0201随机信号分析

具有以下重要特性：
R( ) R(0)
（R( )具有上界）
R( ) R( ) （R( )是偶函数）
R(0) E 2 (t) S （ (t)的平均功率）
R() E2 (t) a（2 (t) 的直流平均功率）
R(0) R() 2 （ (t) 的交流平均功率）
平稳随机过程的“各态历经性”
只有平稳随机过程才可能具有各态 历经性，即平稳随机过程的任一实 现均经历了随机过程的所有可能状 态，因而我们可以用任一实现的统 计特性来描述平稳随机过程的统计 特性，进而通过任一实现的时间平 均特性得到平稳随机过程的统计平 均特性。
平稳随机过程的“各态历经性”
a a lim 1
随机过程的自相关函数
R(t1, t2 ) E (t1) (t2 )

x1x2 f2 (x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2

随机过程的自协方差函数
B(t1,t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )

x1 a(t1)x2 a(t2 )f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
2

exp
t2
dt
x
为互补误差函数；
误差函数与互补误差函数的性质；
误差函数与互补误差函数的性质
erf (x) 在 (, )内单调上升； erf (x) 是奇函数，即： erf (x) erf (x) 且 erf () 1 erfc(x)在 (, )内单调下降； erfc(x) 2 erfc(x) 且 erfc() 0
零Байду номын сангаас值平稳窄带高斯过程
f
(a
)

a
2
exp


a2
2 2

,
a 0
f ( ) 1 2 , 0 2
f (a , ) f (a ) f ( )

a
2
2
exp
a2
2 2

,
a 0
0 2
f (x) 关于 x a 对称，即：
f (a x) f (a x)
f (x) 在 (, a) 内单调上升，在 (a, )
内单调下降，在 x a 处有最大值
1 2 ，当 x 时，f (x) 0 ；
f (x)dx 1 ，且有：
a

f (x)dx f (x)dx 1 2
f1(x1, t1) F1(x1, t1) x1
分布函数与概率密度函数
随机过程 (t) 的n维分布函数：
F1(x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
P (t1) x1, (t2 ) x2 ,, (tn ) xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
a (t) cosct (t) , a (t) 0
c (t) cosct s (t)sin ct
窄带随机过程及其描述
其中：a (t) 和 (t) 分别是窄带随机
过程 (t)的包络函数和随机相位函
数，c (t)和 s (t) 分别称为 (t) 的同相

R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 )
平稳随机过程
狭义平稳（或严平稳）随机过程； 广义平稳（或宽平稳）随机过程； 平稳随机过程的“各态历经性”； 平稳随机过程的自相关函数； 平稳随机过程的功率谱密度；
狭义平稳随机过程
平稳随机过程的统计特性将不随时 间的推移而发生变化，即其任何n维 分布函数或概率密度函数与时间起 点无关，亦即对于任意的正整数n和
平稳随机过程的功率谱密度
平稳随机过程 (t) 的功率谱密度 P () 与其自相关函数 R ( ) 是一对傅利叶 变换关系，即：
P () R ( )
P () 是一个非负的偶函数，且 (t) 的
平均功率 S 满足：
S 1
2

P ()d
高斯过程（正态随机过程）
有关，即：
f1(x,t) f1(x)
f2 (x1, x2;t1,t1 ) f2 (x1, x2; )
广义平稳随机过程
平稳随机过程的数学期望与时间 t 无关，自相关函数仅与时间间
隔 有关，即：
E (t) a ; R(t1,t1 ) R( )
除特别声明，本课程所讨论的均 为广义平稳随机过程。
T2
x(t)dt
T T T 2
2 2 lim 1
T2
2
x(t) a dt
T T T 2
R( ) R( ) lim 1
T2
x(t)x(t )dt
T T T 2
平稳随机过程的自相关函数
平稳随机过程 (t) 的自相关函数 R( )
P
(
)

n0 2

0
,
,

0 0
W Hz
R ( ) n0 f0Sa(0 )
通信中常见噪声的特性
可见，带限白噪声只在 k 2 f0 , k 1,2,3,
上得到的随机变量才相互统计独立。
通信中常见噪声的特性
若噪声的任意 n 维分布都服从高斯 分布，则称之为高斯噪声。
任意的实数 t1, t2 ,, tn , ，平稳随机
过程 (t)的n维概率密度函数满足： fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn )
fn (x1, x2,, xn;t1 ,t2 ,,tn )
狭义平稳随机过程
平稳随机过程的一维分布与时间 t 无关，二维分布仅与时间间隔

a
高斯过程的一维概率密度函数
对不同的 a（固定 ），表现为 f (x) 的图形左右平移；对不同的 （固 定 a ），f (x) 的图形将随 的减小
变高变窄。
当 a 0, 1 时，即正态分布的标
准化：
f (x)
1
2
exp
x2 2

高斯过程的一维分布函数
（均值）随时间的变化情况；
本质上就是随机过程所有样本函数的 统计平均函数；
它由随机过程的一维概率分布决定；
表征了随机信号的直流分量；
随机过程的方差
D (t) E (t) E (t)2 2 (t)
E 2 (t) E (t)2


有时间函数与随机变量的特点。 随机过程的统计特性：
分布函数与概率密度函数； 数字特征：数学期望（均值）、方 差、自相关函数、自协方差函数；
随机过程的基本概念
在观察区间内，随机过程是时间的函数， 每次观察结果（即每次实现）均可视为一 个样本，无数次的结果亦即无数个样本构 成了随机过程的样本空间；
在任一时刻上观察到的样值是不确定的， 是一个随机变量，在观察区间内与每一时 刻相对应的随机变量的全体构成了随机过 程的样本空间；
随机过程的基本概念
随机变量与随机过程二者最大的区 别在于：随机变量的样本空间是一 个实数集合，而随机过程的样本空 间是一个时间函数的集合或是一个 随机变量的集合。
分布函数与概率密度函数
随机过程 (t) 的一维分布函数：
F1(x1, t1) P (t1) x1
随机过程 (t) 的一维概率密度函数：
高斯过程（正态随机过程）的性质； 高斯过程（正态随机过程）的一维分 布：
一维概率密度函数； 一维分布函数；
高斯过程的性质
对高斯过程 (t) 在 t1,t2 ,,tn 时刻观
察得到的一组随机变量 t1,t2,,tn ，
其n 维联合概率密度函数仅由各随 机变量的数学期望、方差和两两之 间的归一化协方差函数决定。 高斯过程宽平稳亦即严平稳。 若高斯过程中的各随机变量两两之
高斯过程的性质
间相互统计独立，则：
fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn ) f1(x1,t1) f1(x2,t2 ) f1(xn,tn )
高斯过程的一维概率密度函数
f (x)
1
2
exp

(x a)2
2 2

高斯过程的一维概率密度函数
F(x)
x
f
(z)dz

112112eerrffc
x a , x
2
x a , x

a a
2 2
其中： erf (x)
2
x
exp
t2
dt
0
为误差函数；
高斯过程的一维分布函数
erfc (x) 1 erf (x)
x2
f1 ( x,
t)dx

a(t )2
反映了随机过程在任意时刻 t 相对于 均值的偏离程度；
它由随机过程的一维概率分布决定；
随机过程的方差
表征了随机信号的交流平均功率；
随机过程的数学期望（均值）和方差 仅描述了各孤立时刻的统计特性，无 法反映不同时刻之间的联系，为此引 入了自相关函数和自协方差函数，用 来衡量随机过程在任意两个时刻上获 得的随机变量的统计相关特性；
erfc(x) 1 exp x2 , x 1
x
窄带随机过程
窄带随机过程及其描述； 零均值平稳窄带高斯过程； 通信中常见噪声的特性；
窄带随机过程及其描述
若随机过程 (t) 的频谱被限制在某 个远离零频率的中心频率附近一个 窄的频带范围内，则称之为窄带随 机过程，即：
(t) Re a (t)exp j ct (t)
随机信号分析
内容结构
引言； 随机过程的一般描述； 平稳随机过程； 高斯过程（正态随机过程）； 窄带随机过程； 余弦波加窄带高斯噪声； 随机过程通过线性系统；
引言
随机信号： 某个或某几个参量不能被预知或
不能完全被预知的信号。 随机噪声：
不能被预测的噪声。
随机过程的一般描述
随机过程的基本概念： 随时间变化的随机变量的全体；兼
高斯过程 (t) ，其同相分量 c (t) 和正交 分量 s (t) 同样是平稳高斯过程，且均 值都为 0 ，方差均为 2 ，即：
a
ac
as
0
,
2


2 c


2 s
2
另外，在同一时刻得到的c 和s 是相
互统计独立的。
零均值平稳窄带高斯过程
一个均值为 0 ，方差为 2 的平稳 窄带高斯过程 (t) ，其包络 a (t) 的 一维分布是瑞利分布，相位 (t)的 一维分布是均匀分布，且就一维分 布而言，在同一时刻得到的 a 和 是相互统计独立的，即：
通信中常见噪声的特性
白噪声：功率谱密度在整个频域内 都是均匀分布的噪声，即：
P () n0 2 W Hz

R
(
)

n0 2

(
)
可见，白噪声在任意两
个不同时刻得到的随机
变量相互统计独立。
通信中常见噪声的特性
带限白噪声：白噪声的功率谱密度 被限制在某一频段范围内，超出该 范围则为零，即：
f1(x1, x2,, xn;t1,t2,,tn ) F1(x1, x2,, xn;t1,t2,,tn ) x1x2 xn
n越大，对随机过程的描述越充分。
随机过程的数学期望（均值）
E (t)

xf1(x, t)dx a(t)
反映了随机过程各个时刻的数学期望
若高斯噪声的功率谱密度在整个频 域内都是均匀分布的，则称之为高 斯白噪声；若其功率谱密度被限制 在某一频段范围内，超出该范围即 为零，则称之为带限高斯噪声。
余弦波加窄带高斯噪声
r(t) Acos(ct ) n(t) Acosct cos Asinct sin nc (t) cosct ns (t)sin ct
分量和正交分量，且：
a (t) c 2(t) s 2(t) , (t) tan1s (t) c(t)
c (t) a (t) cos (t) , s (t) a (t)sin (t)
窄带随机过程及其描述
零均值平稳窄带高斯过程
一个均值为 0 ，方差为 2 的平稳窄带