2021-2022年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析(VIII)

2021-2022年高二上学期期中数学试卷（文科）含解析(VIII)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）
A．B．C．D．
2．双曲线﹣=1的离心率是（）
A．2 B．C．D．
3．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）
A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0
C．∃x
0∈R，|x
|+x
2＜0 D．∃x
∈R，|x
|+x
2≥0
4．抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）
A．B．C．D．
5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）
A．16：9 B．9：16 C．27：8 D．8：27
6．双曲线5x2﹣ky2=5的一个焦点坐标是（2，0），那么k的值为（）A．3 B．5 C．D．
7．一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）图如图所示，则
该四棱锥侧面积是（）
A．180 B．120 C．60 D．48
8．从点（1，0）射出的光线经过直线y=x+1反射后的反射光线射到点（3，0）上，则该束光线经过的最短路程是（）
A．B．C．D．2
9．已知A（﹣1，﹣1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N 点，则|MN|+|MA|的最小值为（）
A．5 B．C．D．
10．以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0
C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=0
11．设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F
1，F
2
是该双曲线的两个焦点．若|PF
1
|：
|PF
2|=3：2，则△PF
1
F
2
的面积为（）
A．B．12 C．D．24
12．已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F 为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.）
13．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点P在双曲线E上，且|PF
1
|=3，
则|PF
2
|等于．
14．若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为．15．已知椭圆，直线l交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l 的一般方程为．
16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|= ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知命题p：{x|x2+4x＞0}，命题，则￢p是￢q的什么条件？
18．（12分）已知两条直线l
1：（a﹣1）x+2y+1=0，l
2
：x+ay+3=0．
（1）若l
1∥l
2
，求实数a的值；
（2）若l
1⊥l
2
，求实数a的值．
19．（12分）已知A（2，0），B（3，）．
（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为的椭圆的标准方程；
（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程．20．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
21．（12分）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A．B，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点．（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）在（1）的条件下，求•的最小值．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F
1、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点，过F
2
作直线交椭圆于P，Q两点，
求△F
1
PQ面积的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
【解答】解：直线y+1=0 即 y=x+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于α，
则 0≤α＜π，且tanα=，故α=60°，
故选B．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．
2．双曲线﹣=1的离心率是（）
A．2 B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】双曲线的离心率为==，化简得到结果．
【解答】解：由双曲线的离心率定义可得，
双曲线的离心率为===，
故选B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于容易题．
3．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）
A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0
C．∃x
0∈R，|x
|+x
2＜0 D．∃x
∈R，|x
|+x
2≥0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”
的否定∃x
0∈R，|x
|+x
2＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的方程，求得焦点坐标，根据点到直线的距离公式，即可求得答案．
【解答】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），
由点到直线的距离公式可知：
F到直线x﹣y=0的距离d==，
故答案选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）
A．16：9 B．9：16 C．27：8 D．8：27
【考点】球内接多面体．
【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与底面半径之比．
【解答】解：V
圆锥=，V
球
=，V
圆锥
=V
球
，
∵r=R
∴h=R
∴h：R=16：9．
故选A．
【点评】本题是基础题，考查圆锥的体积、球的体积的计算公式，考查计算能力．
6．双曲线5x2﹣ky2=5的一个焦点坐标是（2，0），那么k的值为（）A．3 B．5 C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的方程求出a，b，c，通过双曲线的焦点坐标，求出实数k 的值．
【解答】解：因为双曲线方程5x2﹣ky2=5，即x2﹣=1，所以a=1，b2=，所以c2=1+，因为双曲线的一个焦点坐标（2，0），
所以1+=4，所以k=．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的基本性质，焦点坐标的应用，考查计算能力．
7．一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）图如图所示，则
该四棱锥侧面积是（）
A．180 B．120 C．60 D．48
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由题意可知，该几何体是正四棱锥，底面是正方形，所以该四棱锥侧面积是四个相等的三角形．由正视图可知该几何体的高为4，斜面高为5，正方形边长为6，则可以求侧面积．
【解答】解：由题意可知，该几何体是正四棱锥，底面是正方形，所以该四棱锥侧面积是四个相等的三角形，
由正视图可知该几何体的高为4，斜面高为5，正方形边长为6，
那么：侧面积．
该几何体侧面积为：4×15=60
故选：C．
【点评】本题考查了对三视图的认识能力和投影关系．属于基础题．
8．从点（1，0）射出的光线经过直线y=x+1反射后的反射光线射到点（3，0）上，则该束光线经过的最短路程是（）
A．B．C．D．2
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】由题意可得，点P（1，0）关于直线x﹣y+1=0的对称点B（﹣1，2）在反射光线上，可得光线从P到Q所经过的最短路程是线段BQ，计算求得结果．【解答】解：由题意可得，点P（1，0）关于直线x﹣y+1=0的对称点B（﹣1，2）在反射光线上，
故光线从P到Q（3，0）所经过的最短路程是线段BQ==2，
故选：A．
【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标，反射定理的应用，属于基础题．
9．已知A（﹣1，﹣1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N 点，则|MN|+|MA|的最小值为（）
A．5 B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，数形结合可知，当F、M、A共线时，|MN|+|MA|的值最小为|FA|，再由两点间的距离公式得答案．
【解答】解：如图，由抛物线C：y2=4x，得F（1，0），
又A（﹣1，﹣1），∴|MN|+|MA|的最小值为|FA|=．故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0
C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．
【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，
，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，
即x2+y2﹣10x+9=0，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．
11．设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F
1，F
2
是该双曲线的两个焦点．若|PF
1
|：
|PF
2|=3：2，则△PF
1
F
2
的面积为（）
A．B．12 C．D．24
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线定义得|PF
1|﹣|PF
2
|=2a=2，所以
，再由△PF
1F
2
为直角三角形，可以推导出其
面积．
【解答】解：因为|PF
1|：|PF
2
|=3：2，设|PF
1
|=3x，|PF
2
|=2x，
根据双曲线定义得|PF
1|﹣|PF
2
|=3x﹣2x=x=2a=2，
所以，，
△PF
1F
2
为直角三角形，其面积为，
故选B．
【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题．
12．已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F 为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，利
用弦长公式，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：由题意PQ=2=4，
设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，
∴|PQ|=•2=4，
∴5c2=4a2+20b2，
∴e==，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.）
13．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点P在双曲线E上，且|PF
1
|=3，
则|PF
2
|等于9 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF
2|=x，由双曲线的定义及性质得|x﹣3|=6，由此能求出|PF
2
|．
【解答】解：设|PF
2
|=x，
∵双曲线E： =1的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点P在双曲线E上，且|PF
1
|=3，
∴a=3，b=4．c=5，
∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．
∴|PF
|=9．
2
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．
14．若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．
【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，
∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，
∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，
∴可得所求点的横坐标为4．
故答案为：4
【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．
15．已知椭圆，直线l交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l 的一般方程为2x﹣8y﹣9=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设以点P（，﹣1）为中点的弦与椭圆交于A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），
则x
1+x
2
=1，y
1
+y
2
=﹣2，分别把A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）代入椭圆方程，再相减
可得（x
1+x
2
）（x
1
﹣x
2
）+2（y
1
+y
2
）（y
1
﹣y
2
）=0，（x
1
﹣x
2
）﹣4（y
1
﹣y
2
）=0，
k=﹣
【解答】解：设以点P（，﹣1）为中点的弦与椭圆交于A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），
则x
1+x
2
=1，y
1
+y
2
=﹣2，
分别把A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
）代入椭圆方程，
再相减可得（x
1+x
2
）（x
1
﹣x
2
）+2（y
1
+y
2
）（y
1
﹣y
2
）=0，
∴（x
1﹣x
2
）﹣4（y
1
﹣y
2
）=0，
k=﹣
∴点P（，﹣1）为中点的弦所在直线方程为y+1=（x﹣），
整理得：2x﹣8y﹣9=0．
故答案为：2x﹣8y﹣9=0．
【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于基础题．
16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|= 2﹣3 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，
∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，
根据双曲线的方程得：
a=3，b=2，c=，
∴|OF|=，
∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|==2，
∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，
故答案为：2﹣3．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17．（10分）（xx秋•九龙坡区校级期中）已知命题p：{x|x2+4x＞0}，命题，则￢p是￢q的什么条件？
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】化简p：{x|x2+4x＞0}={x|x＜﹣4或x＞0}， ={x|x＜﹣4或0＜x＜4}，可得￢p；￢q，即可判断出结论．
【解答】解：p：{x|x2+4x＞0}={x|x＜﹣4或x＞0}， ={x|x＜﹣4或0＜x＜4}，∴￢p：x∈[﹣4，0]；￢q：x∈[﹣4，0]∪[4，+∞）．
∴¬p是¬q的充分不必要条件．
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法、复合命题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（xx秋•九龙坡区校级期中）已知两条直线l
1
：（a﹣1）x+2y+1=0，
l
2
：x+ay+3=0．
（1）若l
1∥l
2
，求实数a的值；
（2）若l
1⊥l
2
，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平
行关系．
【分析】（1）若l
1∥l
2
，则a（a﹣1）﹣2×1=0，得a=2或﹣1，即可求实数a
的值；
（2）若l
1⊥l
2
，则（a﹣1）×1+2a=0，即可求实数a的值．
【解答】解：（1）由a（a﹣1）﹣2×1=0，得a=2或﹣1，经检验，均满足．（2）由（a﹣1）×1+2a=0，得．
【点评】本题考查两条直线平行、垂直关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
19．（12分）（xx秋•九龙坡区校级期中）已知A（2，0），B（3，）．（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为的椭圆的标准方程；
（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用A为长轴右顶点，离心率为，确定椭圆的几何量，即可得到标准方程．
（2）利用双曲线的定义，求出a，可得b，即可得到标准方程．
【解答】解：（1）由题意，a=2，c=，b=1，
∴椭圆的标准方程为=1；
（2）由题意﹣=7﹣5=2a，
∴a=1，
∵c=2，
∴b==，
∴双曲线的标准方程是=1．
【点评】本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定椭圆、双曲线的几何量是关键．
20．（12分）（xx秋•南京期末）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；
（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程．
【解答】解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），…
∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …
（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：
a+b﹣3=0 ①…（8分）
又直径|CD|=，∴
∴（a+1）2+b2=40 ②…（10分）
由①②解得或
∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）
∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）【点评】此题考查直线方程的点斜式，和圆的标准方程．
21．（12分）（xx秋•九龙坡区校级期中）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px （p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A．B，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）在（1）的条件下，求•的最小值．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x
1+x
2
+p=4p，再由已知条件，得到抛
物线的方程；
（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），利用向量坐标运
算，求得•的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．
【解答】解：（1）由条件知lAB：y=x﹣，
则，消去y得：x2﹣3px+p2=0，则x
1+x
2
=3p，
由抛物线定义得|AB|=x
1+x
2
+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x．
（2）直线l的方程为：y=x+，于是设N（x
0，x
+），A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）
则=（x
1﹣x
，y
1
﹣x
﹣），=（x
2
﹣x
，y
2
﹣x
﹣）
即•=x
1x
2
﹣x
（x
1
+x
2
）++y
1
y
2
﹣（x
+）（y
1
+y
2
）+（x
+）2，
由第（1）问的解答结合直线方程，不难得出x
1+x
2
=3p，x
1
x
2
=p2，
且y
1+y
2
=x
1
+x
2
﹣p=2p，y
1
y
2
=（x
1
﹣）（x
2
﹣）=﹣p2，
则•=2﹣4px
0﹣p2=2（x
﹣p）2﹣p2，
当x
=时，•的最小值为﹣p2．
【点评】此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算．
22．（12分）（xx秋•九龙坡区校级期中）已知椭圆C：的离心率e=，过点A
（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆C的方程；
（2）设F
1、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点，过F
2
作直线交椭圆于P，Q两点，
求△F
1
PQ面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）写出直线方程的截距式，化为一般式，由点到直线的距离公式得到关于a，b的方程，结合椭圆离心率及隐含条件求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设直线方程，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P、Q的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式，换元后利
用基本不等式求得△F
1
PQ面积的最大值．
【解答】解：（1）直线AB的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0，
原点到直线AB的距离为，即3a2+3b2=4a2b2…①，
…②，
又a2=b2+c2…③，
由①②③可得：a2=3，b2=1，c2=2．
故椭圆方程为；
（2），
设P（x
1，y
1
），Q（x
2
，y
2
），
由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为：，
联立直线与椭圆方程：．
则…④，
…⑤，
将④代入⑤得：，
令，则≤，
当且仅当，即，即k=±1时，△PQF
1
面积取最大值．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
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