高考理科数学二轮复习《排列、组合与二项式定理》检测试卷及答案解析

课时跟踪检测（十五）
排列、组合与二项式定理
1．(2017·宝鸡模拟)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
2．若⎝
⎛⎭⎪⎫9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )
A ．84
B ．－252
C ．252
D ．－84
3．(2017·昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A ．24
B ．18
C ．16
D ．10
4．(2017·西安二检)将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )
A ．15
B ．21
C ．18
D ．24 5．将⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则n 为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．(2017·西安二模)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法
有( )
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
7．(2017·广州模拟)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )
A ．150种
B ．180种
C ．240种
D ．540种
8．(2017·成都模拟)(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为( )
A ．25
B ．5
C ．－15
D ．－20
9．(2018届高三·桂林中学摸底)从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆
方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1中的a 和b ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |＜11，且|y |＜9}内的椭圆个数为( )
A ．43
B ．72
C ．863
D ．90
10．(2018届高三·威海二中调研)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B ，C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A ．24种
B ．96种
C ．120种
D ．144种
11．在(2x －3y )10的展开式中，奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为
( )
A ．210
B ．29 C.1210 D.129 12．(2017·衡水二模)已知数列{a n }共有5项，其中a 1＝0，a 5＝2，且|a i ＋1－a i |＝1，i ＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a n }的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
13．(2018届高三·湖南五校联考)在(2x ＋1)(x －1)5的展开式中含x 3项的系数是________．(用数字作答)
14．(2018届高三·西安八校联考)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为________．
15．(2018届高三·广西五校联考)已知n ＝∫20x 3d x ，则⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中常数项为________．
16．(2017·中山模拟)由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．
课时跟踪检测（十五）
排列、组合与二项式定理
1．(2017·宝鸡模拟)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
解析：选C 由题意知除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C 24＝6种方法．
2．若⎝
⎛⎭⎫9x －13x n (n ∈N *)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )
A ．84
B ．－252
C ．252
D ．－84
解析：选A 由题意可得C 2n ＝36，∴n ＝9.
∴⎝
⎛⎭⎫9x －13x n ＝⎝⎛⎭⎫9x －13x 9的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 9·99－r ·⎝⎛⎭⎫－13r ·x 392-r
，
令9－3r 2
＝0，得r ＝6. ∴展开式中的常数项为C 69×93×⎝⎛⎭⎫－136＝84.
3．(2017·昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A ．24
B ．18
C ．16
D ．10
解析：选D 第一类，甲在最后一个体验，则有A 33种方法；第二类，甲不在最后一个
体验，则有A 12A 22种方法，所以小李旅游的方法共有A 33＋A 12A 22＝10种．
4．(2017·西安二检)将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )
A ．15
B ．21
C ．18
D ．24
解析：选B 分两类，第一类：两个红球分给其中一个人，有A 33种分法；第二类：白
球和黄球分给一个人，有A 13种分法；第三类：白球和一个红球分给一个人，有A 33种分法；
第四类：黄球和一个红球分给一个人，有A 33种分法．总共有A 33＋A 13＋A 33＋A 33＝21种分法．
5．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则n 为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 解析：选C 二项式的展开式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫124x r ＝C r n ⎝⎛⎭⎫12r x 324－n r ，由前三项系数成等差数列得C 0n ＋C 2n ⎝⎛⎭⎫122＝2C 1n ⎝⎛⎭⎫121，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.
6．(2017·西安二模)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同
的放球方法有C 14C 33＋C 24C 22＝10(种)．
7．(2017·广州模拟)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )
A ．150种
B ．180种
C ．240种
D ．540种
解析：选A 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C 35＋C 15×C 24·C 222！＝25种方法，再
将三组学生分到3所学校有A 33＝6种方法，共有25×6＝150种不同的保送方法．
8．(2017·成都模拟)(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为( )
A ．25
B ．5
C ．－15
D ．－20
解析：选C因为(x＋1)5的展开式的通项公式为T r＋1＝C r5x5－r，令5－r＝2，得r＝3；令5－r＝1，得r＝4，所以(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为－2C35＋C45＝－15.
9．(2018届高三·桂林中学摸底)从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2 a2＋
y2
b2＝1中的a和b，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为() A．43 B．72
C．863 D．90
解析：选B在1,2,3，…，8中任取两个数作为a和b，共有A28＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有A12A18＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.
10．(2018届高三·威海二中调研)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()
A．24种B．96种
C．120种D．144种
解析：选B先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有A12种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有A44种，最后B，C排序，有A22种，故共有A12A44A22＝96种．11．在(2x－3y)10的展开式中，奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为() A．210B．29
C.1
210 D.1
29
解析：选B令x＝1，y＝1，则各项系数的和为(2－3)10＝1，因为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝C110＋C310＋C510＋…＋C910，C010＋C110＋C210＋C310＋C410＋C510＋…＋C910＋C1010＝210，故奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝29，故奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为29.
12．(2017·衡水二模)已知数列{a n}共有5项，其中a1＝0，a5＝2，且|a i＋1－a i|＝1，i＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a n}的个数为()
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C法一：因为|a i＋1－a i|＝1，所以a i＋1－a i＝1或a i＋1－a i＝－1，即数列{a n}
从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a 1＝0，a 5＝2，所以从a 1到a 5有3次增加1，有1次减少1，故数列{a n }的个数为C 34＝4.
法二：设b i ＝a i ＋1－a i ，i ＝1,2,3,4，∵|a i ＋1－a i |＝1，∴|b i |＝1，即b i ＝1或－1.a 5＝a 5－a 4＋a 4－a 3＋a 3－a 2＋a 2－a 1＋a 1＝b 4＋b 3＋b 2＋b 1＝2，故b i (i ＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数例{a n }的个数为C 14＝4.
13．(2018届高三·湖南五校联考)在(2x ＋1)(x －1)5的展开式中含x 3项的系数是________．(用数字作答)
解析：由题易得二项式的展开式中含x 3项的系数为C 25(－1)2＋2C 35(－1)3＝－10.
答案：－10
14．(2018届高三·西安八校联考)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为________．
解析：依题意得2n
＝32，n ＝5，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5·(x )5－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r ·x 1556－r .令15－5r 6＝0，得r ＝3.由C 35·a 3＝10a 3＝80，解得a ＝2. 答案：2
15．(2018届高三·广西五校联考)已知
n ＝∫20x 3d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x n 的展开式中常数项为________．
解析：n ＝∫20x 3d x ＝14x 4| 20＝4，二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x
4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 4x 4－43r ，令4－43
r ＝0，则r ＝3，展开式中常数项为(－2)3C 34＝－8×4＝－32. 答案：－32
16．(2017·中山模拟)由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．
解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A 28；当十位数字与千位数
字为1,8或8,1时，四位数的个数是A 28A 22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数
的个数是A 28A 22.故所求的四位数的个数是A 28＋A 28A 22＋A 28A 22＝280.
答案：280。