江苏省镇江市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学经典试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ）
A ．若(0)()02
f f π
==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；
B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；
C ．若()02
f π
=，则函数()f x 为偶函数；
D ．当22
(0)()02
f f π
+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．
2．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的图象（部分）如图所示，则()
f x 的解析式是（）
A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
3．函数5()3cos 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像的一个对称中心是（ ）
A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n
D ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β
5．ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()a c b a b c ab -+++=，则角C 的大小是（ ） A ．
3
π
B ．
2
π C ．
23
π D ．
56
π 6．直线()
2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2
B ．2或3-
C ．3-
D ．2-或3-
A ．高一学生被抽到的可能性最大
B ．高二学生被抽到的可能性最大
C ．高三学生被抽到的可能性最大
D ．每位学生被抽到的可能性相等
8．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥
B ．若m α
γ=，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥
C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥
D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥
9．为研究需要，统计了两个变量x ，y 的数据·情况如下表:
x
1x 2x 3x
n x
y
1y 2y
3y
n y
其中数据x 1、x 2、x 3…x n ，和数据y 1、y 2、y 3，…y n 的平均数分别为x 和y ，并且计算相关系数r ＝-1.8，回归方程为y b x a ∧∧∧
=+，有如下几个结论：
①点(x ，y )必在回归直线上，即y ＝b x +a ∧
；②变量x ，y 的相关性强； ③当x ＝x 1，则必有1y y ∧
=；④b ＜1．
其中正确的结论个数为 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
10．在中，角
对应的边分别是，已知，，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．下列命题中正确的是（ ）
A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 二、填空题：本题共4小题
13．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r ，则r =______.（精确到0.1%）（参考数据1
102 1.072≈）
14．已知变量,x y 之间满足线性相关关系 1.31y x =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：m =_____.
x
1 2 3 4 y
0.1 m
3.1
4
15．在数列
中，
，则
.
16．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞
+-⎫
⎪⎝⎭
=⎛，则首项1a 的取值范围是
________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2 4 5 6 8
（1）画出散点图； （2）求线性回归方程；
（3）试预测广告费支出为10万元时，销售额为多少？
附：公式为：^
^
^
122
1
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y b x x
nx ==-⋅=
=--∑∑，参考数字：521
145i i x ==∑，5
1
1380i i i x y ==∑.
18．已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =. (1) 求 a b ⋅； (2) 求 ||a b +.
19．（6分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.
20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若E 为BC 的中点，60ABC ︒∠=，求证：平面PAD ⊥平面PAE . 21．（6分）已知数列{a n }中，a 1＝1且a n ﹣a n ﹣1＝3×（12
-）n ﹣2
（n≥2，n ∈N*）. （1）求数列{a n }的通项公式：
（2）若对任意的n ∈N*，不等式1≤ma n ≤5恒成立，求实数m 的取值范围. 22．（8分）如图，已知圆M ： ()2
219x y -+=，点()2,1A
-.
围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式.
对于A 选项，将(0)0,()02
f f π
==化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出A 选项为真命题.
对于B 选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出B 选项为真命题.
对于C 选项，将()02
f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出C 选项为真命题.
对于D 选项，根据22
(0)()02
f f π
+≠、12()()0f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，由此求得
12x x k π-= （k Z ∈），进而判断出D 选项为假命题.
【详解】
()()()cos cos sin sin cos cos sin sin f x m x x n x x ααββ=-+-()()cos cos cos sin sin sin m n x m n x αβαβ=+-+.
不妨设 11221122()(cos cos )cos (sin sin )sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数. 若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02
f π
=，则得1122sin sin 0k k αα+=． 于是当(0)()02
f f π
==时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；
当(0)0f =时，1122()(sin sin )sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题B 是真命题； 当()02
f π=时，1122()(cos cos )cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题C 是真命题；
当22
(0)()02
f f π
+≠时，令()0f x =，则
上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠． 将该方程的两边同除以cos x 得
11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=
+，令1122
1122
cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），
则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．
不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈）， 则1212()x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题D 是假命题． 故选：D 【点睛】
本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题. 2．C 【解析】 【分析】
根据图象可知514263T ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
，利用正弦型函数2T πω=可求得ω；根据最大值和最小值可确定A ，
利用123f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
及2πϕ<可求得ϕ，从而得到函数解析式.
【详解】
由图象可知，()f x 的最小正周期：514263T ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
又2T π
ω
=
ωπ∴=
又()max 2f x =，()min 2f x =-且0A > 2A ∴=
12sin 233f πϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 232k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，即26k πϕπ=+，k Z ∈
2
π
ϕ<
6
π
ϕ∴=
()()2sin 6f x x x R ππ⎛
⎫
∴=+
∈ ⎪⎝
⎭
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确A 由最大值和最小值确定；ω由周期确
【解析】 【分析】 由题得54+62x k k Z ππ
π+=∈，,解出x 的值即得函数图像的一个对称中心. 【详解】 由题得54+62
x k k Z ππ
π+=∈，, 所以()412
k x k Z ππ
=
-∈， 所以5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的对称中心是,0()412k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭． 当k=1时，函数的对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选B 【点睛】
本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面平行的性质定理得//m β． 【详解】
由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误； 在B 中，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若//αβ，m α⊂，则由线面平行的性质定理得//m β，故D 正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 5．C
将()()a c b a b c ab -+++=进行整理，反凑余弦定理，即可得到角C . 【详解】
因为()()a c b a b c ab -+++= 即222a b c ab +-=-
故可得2221
22
a b c cosC ab +-==-
又()0,C π∈ 故23
C π
=
. 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦定理的变形，属基础题. 6．B 【解析】 【分析】
两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解. 【详解】
当10m +=即1m =-时，
两直线为240x +=，320x y -+-=， 两直线不平行，不符合题意； 当0m =时，
两直线为240x y ++= ，320y -= 两直线不平行，不符合题意；
当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时， 直线2(1)40x m y +++=的斜率为2
1
m -+ ， 直线320mx y +-=的斜率为3m -
， 因为两直线平行，所以213
m
m -
=-+， 解得2m =或3-，
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况. 7．D 【解析】 【分析】
根据分层抽样是等可能的选出正确答案. 【详解】
由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D. 【点睛】
本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】
根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
A 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：m 在平面α内或者平行于α，这个条件，才
能判定m β⊥.B 选项不正确，因为m 可能平行于β.C 选项不正确，因为当αβ⊥时，
//m β或者m β⊂.D 选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到//αβ，直线m α⊥，则可得到m β⊥.综上所述，本小题选D. 【点睛】
本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】
根据回归方程的性质和相关系数的性质求解. 【详解】
回归直线经过样本中心点(,)x y ，故①正确；
变量的相关系数的绝对值越接近与1，则两个变量的相关性越强，故②正确；
根据回归方程的性质，当1x x =时，不一定有1ˆy
y =，故③错误； 由相关系数0.80r =-<知,x y 负相关，所以0b <，故④正确； 故选C.
10．A 【解析】 【分析】 根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得.
【详解】 由正弦定理
得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】
由流程图循环4次，输出k ，即可得出结果.． 【详解】
初始值9k =，1S =，是，
第一次循环：9
10S =，8k =，是， 第二次循环：4
5S =，7k =，是，
第三次循环：7
10S =，6k =，是，
第四次循环:S 3
5
=，5k =，否，输出5k =．
故选C ． 【点睛】
本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】
利用定理及特例法逐一判断即可。

【详解】
反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，
那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B 不正确；
如果这两条直线都在平面内且平行，那么这直线不平行于这个平面，故C 不正确；
如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，
所以这两条直线共面，故D 正确．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了线线平行的判定，面面垂直的判定，线面平行的判定，线面垂直的性质，考查空间思维能力，属于中档题。

二、填空题：本题共4小题
13．7.2%
【解析】
【分析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ，结合题意可得10(1)2a r a +=，解可得r 的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a ，则10年后的国民生产总值为2a ，
则有10(1)2a r a +=，
即10(1)2r +=，
解可得：0.072r ≈，
故答案为：7.2%．
【点睛】
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r 的方程，属于基础题．
14．1.8
【解析】
【分析】 根据回归直线方程过样本点的中心(),x y ，代入数据即可计算出m 的值.
【详解】 因为1234 2.54x +++==，0.1 3.14 1.80.254
m y m +++==+， 所以1.80.25 1.3 2.51m +=⨯-，解得 1.8m =.
故答案为：1.8.
【点睛】 本题考查根据回归直线方程过样本点的中心(),x y 求参数，难度较易.
15．
【解析】
【分析】
【详解】 因为, ,
.
16．[)
()2,33,4 【解析】
【分析】
根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.
【详解】
由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭
=⎛，则()(]1,00,1q ∈-. ①当10q -<<时，则11
33lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭
+-=，()133,4a q ∴=+∈； ③当1q =时，11
3lim 114n n q q a a →∞⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)
()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.
【点睛】 本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)散点图见详解；(2) 6.515ˆ7.y x =+；(3) 82.5万元.
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据，绘制散点图即可；
（2）根据参考数据，结合表格数据，分别求解回归直线方程的系数即可；
（3）令（2）中所求回归直线中10x =，即可求得预测值.
【详解】
（1）根据表格中的5组数据，绘制散点图如下：
（2）由表格数据可知：
()()11245685,30405060705055
x y =
++++==++++= 511380i i i x y
==∑，5
21145i i x ==∑ 故可得
^1
221
55513805550 6.51455255i i
i i i x y x y b x
x ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ^
^50 6.5517.5a y b x =-=-⨯=
故所求回归直线方程为 6.5175ˆ.y
x =+. （3）由（2）知， 6.5175ˆ.y x =+ 令10x =，解得ˆ82.5y
=. 故广告费支出为10万元时，销售额为82.5万元.
【点睛】
本题考查散点图的绘制，线性回归直线方程的求解，以及应用回归直线方程进行预测，属综合性基础题.
18．（1）1；（2
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的定义求解；
（2）先求模长的平方，再进行开方可得.
【详解】
（1）a •b =|a ||b |cos60°=2×1×
12=1； （2）|a +b |2=（a +b ）2
=2a +2a •b +2b
=4+2×1+1
=7.
所以|a +b 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.
19．（1）见解析；（2）1122n n
a n ，1122n n
b n ． 【解析】
【分析】
(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，11
1a b ，111a b -=， 所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ，即1112n n n n a b a b ，
所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，112n n n a b ， 因为11443434448n
n n n n n n n a b a b b a a b ， 所以112n n n n a b a b ，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n
a b n ．
(2)由(1)可知，112n n n
a b ，21n n a b n ， 所以111222n n
n n n n a a b a b n ，111222n n n n n n b a b a b n ．
【点睛】 本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 20．（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据底面ABCD 为菱形得到BD AC ⊥，根据线面垂直的性质得到PA BD ⊥，再根据线面垂直的判定即可得到BD ⊥平面PAC .
（2）首先利用线面垂直的判定证明AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定证明平面PAD ⊥平面PAE 即可.
【详解】
（1）因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥.
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以PA BD ⊥.
BD AC BD PA
BD PA AC A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面PAC . （2）因为底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=
所以ABC 为等边三角形.
因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.
又因为//AD BC ，所以AE AD ⊥.
PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，
所以PA AE ⊥.
AE AD AE PA
AE PA AD A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面PAD . 因为AE ⊂平面PAE ，所以平面PAD ⊥平面PAE .
【点睛】
本题第一问考查线面垂直的判定和性质，第二问考查面面垂直的判定，属于中档题.
21．（1）a n ＝3﹣2×（12-
）n ﹣1（2）{m|1≤m 54
≤} 【解析】
【分析】
（1）由已知，根据递推公式可得21132n n n a a --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，312132n n n a a ---⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，……，
021132a a ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所有式子累加可得n a ； （2）在（1）得出n a 的基础之上解不等式可得实数m 的取值范围.
【详解】
（1）由已知，根据递推公式可得a n ﹣a n ﹣1＝3×（12-
）n ﹣2，a n ﹣1﹣a n ﹣2＝3×（12-）n ﹣3，…，a 2﹣a 1＝3×（12
-）0， 由累加法得，当n≥2时，a n ﹣a 1＝3×（12-
）0+3×（12-）1+…+3×（12
-）n ﹣2， 代入a 1＝1得，n≥2时，a n ＝111312112
n -⨯--+=--（（））（）1+2×（1﹣（12-）n ﹣1）， 又a 1＝1也满足上式，故a n ＝3﹣2×（12
-）n ﹣1. （2）由1≤ma n ≤5，得1≤ma n ＝m （3﹣2（12
-）n ﹣1）≤5. 因为3﹣2（12
-）n ﹣1＞0， 所以111511323222
n n m --≤≤----（）（）， 当n 为奇数时，3﹣2（12
-）n ﹣1∈[1，3）； 当n 为偶数时，3﹣2（12
-）n ﹣1∈（3，4]， 所以3﹣2（12
-）n ﹣1最大值为4，最小值为1. 对于任意的正整数n 都有111511323222
n n m --≤≤----（）（）成立， 所以1≤m 54
≤. 即所求实数m 的取值范围是{m|1≤m 54≤}. 【点睛】
本题主要考查数列的递推公式知识和不等式的相关知识，式子繁琐，易错，属于中档题.
22．（1）2x =-或43110x y -+=；（2
）⎡⎣.
【解析】
试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求F 点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值
试题解析：（1）当过点A 直线的斜率不存在时，其方程为2x =-，满足条件．
当切线的斜率存在时，设l ： ()12y k x -=+，即210kx y k -++=，
圆心()1,0到切线l 的距离等于半径3，
3=，解得43
k =． ∴切线方程为()4123
y x -=+，即43110x y -+= 故所求直线l 的方程为2x =-或43110x y -+=．
（2）由题意可得， F 点的轨迹是以PM 为直径的圆，记为圆C ．
则圆C 的方程为()()22212x y -++=．
从而
AC ==
所以线段
AF
长度的最大值为
，
所以线段
AF
长度的取值范围为⎡⎣．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC 中,7,3,60b c B ===︒，则a =（ ）
A ．5
B ．6
C ．43
D ．8 2．在
ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=
，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ）
A ．323+
B ．326+
C ．333+
D ．336+
3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23
4．已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( )
A ．22n +
B ．24n +
C ．21n
D ．23n - 5．已知
(1,0),(1,2),(1,)A B C c -，若//AB BC ，则c 的值是（ ）. A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“cos cos a B b A =”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7． 已知实数m ，n 满足不等式组2423
m n m n m n m +≤⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n)x ＋6mn ＝0的两根之
和的最大值和最小值分别是( )
A ．7，－4
B ．8，－8
C ．4，－7
D ．6，－6
8．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[)60,70的汽车辆数为()
A ．8
B ．80
C ．65
D ．70
9．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A 、B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若△OAB 为锐角三角形，则2ω的取值范围为（ ）
A．
2
3 0,
4
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B．
22
3
,
44
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
2
0,
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
2
,
4
π⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
10．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（）
A．
2
3
B．
1
2
C．
1
3
D．
3
4
11．不等式
1
x
x
-
≥的解集为( )
A．[]
0,1B．(]
0,1C．(][)
,01,
-∞⋃+∞D．()[)
,01,
-∞⋃+∞
12．若0
a b
<<，则下列不等式不成立的是（）
A．
11
a b
>B．2
ab b
<C．222
a b ab
+>D．22
a b
<
二、填空题：本题共4小题
13．某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：
[0,4),[4,8),[8,12),[12,16),[16,20]制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为_______．
14．在ABC
∆中，6
a=，30
B︒
=，120
C︒
=，则ABC
∆的面积是__________.
15．数列{}n a满足：
()
,21
0.5,2
n
n n
q n k
a
n k
⎧=-
⎪
=⎨
=
⎪⎩
，*
k N
∈，{}n a的前n项和记为n S，若lim1
n
n
S
→∞
≤，则实数q 的取值范围是________
16．在三棱锥P ABC
-中，AB BC
⊥，2
PA PB
==，22
PC AB BC
===，作BD PC
⊥交PC于D，则BD与平面PAB所成角的正弦值是________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）
（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：
表1：
生产能力分组
[)100,110
[)110,120
[)120130
, [)130140
, [)140150
, 人数 4
8
x
5
3
表2： 生产能力分组 [)110,120
[)120130
, [)130140
, [)140150
, 人数
6
y
36
18
①先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
图1A 类工人生产能力的频率分布直方图 图2B 类工人生产能力的频率分布直方图
18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.
x
3 4 5 6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y bx a =+；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生
产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==-=-∑∑，a y bx =-）
19．（6分）已知函数()2
()340f x ax x a =-+>．
（1）若()y f x =在区间[]0,2上的最小值为
5
2
，求a 的值；
（2）若存在实数m ，n 使得()y f x =在区间[],m n 上单调且值域为[],m n ，求a 的取值范围． 20．（6分）已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，它的前n 项和为n S . （1）若33S =，621S =-，求n a ；
（2）若11a =，0q >，且1321n n T a a a -=++⋅⋅⋅+，求
lim n
n n
S T →∞. 21．（6分）如图，已知ABC △中，2
C π
∠=
.设CBA θ∠=，BC a =，它的内接正方形DEFG 的一边EF
在斜边AB 上，D 、G 分别在AC 、BC 上.假设ABC △的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T .
（Ⅰ）用,θa 表示ABC △的面积S 和正方形DEFG 的面积T ； （Ⅱ）设()T
f S
θ=
，试求()f θ的最大值P ，并判断此时ABC △的形状. 22．（8分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.
（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？ 参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+的斜率和截距的最小
二乘估计分别为1
2
21,n
i i
i x y
nx b a y bx x y
nx
=--=
=--∑∑.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据余弦定理，可求边长a . 【详解】
2222cos b a c ac B =+-，代入数据
21
499232
a a =+-⨯⨯，化解为23400a a --=
解得8a = 或5a =-（舍） 故选D. 【点睛】
本题考查了已知两边及其一边所对角，求另一边，这种题型用余弦定理，属于基础题型. 2．C 【解析】 【分析】
根据sin 2sin C B =，得到2c b =，利用余弦定理，得到关于b 的方程，从而得到,b c 的值，得到ABC 的周长. 【详解】
在ABC 中，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
=== 因为sin 2sin C B =，所以2c b = 因为3a =，3
A π
=
，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-
即2
2
1
94222
b b b b =+-⨯⨯，解得b =
所以2c b ==
所以ABC 的周长为3+故选C. 【点睛】
本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题. 3．B 【解析】 【分析】
根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为1
3
，从而可得到正确的选项．
【详解】
∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等， ∴第一个打电话给甲的概率为13
． 故选：B ． 【点睛】
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
． 4．A 【解析】 【分析】
直接利用等差数列公式和等比中项公式2
317a a a =得到答案.
【详解】
3a 是1a 与7a 的等比中项，故2317a a a =
即2
111(2)(6)a d a a d +=+ 解得：14a =
1(1)22n a a n d n =+-=+
故选：A 【点睛】
本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型. 5．C 【解析】 【分析】
先求出,AB BC 的坐标，再利用向量平行的坐标表示求出c 的值. 【详解】
由题得=2,2),(0,2)AB BC c =-（， 因为//AB BC ， 所以2(c-2)-2×0=0， 所以c=2. 故选C 【点睛】
本题主要考查向量的坐标计算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案. 【详解】
解：充分性：在△ABC 中，由a b =，可得A B ∠=∠,所以cos cos a B b A =,故充分性成立； 必要性：在△ABC 中，由cos cos a B b A =及正弦定理，可得sin cos sin cos A B B A =， 可得in 0()s A B -=,A B ∠=∠,故a b =，必要性成立；
故可得：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“cos cos a B b A =”的充分必要条件， 故选C. 【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用. 7．A 【解析】
由题意得，方程2(32)60x m n x mn -++=的两根之和32z m n =+， 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
由324m n m n +=⎧⎨+=⎩
，可得(1,2)B ，此时max 7z =，
由2
m n m -=⎧⎨
=⎩，可得(0,2)D -，此时min 4z =-，故选A.
8．B 【解析】
【分析】
先计算时速在[)60,70的汽车频率，再乘200,。

【详解】
由图知：时速在[)60,70的汽车频率为0.0410=0.4⨯ 所以时速在[)60,70的汽车辆数为0.4200=80⨯，选B. 【点睛】
本题考查频率分布直方图，属于基础题。

9．B 【解析】 【分析】
△OAB 为锐角三角形等价于000OA OB AO AB BO BA ⎧⋅>⎪
⋅>⎨⎪⋅>⎩
, 再运算即可得解.
【详解】
解：由题意可得(
,1)2A πω, 3(,1)2B π
ω
-, 由△OAB 为锐角三角形，
则000
OA OB AO AB BO BA ⎧⋅>⎪⋅>⎨⎪⋅>⎩,即2
2222
231
4223202πω
πωπω
⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪+>⎪⎩，解得：2
2
344ππω<<
， 即2ω的取值范围为223,44ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了向量数量积的运算，属中档题. 10．A 【解析】
甲、乙、丙三人随意坐下有3A 63
=种结果， 乙坐中间则有2A
22
=，乙不坐中间有624-=种情况，
概率为
42
63
=，故选A. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 11．B 【解析】 【分析】
可将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零. 【详解】 原不等式可化为()100
x x x ⎧-≥⎨≠⎩，其解集为(]0,1，故选B.
【点睛】
一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()0
0f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩
，注意分式不等式转
化为整式不等式时分母不为零. 12．B 【解析】 【分析】
根据不等式的基本性质、重要不等式、函数的单调性即可得出结论． 【详解】
解：∵0a b <<，∴0ab >，0b a ->， ∴
110b a
a b ab --=>，即11a b
>，故A 成立； ()20ab b a b b -=->，即2ab b >，故B 不成立；
()2
2220a b ab a b +-=->，即222a b ab +>，故C 成立；
∵指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b <， ∴22a b <，故D 成立； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，作差法比较大小，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．20 【解析】
【分析】
总体人数占的概率是1，也可以理解成每个人在整体占的比重一样，所以[0,4),[4,8),[8,12)三组的频率为：
1-(0.2+0.1)=0.7，共有14人，即14人占了整体的0.7，那么整体共有
14
=200.7
人。

【详解】
前三组，即[0,4),[4,8),[8,12)三组的频率为：1-(0.2+0.1)=0.7，
239
0.7n
++=， 解得：n=20 【点睛】
此题考查概率，通过部分占总体的概率即可计算出总体的样本值，属于简单题目。

14．【解析】 【分析】
计算30A ∠=︒，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案. 【详解】
30B ︒=，120C ︒=⇒ 30A ∠=︒
过C 作CD AB ⊥于D ，则3,CD AB ==
1
32
ABC S ∆=⨯⨯=
故答案为 【点睛】
本题考查了三角形面积计算，属于简单题. 15．1(1,]2
- 【解析】 【分析】
因为数列有极限,故考虑1q <的情况.又数列{}n a 分两组,故分组求和求极限即可. 【详解】
因为lim 1n n S →∞
≤,故1q <, 且()()1234135246.........n S a a a a a a a a a a =++++=+++++++
()1222220.2511110.751310.5a a q q q q q =
+=+=+≤----,故2213
q q ≤-,又1q <,
()()223202120q q q q +-≤⇒-+≤即122
q -≤≤. 综上有112q -≤≤. 故答案为：1
(1,]2
-
【点睛】
本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型.
16 【解析】 【分析】
取AB 中点E ,AC 中点F ,易得AB ⊥面PEF ,再求出,F C 到平面PAB 的距离,进而求解:PD PC 再得出
D 到平面PAB 的距离.从而算得BD 与平面PAB 所成角的正弦值即可.
【详解】
如图,取AB 中点E ,AC 中点F ,连接,,EF PE PF .
因为2PA PB ==,AB =所以PE =
.
因为AB BC ⊥,AB BC ==所以4AC =.
在APC △中,余弦定理可得2223
cos 24
AP AC PC PAC AP AC +-∠==⋅.
在APF 中,余弦定理可得2222cos 2PF AP AF AP AF PAC =+-⋅∠=,故PF =.
在PEF 中,PE PF EF ===
且AB ⊥面PEF .
故F 到面PAB 的距离1sin 60d EF =⋅︒=
.C 到面PAB 的距离22d ==
又因为122PBC
S
=⨯=所以12PC BD BD ⨯⨯=⇒=,
所以2PD =
,所以:1:4PD PC =,故D 到面PAB 的距离34
d =
故BD 与平面PAB 所成角的正弦值是
314
d BD =
故答案为：2114
【点睛】
本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B 类②123，133.8，131.1 【解析】 【分析】
（1）先计算抽样比为
1
10
，进而可得各层抽取人数（2）①A 类、B 类工人人数之比为250:7501:3=，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出x 和y 即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：B
类工人中个体间的差异程度更小 ②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数. 【详解】
（1）由已知可得：抽样比101
10010
k ==， 故A 类工人中应抽取：1
2502510
⨯
=人， B 类工人中应抽取：1
7507510
⨯
=人， （2）①由题意知48525x +++=，得5x =，
6361875y +++=，得15y =．
满足条件的频率分布直方图如下所示：
从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．。