数学高考一轮复习刺金四百题：第331—335题(含答案解析)(1)

数学高考一轮复习刺金四百题：第331—335题（含答案解析）
(1)
设，是夹角为的两个单位向量，若，是以为直角顶点的直角三角形，则 。

1
OM e =2ON e =60()
,OP xOM yON x y =+∈R
PMN ∆M
解法一：，， 因为， 即1x y -=
解法二：反向延长到，使ON
OQ 1
OQ =
因为，故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形，
1ON OM OQ ===NMQ
∆
即，因为，所以三点共线，故90
NMQ ∠=90NMP ∠=,,P M Q 1x y -=
感知高考刺金332
已知，则的最大值是_______。

224x y +=x y xy +-
解法一：令，，则，目标函数为x y m
+=xy n
=(
21
22
n m m =--≤≤x y xy m n +-=-
画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，(),m n
如图，目标函数与相切时
n m z =-2
122
n m =-
当且仅当，即时取得31,2
m n ==-x y ==
解法二：令，，则， 所以
解法三：三角换元，，则，
令，sin cos t θθ⎡+=∈⎣21sin cos 2
t θθ-= 故()2
2155
2212222
x y xy t t t ⎛⎫+-=--=--+≤ ⎪⎝⎭
解法四：令， ，则x u v
=+y u v =-222u v +=
则，()()2
2
2
155222222x y xy u u v u v u u v u ⎛
⎫+-=-+-=-+=--+≤ ⎪⎝
⎭
点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即。

()()22
4
x y x y xy +--=
感知高考刺金333
已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ＞0，都有，则= ．)
(x f [()ln ]1f f x x e -=+(1)f
解：必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾．所以可设．则．()ln f x x -1e
+()ln f x x c -=()ln f x x c =+
将c 代入，得，即．()1f c e =+ln 1c c e +=+
∵是单调增函数，当时，成立，ln y x x =+c e =ln c c +1e =+ ∴．则．()ln f x x e
=+(1)f e =
感知高考刺金334
设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值
是 ．ABC ∆22
1x y +=11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MA MB MC ++
解：设是以为直角顶点的直角三角形，则ABC ∆C 2MA MB MO +=
所以23MA MB MC MO MO OC OC OM ++=++=-
所以
331MA MB MC OC OM OC OM ++=-≤+=（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点（）到圆上一点距离，同时连最小值也可以求出）E
3OM OE =C
1
当且仅当三点共线且点在第三象限时，
,,O M C C
max
1MA MB MC
++=+
感知高考刺金335
★函数，，当时，，且的最大值为
2，
则 ．()2,f x ax bx c x R =++∈(),0g x ax b a =+>11x -≤≤()1
f x ≤()
g x a b -=
解：因为的最大值为2，所以()g x 2a b +=
由()0111f c ≤⇒-≤≤
由()111131f a b c c ≤⇒-≤++≤⇒-≤≤-
所以1c =-
故题目变为对恒成立。

()()221211022
ax a x ax a x -≤+--≤⇒≤+-≤11x -≤≤
此时注意到，是一个零点()()()222h x ax a x x ax a =+-=+-0x =
由于对，，故是个偶重零点，故也是的根，11x -≤≤()0h x ≥ 所以，
点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。

“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”。