随机变量和分布函数

随机变量和分布函数
随机变量是指随机试验结果的某个数值，例如掷骰子可能的结果是1~6，其中每个结果就是一个随机变量。

随机变量可以分为离散和连续两类。

离散随机变量的取值有限且可数，例如掷骰子所得点数、对一本书的销售量等等，可以用概率分布函数来描述其概率分布。

连续随机变量的取值是一定区间内的任意实数，例如一个人的身高、一支股票的收盘价等等，可以用密度函数来描述其概率分布。

分布函数是描述随机变量概率分布的一种方式，也称为累积分布函数。

对于随机变量X，它的分布函数F(x)定义为：
F(x) = P(X <= x)
即X小于等于x的概率，可以理解为随机变量所有小于等于x的取值的概率之和。

对于离散随机变量，分布函数可以表示为：
F(x) = P(X <= x) = ∑P(X = xi)
其中xi为X的所有取值，对于连续随机变量，分布函数可以表示为：
F(x) = P(X <= x) = ∫f(t)dt (-∞< x < ∞)
其中f(t)为X的概率密度函数。

分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个非降函数。

2. F(-∞) = 0，F(∞) = 1。

3. F(x)是右连续的。

4. P(a < X ≤b) = F(b) - F(a)。

分布函数有时也称为累积分布函数，意思是F(x)可以看作在（-∞，x]上的概率密度的积分，即“累积”概率密度函数。