥4，故x≤﹣2，
当﹣1＜x＜1时，2≥4，不成立，
当x≥1时，2x≥4，故x≥2；
综上所述，不等式f（x）+f（﹣x）≥4的解集为
（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；
（Ⅱ）证明：∵f（x）+f（﹣）
=|x﹣a|+|﹣|
=|x﹣a|+|+a|
≥|x+|≥2，
故f（x）+f（﹣）≥2．
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