道路中边桩坐标计算

道路中边桩坐标计算
道路工程放样的主要工作包括：线路中线放样、路基施工放样、路面施工测量等内容。

而线路线路中线是由直线与曲线组成的，直线的测设相对容易，故曲线测设是工程建筑物放样的重要组成部分之一。

就线路而言，由于受地形、地物及社会经济发展的要求限制，线路总是不断从一个方向转到另一个方向。

这时，为了使车辆平稳、安全地运行，必须使用曲线连接。

这种在平面内连接不同线路方向的曲线，称为平面曲线，简称平曲线。

平面曲线按其半径的不同分为圆曲线和缓和曲线。

圆曲线上任意一点的曲率半径处处相等。

缓和曲线是在直线与圆曲线，圆曲线与圆曲线之前设置的曲率半径连续渐变的一段过渡曲线；缓和曲线上任意一点曲率半径处处在变化。

当缓和曲线作为直线与圆曲线之间的介曲线时，其半径变化范围自无穷大至圆曲线半径R，若用以连接半径为R1和R2的圆曲线时，缓和曲线的半径便自R1向R2过渡。

按曲线的连接方式不同，可分为：
a、单圆曲线，亦称为单曲线，即具有单一半径的曲线
b、复曲线，由两个或两个以上的单曲线连接而成的曲线
c、反向曲线，由两个不同方向的曲线连接而成的曲线
d、回头曲线，由于山区线路工程展现需要，其转向角接近或超过180度的曲线
e、螺旋线，线路转向角达360度曲线
f、竖曲线，连接不同坡度的曲线，竖曲线有凹形和凸形两种，顶点在曲线之上的为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。

2.2 平面曲线放样数据计算基本公式
2.2.1 缓和曲线基本公式
1、缓和曲线具有的特征是曲线上任意点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。

如图2.1所示，设缓和曲线上任一点P 的半径为ρ，该点至起点的曲线长为l ，则回旋线的基本公式为：
h
L R l A l
A l C ⋅=⋅==
=ρρ22 （2-1） 式中，2
A 为常数，ρ为缓和曲线参数，表示缓和曲线半径的变化率。

图 2.1 带缓和曲线的圆曲线
2、切线角公式，如图2.1所示，可知切线角公式为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎬
⎫⋅==⋅===)(1802)(2)(1802)(2200
000022
2πββπββR L rad R
L RL l rad RL l C l S S S S
（2-2）
3、回旋线参数方程式为：
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫+-=-+-=...3366 (345640337)
34
49
225S
S S S L R l RL l y L R l L R l l x （2-3)
注：当圆曲线半径较大时，一般略去高次项，x 只取前一、二项，y 取前一项即可。

缓和曲线终点HY （或YH ）的坐标即为：
⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=-=R L y R L L x S
S S 6402
0230 （2-4）
2.2.2缓和曲线局部坐标计算
1、如图2.1当半径较小时应取更多的项，实际计算取前五项即可，其中A
为回旋线参数，以下为回旋线参数方程取前五项的计算公式：
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫+-+-=+-+-=1819
141510116723'16
17
12138945'
35300966409676800422403366175472640599040345640A l A l A l A l A l y A l A l A l A l l x （2-5） 内移距和切线增长距则可取：
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫+-+-=-+-=89
1671451231117
8
1
56134121131585075208386560345602402154828800506880268824R L R L R L R L L q R L R L R L R L p h h h h h h h h h （2-6）
2、局部坐标计算
（1）、缓和曲线段。

缓和曲线段上各待定点坐标按缓和曲线参数方程计算，即
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫+-+-=+-+-=1819
141510116723'16
17
12138945'
35300966409676800422403366175472640599040345640A l A l A l A l A l y A l A l A l A l l x （2-7） （2）、圆曲线线段。

圆曲线段上各待定点坐标，可按图2.2写出
i
i
i R R y R x R l ϕϕπ
ϕcos sin 1800
⋅-=⋅=⨯
= (2-8)
图 2.2圆曲线局部坐标
注：式中l 为圆曲线上的点到圆曲线起点的弧长（里程差）
2.3 中桩坐标计算
1、直线段坐标计算式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ααsin cos Y X Y X p p S S (2-9)
2、第一缓和曲线段
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----''ZH ZH p p cos sin sin cos Y X Y X y x JD ZH JD ZH JD ZH JD ZH αααα (2-10)
3、第二缓和曲线段
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----''HZ HZ p p cos sin sin cos Y X Y X y x JD HZ JD HZ JD HZ JD
HZ αααα (2-11)
2.4 非完整缓和曲线坐标计算
如图2.3所示，当需要用缓和曲线连接半径不同两圆曲线时，则需使用回旋线起点曲率半径为圆曲线半径，即缓和曲线段起点的曲率半径不为无穷大，也即所采用缓和曲线为完整整缓和曲线其中的一段。

图 2.3非完整缓和曲线段
1、由图2.3则可得弧长与对应半径间关系式：
B
A B A B AB A B AB A A A R R A R R R l l A R l l R l -=
-==⋅+=⋅⋅2
2)( (2-12)
则切线角之间的关系式为：
A
P P P P P P P A A A A A A l l R l A l l R l βββπ
πβπ
πβ-=⨯
=⨯=⨯=⨯='
22
020
2
2
02
1802180218021802 (2-13)
如图2.3所示，可知其中P 点方位角为：
'P x P βαα±= （2-14）
备注：公式为当B A R R >时的计算公式。

当B A R R <时情况一样，只需将A 与B 互换即可。

2、采用坐标正算计算中桩坐标
由缓和曲线参数方程可知，将弧长A l 和P l 带入缓和曲线参数方程则得在xoy 坐标系下的A 、P 点坐标，再求增量AP x ∆和AP y ∆即可，则A 至B 的弦长和A 点的旋切角为：
A
AB
AB A AP AP AP x y
y x D ββ-∆∆=∆+∆=arctan '
（2-15）
故AP 方向的坐标方位角和P 点坐标为：
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±=AP AP AP A
x AP D ααβααsin cos Y X Y X A A p p ''
（2-16）
3、采用坐标转换计算中桩坐标，利用坐标转换公式将xoy 坐标系下的坐标转换
到'
''y o x 坐标系下：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡A p A p A A A A p p y y x x y x ββββcos sin sin cos '' （2-17）
式中A β为A 点的切线角，曲线右偏为正，左偏为负，再将'
''y o x 坐标系下的坐标
转换到测量坐标系下则可得：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''p p cos sin sin -cos y x Y X p p x x x x A A y x αααα （2-18）
其中x α为A 点的切线在测量坐标系下的坐标方位角。

a 、前述非完整缓和曲线坐标计算，当B A R R <时，要将起、终点互换再求坐标，如终点坐标和终点方位角未知则无法计算，为解决此问题，还需考虑当终点坐标和方位角未知时的情况，如下图2.4所示。

图2.4 未知缓和曲线终点坐标及方位角
b 、如图2.4所示，当终点坐标及方位角未知时，曲线长与曲线半径之间关
系如下：
B
A B A A AB B A
AB B B B R R A R R R l l R l l R l -=
-=⋅+=2
)( （2-19） 切线角则为：
A
P P P P P P P A A A A A A l l R l A l l R l βββπ
πβπ
πβ-=⨯
=⨯=⨯=⨯='
22
020
2
2
02
1802180218021802 （2-20）
则P 点方位角为：
''
p x
p βαα±= （2-21） c 、由缓和曲线参数方程可知，将弧长A l 和P l 带入缓和曲线参数方程则得在xoy 坐标系下的A 、P 点坐标,利用坐标转换公式则将xoy 坐标系下的坐标转换到
'''y o x 坐标系下：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡A p A p A A A A
p p y y x x y x ββββcos sin sin cos '' （2-22）
式中A β为A 点的切线角，曲线右偏为正，左偏为负。

再将'
''y o x 坐标系下的坐标
转换到测量坐标系下：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''p p cos sin sin -cos Y X Y X p p x x x x
A A y x αααα （2-23） 注：x α为A 点的切线在测量坐标系下的坐标方位角。

2.5 边桩坐标计算
根据上述计算所得中桩坐标，计算其相对应宽度为D 的左右边桩则变得更为
容易，只需将中桩点切线方位角减去或加上90度即可得到道路边桩坐标方位角，据此则可用坐标正算方式算得左右边桩坐标，以下为坐标计算式。

1、直线段边桩计算
由于直线段坐标方位角不发生变化，也即该直线段上各点方位角都为α，故直线段边桩坐标计算式为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡±±+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)90sin()90cos(ααD Y X y x （2-24） 式中X 、Y 为中桩坐标，D 为边桩至中桩宽度,α为直线起始方位角,当取方位角为（90-α）时，其结果为左边桩坐标，当取为（90+α）时计算所得为右边桩坐标。

2、圆曲线段边桩坐标计算
在圆曲线段上，由于曲线上点的切线方位角发生变化，因此起始方位角还应加上弦切角才为该中桩点方位角，设该点对应弦切角为β，则)/()180(πβR L =，也即该点坐标方位角为βαα±=P ，故边桩坐标计算式为：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡±±+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)90sin()90cos(P P D Y X y x αα （2-25）
式中X 、Y 为中中桩坐标，D 为边桩宽度，α为曲线起始方位角，当取方位角为（90-P α）时，其结果为左边桩坐标，当取为（90+P α）时计算所得为右边桩坐标。

3、缓和曲线段边桩坐标计算
由图2.3及公式（2-14）可知缓和曲线上点的方位角也即中桩点切线方向的方位角为'
P x P βαα±=，故缓和曲线段边桩坐标计算式为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡±±+⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)90sin()90cos(P P D Y X y x αα （2-26）
α）时，其结果为左边桩坐标，当式中X、Y为中桩坐标，当取方位角为（90
-
P
α）时计算所得为右边桩坐标。

取为（90
+
P。