人教A版高中数学必修五周练七.docx

周练七(2013年高一下学期期中模拟试题)
命题人 刘云清
一．选择题：每小题5分，共50分．每小题四个选项中，只一项是符合要求的． 1.下列命题正确的是
A.若,0a b x y >>>则ax by >
B. 若
11
x y
>则x y < C. 若x y >则22x y > D .若33
x y >则x y >
2.不等式2
230x x -++<的解集是
A ．﹛x|3x <-或1x >﹜ B.﹛x|1x <-或3x >﹜ C. ﹛x|13x -<<﹜ D.﹛x|31x -<<﹜
3.已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =
A ．
23 B. 13 C.13- D. 23
- 4.在ABC ∆中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≥+-，则A 的取值范围是
A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D. ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
5. 已知△ABC 的三边长分别为a-2，a ，a+2，且它的最大角的正弦值为2
3
，则这
个三角形的面积是 （ ）
A ．
4
15 B ．
4
3
15 C ．432 D ．4335
6.已知关于x 的不等式2
0ax x +<的解集中的整数恰有2个，则
A ．1132a <≤ B. 1132a ≤<
C. 1132a <≤或1123a -≤<-
D. 1132a ≤<或1123
a -<≤-
7.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n
，(n a R ∈),则公比为
A ．4-
B ．2
C ．4
D ．16
8. 已知{}n a ，{}n b 都是等差数列，前n 项和分别记为,n n A B ，若213n n A n B n
+=，则
4
4
a b = A ．59 B. 35 C 1927 D. 57
9.记实数,a b 中的最大数为{}max .a b ,定义数列{}n a ： {}
2max ,2n n a n =，
则数列{}n a 的前10项和为
A ．2046 B.2047 C.2048 D.2049
10.等差数列{}n a （公差不为0）的部分项构成等比数列{}n b ，已知n n k b a =，
12k = 24k =，312k =，则4k =
A .26 B. 28 C. 44 D. 48
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二．填空题：本大题共5小题．每小题5分．共25分． 11. 不等式
1
0x x
+>的解集是 12 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若00
75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

13．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，给出下列命题①数列｛a n ｝的前n 项和
111n n a a
S q
+-=-；②若 1q >，则数列｛a n ｝是递增数列；③若a 1＜a 2＜a 3 ，则数
列｛a n ｝是递增数列。

其中正确的命题序号是 14.已知函数()tan f x x =.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________时，
0)(=k a f .
15. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程就超过2200km ，如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程（km ）范围是________. 三．解答题：共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知321341,,a a S S S -=，成等差数列，求{}n a 的通项公式．
17.（12分）在ABC ∆中，35cos ,sin 513
A B =
=. （1）求sin C 的值；（2）若ABC ∆的面积为14
5
，求AC 边的长.
18.（12分）已知三角形的三个顶点为(2,4),A (1,2),B -(2,3)C -，求BC 边上的高AD 所在的直线方程．
19.（12分）设0,a >,解关于x 的不等式()2
2
1a x a x -->⎡⎤⎣⎦.
20..（13分）Ⅰ(文科)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为0
15,75==βα，如果这时气球的高度100=h 米，求河流的宽度BC 。

Ⅱ(理科)数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的： 1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点.2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

（Ⅰ）ABC ∆中，AB AC =，费马点记为P ，证明：PB PC =； （Ⅱ）若Q 为ABC ∆内任意一点，73AB AC ,BC ===求QA QB QC ++的
最小值.
21.（14分）Ⅰ(文科)在等差数列{}n a 中，已知7
10,715105-==
a a 。

（I ）求通项n a 和前n 项和n S ；
（II ）求n S 的最大值以及取得最大值时的序号n 的值； （III ）求数列{}
n a 的前n 项和n T .
II (理科)已知数列{}n a 满足1313a ,a ==，且对任意2n ,n N *≥∈都有
112a n n n a a -++=
（Ⅰ）求24a ,a ；
（Ⅱ）证明：{}n a 是等差数列,并求通项公式n a ；
（Ⅲ）设n n n b a
= ⋅ 2 ， (n N*) ∈，数列{}n b 的前n 项和记为n S ,求n S .
D
B
C
A
期中模拟试题参考答案
1.D
2. B
3.A
4.D
5解析：先判断出a+2所对角最大，设为α，则sin α=
23，∴cos α=±2
1
.当cos α=21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2
-2a(a-2)·cos α，解得a=0，不合题意.当cos α=-2
1时，由(a+2)2
=a 2
+(a-2)2
-2a(a-2)·cos α，解得a=5或a=0(舍去). ∴S=
21 (a-2)·a ·sin α=2
1
×3×5×23=4315.答：B
6.B 7 C 8.D 9.B 10.C
11. ﹛x|1x <-或0x >﹜ 12.6 13. ③ 14. 14
15解析：设这辆汽车原来每天行驶的路程为xkm ，则8(19)2200,
9(12)8(19),
x x x +>⎧⎨-<+⎩
解之，得256<x<260.答案：256<x<260
16．解：设等比数列{}n a 的公比为q ，
由321a a -=得：()
2
11a q q -=，① …………2分
由134,,S S S 成等差数列得：4331,S S S S -=-∴432a a a =+ 则2
1q q =+ ② ∴15
2
q ±=
…………7分 ①代入②得：11a = …………10分 ∴通项公式1
15(
)2
n n a -±= …………12分
17．解：（1）由已知得：4
sin sin 5
A B =
> ∴02B A π<<<，12
cos 13
B = ……………3分
从而63
sin sin()65C A B =+= ……………6分
（2）由正弦定理得：63
sin sin 25AC AB C AC B == ……………9分
∴ABC ∆的面积21163414sin 222555
S AB AC A AC =⋅⋅=⋅⋅= 解得5
3
AC = …………12分
18．解：直线BC 的斜率为3(2)5213BC k --==---， ∵AD BC ⊥， ∴3
5
AD k =，
根据点斜式，得到所求直线的方程为3
4(2)5
y x -=-， 即35140x y -+=.
19.解：由()2
2
1a x a x -->⎡⎤⎣⎦得：()()20ax a a x a --->⎡⎤⎣⎦
∵0,a >∴()()120x a x a --->⎡⎤⎣⎦ ………3分 ① 当2a =时，有()210x -->∴1x <，
不等式的解集是(),1-∞ ………5分 ② 当02a <<时，20a -<有()102a x x a ⎛
⎫
--< ⎪-⎝⎭
∴
12
a
x a <<-， 不等式的解集是,12a a ⎛⎫
⎪-⎝⎭
………9分
③ 当2a >时，20a ->有()102a x x a ⎛
⎫--> ⎪-⎝⎭
∴1x <或2
a
x a >-，
不等式的解集是﹛x|1x <或2
a
x a >-﹜ ………12分
20. I 文科解：设A 在地面上的射影为D ，则AD=h ，由题设
βαα
βα-=∠=∴=∠=∠BAC h
AB ACB ABD ,sin ,, （2分）
在ABC ∆中由正弦定理得
β
αβαβαββαsin sin )
sin(,sin sin sin )sin(-=∴==-h BC h AB BC （6分）
将已知数据代入计算，得 3200=BC （12分）
II 理科解：（Ⅰ）① 当0
120A ≥时，费马点P 与A 重合，∴PB PC =；……2分 ②当0
0120A <<时，则费马点P 在三角形内部，且
0120APB BPC CPA ∠=∠=∠=
（方法一）在,ABP ACP ∆∆中，由正弦定理知：
120AB AP
sin sin ABP
=∠ 0120AC AP
sin sin ACP
=
∠ ∵AB AC =∴sin APB sin ACP,∠=∠ APB ACP,∠=∠则APB ACP,∆≅∆∴PB PC = ………7分
（方法二）在,ABP ACP ∆∆中，由余弦定理知：2222AB PA PB PA PB cos APB,=+-⋅∠ 2222AC PA PC PA PC cos APC,=+-⋅∠
∵AB AC =，0
120APB APC ∠=∠=∴22PB PA PB PC PA PC,+⋅=+⋅
∴0(PB PC )(PB PC PA),-⋅++=∴PB PC = ………7分
（Ⅱ）由已知得：ABC ∆是锐角三角形，
∴Q 为三角形的费马P 时， QA QB QC ++取到最小值………9分
在PBC ∆中，0
120BPC ∠=
∵73AB AC ,BC ===，由（Ⅰ）知：1PB PC ==
在PAC ∆中，由余弦定理知：222
2AC PA PC PA PC cos APC,=+-⋅∠
∴20
712120PA PA cos ,=+-⋅解得2PA =
∴QA QB QC ++最小值为4. ………13分
21. I 文科解（I ）)15(14
5
),8(75n n S n a n n -=-=
（6分） （II ）n=7或8时20)(max =n S （9分）
（III ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤-=)9(,40147514
5)8(),15(14
5
2n n n n n n T n （14分）
II 理科解：（Ⅰ）∵对任意2n ,n N*≥∈都有112a n n n a a -++= 令2n =得：1322a a a += ， ∴ 2a 2=
令3n =得：2432a a a += ， ∴ 4a 4= ………3分
（Ⅱ）∵对任意2n ,n N*≥∈都有112a n n n a a -++=
∴1n n a a +-=1a n n a -- ………5分
∴数列{}n a 是等差数列,通项公式n a n.= ………9分 （Ⅲ）n S =23
1222322n n ⋅+⋅+⋅++⋅ ① 2n S =2
3
4
1122232(1)22n n n n +⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②
①-②得
n S -=23122222n n n ++++
+-⋅
=1
(1)2
2n n +--
∴1
(1)22n n S n +=-+。