第5章刚体的定轴转动 (2)
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
05刚体的定轴转动习题解答.
第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。
若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ）A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化，不能确定解：答案是B 。
简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一选择题3图定减速。
4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
5. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
0 900 2 3 7.06 s 60 40
这段时间内飞轮的角位移为
1 900 2 1 40 0t t 2 7.06 7.062 53.1 2 rad 2 60 2 3 可知在这段时间里，飞轮转了 53.1 转。 2 (2) 0 900 rad s 1 ，要求飞轮转速在 t 2 s 内减少一半，可知 60
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
A
B
题 5-2 图 解： (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图)．图中 N 、 N 是正压力，Fr 、Fr 是摩擦力，Fx 和 Fy 是杆在 A 点转轴处所受支承力， P 是轮的重力， R 是轮在 O 轴处所受支承力。 杆处于静止状态，所以对 A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
大学物理教程-刚体的定轴转动
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
5.2 定轴刚体的转动
Lz 体的转动惯量 1、质量 m，长 的均质细杆。 (1) 转轴垂直杆且过杆中心（质心） m dm = dx 1
/2
IC =
− /2
x2 · dm =
/2 − /2
x2 ·
m
dx =
1 m 12
2
(2)转轴 MN 过端点 1 dx = m 2 3 0 2、均质矩形薄板：均质细杆沿轴线方向延展而成 I MN = x2 · IC = I MN 1 m 2 12 1 = m 2 3 m
O R m
另有一轴 MN ∥ z 轴，且与坐标平面 oxy 交于点 B， 两轴垂直距离设为 d |Rd | = |ri − ri | = d 则刚体绕 MN 轴的转动惯量 I MN = mi (ri − Rd ) · (ri − Rd )
= IC + md2 验证：均质细杆
6、平板刚体垂直轴定理 平板刚体在 xy 平面上 I x + Iy = = Iz 2 mi y2 i + mi xi2 =
定轴转动条件下角动量守恒性： Mz = 0时，Lz 守恒 I1 ω1 = I2 ω2 验证实验： 手臂伸开、垂下，人体的转动惯量就有变化。 相对转轴的外力矩为零，手臂缓慢垂下， 则转动加快。 I1 ω1 = I2 ω2 ⇒ ω2 > ω 1 ?
此过程中转动动能守恒吗？ 1 1 2 I2 ω2 2 − I1 ω1 2 2 1 ω1 = I2 ω2 2 1− 2 ω2 这里再进一步做定性分析：“ 因 ω2 > ω1 ，动能增大了，什么力做了正功呢？” 动能的改变量 ∆Ek = (1)转台不转动，力与位移垂直，不作功； 3
(2)转台转动，克服离心力作功； (3)分别来看躯干和手臂的运动：手臂垂下，躯干转动加快，其角动量增加。哪里来的 力矩？ 径向离心力不产生力矩；横向科氏力产生力矩，使转动加快。 五、例题讲解 例1、定滑轮 m, R，中心轴光滑，轻绳与滑轮无相对滑移，m1 > m2 ，m2 的上升加速 度 a =? 解： m1 , m2 的动力学运动方程为 T 2 − m2 g = m2 a m1 g − T 1 = m1 a 因滑轮有质量，T 1 T 1 R − T 2 R = I β, 运动量关联式： a = βR 例2、均质细杆 m, ，从水平位置静止释放，在竖直平面内绕水平固定光滑轴 O 摆 动。求 ω(θ), β(θ)，转轴的支撑力（约束力） f∥ , f⊥ 分析： f∥ , f⊥ 的作用体现在何处？质心加速度； 与 ω, β 有关联的动力学量或方程？ 解： 下摆过程中，机械能守恒，重力作功＝转动动能的增加量 1 1 I0 ω2 , I0 = m 2 (1) 2 2 3 2 dω 1 dω β= = dt 2 dθ 另外，还可利用转动定理（O 为参考点）求得角加速度 mg · sin θ = mg · 2 cos θ = I0 β a (2) = ω2 · , 2 a
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮，由转动定律，有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式，得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为：
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK
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J 2
x 2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
o
dx
dm
17 x
图(2)
记住几个典型的转动惯量：
*圆环（通过中心轴）………………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2
*细棒（端点垂直轴）…………………J A
1 3
m L2
*细棒（质心垂直轴）…………………J c
滑轮的角速度．
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a
转动定律： (T1－T2)r＝Jb 且有： a＝rb
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴
Z 转动方向
vi
Δmi
转动平面
P
o θ
x
op r
2.定轴转动的角量描述
1.角位置θ
6
2.角位移
3.角速度: d 角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成 右手螺旋法则。
P点线速度 v r
Ｐ
o θ 转动平面 op r
第五章 刚体的定轴转动
转轴
1
一、力矩
复习
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
2.方向：由右手螺旋定则确定。
Z F// F
O r F⊥ p
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
第五章 刚体的定轴转动
第五章刚体的定轴转动到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。
本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。
其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。
对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。
§5-1 刚体运动的描述一、刚体所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。
实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。
但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。
这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。
二、刚体的运动刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。
既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。
刚体的运动可分为平动和转动两种。
而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。
若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。
因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。
B当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。
如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。
如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂，但可以证明，其运动可看作是平动和转动的叠加。
转动是刚体的基本运动形式之一，作为基础，本章只讨论刚体的定轴转动。
三、 刚体定轴转动的描述刚体在作定轴转动时，刚体内的各个质点均绕给定轴作圆周运动。
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
第五章刚体定轴转动
(1
cos
)
1
JHale Waihona Puke 2232arc cos(1
3 4m2l 2
)
例 题 14
14、如图所示，滑轮转动惯量为0.5kg·m2，半径为0.3m,
物体质量为60kg，由绳与倔强系数k=2000N/m的弹簧相
连，若绳与滑轮间无相对滑动， 滑轮轴上的摩擦忽略不计，假设 开始使物体静止而弹簧无伸长。 求：物体下落h=0.4m时的速率 是多大。
v
2
mgl sin 30
0
2 2 2 r
解得： v 2.15m / s
（2）当物体沿斜面下滑到最大距离时，系统静止
kL2 mgL sin 30 2
解得： L 3.16m
Mr ]
R
T
T
a
mg
例题6
6、如图所示，轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量 为M的定滑轮；绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2)，绳与轮之间无相对滑动，滑轮轴处的摩擦不 计；设开始时系统静止，求滑轮的角加速度α及物体的
加速度a ？
M
R
m2 m1
解：受力分析如图， m1、m2利用牛顿第二定律：
m2 )r2 2
例题9
9、如图所示，质量为m，长为l的均匀细杆，可绕一端 光滑的水平轴在竖直面内转动（ J 1 ml 2），求(1)杆
从水平位置摆下角 ( < 90 o ) 时的角速3 度（分别用转动
定律和机械能守恒定律求解）？（2）细杆的长度缩小 一半时，角速度的大小如何变化？
0
解：（1）方法一：杆、地球组成的系统在下落过程机
第五章 刚体定轴转动 教学基本要求 基本概念 例题分析
刚体的定轴转动(带答案)-(2)
刚体的定轴转动一、选择题1、（本题3分）0289关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 [ C ] （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。
（B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。
（C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。
（D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
2、（本题3分）0165均匀细棒OA可绕通过某一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下降，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？（A）角速度从小到大，角加速度从大到小。
（B）角速度从小到大，角加速度从小到大。
（C）角速度从大到小，角加速度从大到小。
（D）角速度从大到小，角加速度从小到大。
3. （本题3分）5640一个物体正在绕固定的光滑轴自由转动，则 [ D ]（A）它受热或遇冷伸缩时，角速度不变.（B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小.1 / 202 / 20（C ） 它受热或遇冷伸缩时，角速度均变大. （D ） 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大. 4、（本题3分）0292一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m ，绳下端挂一物体，物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β，若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 [ C ] （A ）不变 （B ）变小 （C ）变大 （D ）无法判断 5、（本题3分）5028如图所示，A 、B 为两个相同的绕着 轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦， 则有 [ C ] （A ）βA =βB （B ）βA ＞βB（C ）βA ＜βB （D ）开始时βA =βB ，以后βA ＜βB 6、（本题3分）0294刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 [ B ] （A ）刚体不受外力矩的作用。
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Mz Jz
d dt
Lz J z
----刚体定轴转动的t
J z
J z 0
d (J z ) J z J z 0
可变化的质点系或非刚体的定轴转动
t
t0
M z dt J z J z 0 0
§5.4 定轴转动的角动量定理
三、刚体定轴转动角动量守恒 当 Mz 0
特点：各点位移、速度、加速度 均相同----可视为质点
刚体质心的运动代表了刚
体平动中每一质元的运动
§5.1 刚体的运动
转动 ：刚体的各个质点都绕同一直线 (
转动轴)作圆周运动 质心轴：通过 质心的转动轴 定轴转动：转轴 固定不动的转动
旋进(进动)：转轴
O
上一点静止，转轴 方向变化
[例3]一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板， 质量为m，试求:(1)对通过平板中心并与 长边平行的轴的转动惯量; (2)对与平板 一条长边重合的轴的转动惯量 解：垂直向上为y轴，板的质量面密度为
m ab
y
dy
(1)在板上取长为a、宽 为dy的小面元 b
dm ds ady
§5.2 转动惯量
m 2R
d
在环上取质量元dm，dm 距转轴r
R
r R cos
dm dl Rd
§5.2 转动惯量
另解 对过环心并与环垂直的 转轴的转动惯量
J r dm 2 R cos Rd m 2 y 1 3 2 R mR 2
2
2
§5.2 转动惯量
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
细棒
1 2 J mr 2
细棒
r
1 2 J ml 12
球体
1 2 J ml 3
§5.2 转动惯量
2 2 J mr 5
二、平行轴定理 以质心C为坐标原点
z
O
N
Cz：质心轴
MN//Cz
r' r d
J r ' dm m
T2
T1
m1 m1 g T1 m1a1 m2 T2 m2 g m2a2 T2 ' T1 ' mg T R T R J m2 g 1 1 1 2 2 a R a R 2 2 1 1
m1R1 m2 R2 g 解得 2 2 J m1R1 m2 R2
2
C
r 'dm r
y
M
d O '
对MN轴的转动惯量为
m
x
2 (r d ) dm
§5.2 转动惯量
J
x
§5.2 转动惯量
2 2 r dm d dm 2r ddm m m m 2 J C md 2d r dm m N z 1 1 r dm ( x i y j ) dm O ' m m O d m m r 'dm r 1 1 C xdm i ydm j y m m m m 0 M 2 J J C md ----平行轴定理
ri sin
ri
ri
§5.1 刚体的运动
Pi
O R
P
v
对刚体上的Pi点：
vi ri 转动平面 d ai ri dt v O i ( ri ) ri P 2 或 ai ri et ri en x at et an en 参考方向
A
§5.3 转动定律
解：建立如图坐标系
m1 g T1 m1a1 T f m a 2 k 2 2 N m2 g 0 f N k
T1 T
N
2
a1 a2 a R
y
T1 ' T2 '
1 2 J MR 2
T1R T2 R J
外力对转轴 z的力矩
§5.3 转动定律
----刚体的定轴转动定律
[例4]在半径分别为R1和R2 的阶梯形滑轮上反向绕有 两根轻绳，各挂质量为m1 R 2 、m2的物体。如滑轮与轴 间的摩擦不计，滑轮的转 动惯量为J。求滑轮的角加 m2 速度β及各绳中的张力T1、 T2
§5.3 转动定律
R1
m1
解：设m1向下运动
§5.1 刚体的运动
平面平行运动： 刚体内所有运动点都
平行于某一平面(参考平面)
v
§5.1 刚体的运动
刚体的一般运动=平动+转动
§5.1 刚体的运动
三、角速度矢量 方向由右手螺旋法则确定 ----角速度方向在转轴上
§5.1 刚体的运动
边缘一点 P v R 盘上任一点Pi vi ri 大小 vi ri
it i it i
§5.3 转动定律
F r f r m r
2 i i i i i
内力矩之和为零
2
Fit ri fit ri mi ri
2 i i i
d Fit ri mi ri J z J z dt i i d 即 Mz Jz dt
J z r dm
转动惯量的物理意义：Jz表示刚体转动
时惯性的大小
讨论：转动惯量Jz的大小决定于 (1)刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大， Jz就越大 (2)质量的分布：质量相同，dm分布在 r 越大的地方，则Jz 越大 (3)刚体的转轴位置：同一刚体依不同的 转轴而有不同的Jz
§5.2 转动惯量
§5.3 转动定律
§5.4 定轴转动的角动量定理
一、刚体定轴转动的角动量
取质元Pi，对O的角动量
Liz Liz ri mi vi mi ri ( ri ) 2 大小： Liz mi ri O
刚体对定轴
z
Lz Liz mi ri J z
§5-1 刚体的运动 §5-2 转动惯量 §5-3 转动定律 §5-4 定轴转动的角动量定理 §5-5 定轴转动的动能定理
§5.1 刚体的运动
一、刚体模型
刚体：在外力的作用下，大小和形状
都不变的物体 ----物体内任意两点的距离不变 二、刚体的运动 平动：刚体运动时，其内部任何一条 直线，在运动中方向始终不变
(1)当 m1R1 m2 R2 时，物体运动方向与所 设相同，反之则相反
(2)当 m1R1 m2 R2 时， 0 ，即滑轮静 止或匀速转动
(3)当 R1 R2 时，则为定滑轮的情况
§5.3 转动定律
[例5]物体A、B的质量分别为m1和m2， 用一轻绳相连，绳子跨过质量为M，半 径为R的匀质定滑轮C。如A下降，B与 水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，绳与 滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度 及绳中的张力T1和T2 B C
在棒上l 取长为dl的质量元dm
dm dl
30
§5.2 转动惯量
o
y
dl
z
y
x
J x y dm y dl m
2
2 l
l0 2 o 2
§5.2 转动惯量
1 2 (l sin 30 ) dl ml l0 2 48 l0 2 2 0 2 J y x dm (l cos 30 ) dl l0 2 m 1 2 ml 16 1 2 J z J x J y ml 12
方向沿z轴
二、定轴转动定律 对Pi： Fi f i mi ai
z
ri P i
2
转轴，其力矩为零 切向：Fit f it mi ait mi ri
Fi的法向分力作用线通过
Fi
两边同乘以ri Fit ri f it ri mi ri 对整个刚体求和
则 Lz J z =常量 ----刚体定轴转动的角动量 守恒定律
dLz Mz dt
§5.4 定轴转动的角动量定理
§5.4 定轴转动的角动量定理
[例6] 质量为M、半径为R的水平放置、 圆盘转台上，两质量均为m的电动汽车 模型可分别沿半径为R和r(R＞r)两轨道 运行。最初小车和转台都不动，令外轨 道小车作反时针转动，内轨道小车顺时 针转动，相对于转台的速率均为v。求转 台对地面的角速度 v v
2
z 的角动量
i
ri P
vi
x
2 i
i
i
J z mi ri
(1)与质点动量 p mv相比可看出，角 动量 Lz J z 与之对应
(2)动量与角动量是两个单位不同的物理 量，不可混用
讨论：
§5.4 定轴转动的角动量定理
二、刚体定轴转动的角动量定理
冲量矩
d d ( J z ) dLz Mz Jz dt dt dt
§5.3 转动定律
J m2 R2 m2 R1 R2 T1 m g 1 2 2 J m1 R1 m2 R2
2
J m1R1 m1R1R2 T2 m2 g 2 2 J m1 R1 m2 R2
2
§5.3 转动定律
讨论：
m1R1 m2 R2 g 2 2 J m1R1 m2 R2
2
2
R x
J z R dm R
2 m
§5.2 转动惯量
2
2 dm mR
m
dm Rd r R cos
根据对称性有
Jx Jy
由垂直轴定理
y
R x
J z J x J y 2J x