江苏省姜堰市蒋垛中学2025届高考数学五模试卷含解析

江苏省姜堰市蒋垛中学2025届高考数学五模试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22
:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )
A ．3320x y --=
B ．3320x y -+=
C ．3340x y +-=
D ．3340x y ++=
2．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路
D ．甲走天烛峰登山线路
4．函数cos 1ln(),1,
(),1x x x f x x
e
x π⎧
->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5}
B ．{1,2,3,4}
C ．{2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
6．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）
A ．a b a b ab +>->
B ．a b ab a b +>>-
C ．a b a b ab ->+>
D ．a b ab a b ->>+ 7．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =
，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻
折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D 82
8．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=
D ．e e x x y -=+
9．已知直线l 320x y ++=与圆O ：2
2
4x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x -+=，330x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．①②④
10．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知数列{}n a 满足(
)*
331log 1log n n a a n N ++=∈,且2
469a
a a ++=,则()13573
log a a a ++的值是( )
A ．5
B ．3-
C ．4
D ．
991
12．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，
．点P 为BC 边上的动点，则()
PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ） A ．2
B ．34
-
C ．2-
D ．2512
-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：2
2
2210x y x y +---=的圆心，则
24
m n
+的最小值是______. 14．若x ，y 满足223x y x x y ≤⎧⎪
≥⎨⎪+≥⎩
，则2x y +的最小值为________.
15．已知函数()()2ln 2x
e f x a x e =-有且只有一个零点，则实数
a 的取值范围为__________.
16．已知“在ABC ∆中，
sin sin sin a b c
A B C
==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为3π、与平面BCD 所成的角为512
π，则
BCD ACD S S ∆∆=________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()|2|f x x a a =-+. （1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 18．（12分）在四棱椎P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，5PA =，43PB =，6AB =，PO AD ⊥，O ，E
分别为AD ，AB 中点.60BAD ∠=︒.
（1）求证：AC PE ⊥；
（2）求平面POE 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值.
19．（12分）已知2
()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；
（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 20．（12分）已知函数()()3
2
16f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x
=
-的导函数()
h x '在5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上存在零点. ()1求实数a 的取值范围；
()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值； ()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的右准线方程为x ＝2，且两焦点与短轴的一个
顶点构成等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）假设直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点．①若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连接OM 并延
长交椭圆C 于N ，并且，求OB 的长；②若原点O 到直线l 的距离为1，并且
，当
时，
求△OAB 的面积S 的范围．
22．（10分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32
，且椭圆C 的一个焦点与抛物线243y x =的
焦点重合.过点(1,0)E 的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，O 为坐标原点. （1）若直线l 过椭圆C 的上顶点，求MON ∆的面积；
（2）若A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，直线MA ，NB ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求()312k k k +的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，则22
1113
x y +=，
222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则22
1113
x y +=，
222213x y +=， 相减得到：()()()()1
212121203
x x x x y y y y -++
+-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 即
22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：4
3
y x =-+. 故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2、D 【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】
解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，
由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，
∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b “是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D . 【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 3、D 【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中
“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 4、A 【解析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】
当1x >时，()1ln()f x x x
=-，
由1
,y y x x =-
=在()1,+∞递增， 所以1
t x x
=-在()1,+∞递增
又ln y t =是增函数，
所以()1ln()f x x x
=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos x
f x e
π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈
所以cos t x π=在()0,1递减，而t
y e =是增函数
所以()cos x
f x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误
故选：A 【点睛】
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 5、D 【解析】
根据集合的基本运算即可求解. 【详解】 解：
{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，
则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D .
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 6、A 【解析】
根据换底公式可得ln 3
ln10
b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】
10ln 3
lg3log 3ln10
b ===
， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10
a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10
ab ⨯=
.
ln 30,ln100>>，显然a b a b +>-.
()310,ln 3ln10e e <∴<,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，
()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10
-⨯∴
<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】
本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 7、A 【解析】
将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】
由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．
将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形， 可得1BE =．又12
BC
OE =
=，故在Rt OBE 中，2OB = 此即为外接球半径，从而外接球表面积为8π． 故选：A 【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 8、C 【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】
A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；
B 中，()()
1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()x
x
y f x e e -==+，而()()2
2
02,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对
称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】
本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题. 9、D 【解析】
求出圆心O 到直线l 的距离为：1
12
d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=3时满足条件，即可得出答案.
【详解】
解：由已知可得：圆O ：2
2
4x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：1
12
d r ==， ∴120AOB ∠=︒，
而1//l l ，OAB 与OMN 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，
即O 到直线1l 的距离1d '= 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式. 10、B 【解析】
根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos 33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题. 11、B 【解析】
由331log 1log n n a a ++=，可得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，
所以2462222981919a a a a a a a ++=++==，则29
91a =
， 则
3
1357122213
3
3
log ()log (327243)log 33a a a a a a ++=++==-，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试
题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 12、D 【解析】
以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，
，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】
以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得()()1010B C -，
，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-，
可得()()120222x y x +⋅=+=-，
，，即20x y =-≠，， 则()
()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，
， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--
2
1253612a ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
当1
6
a =
时，()
PC PA PB PC ⋅++的最小值为2512-．
故选D ．
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、322+ 【解析】
求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值．
【详解】
圆C ：2
2
2210x y x y +---=的标准方程为22
(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=， ∴
241222()()332322m n m n
m n m n m n n m n m
+=++=++≥+⨯=+，当且仅当2m n n m = ，即2(21),2(22)m n =-=-时等号成立，
故答案为：322+． 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”． 14、5 【解析】
先作出可行域，再做直线1
:2
l y x =-，平移l ，找到使直线在y 轴上截距最小的点，代入即得。

【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，令2z x y =+，则1122y x z =-
+，作出直线1
:2
l y x =-，平移直线l ，由图可得，当直线经过C 点时，直线在y 轴上的截距最小，由2
3x x y =⎧⎨
+=⎩
，可得(2,1)C ，因此2x y +的最小值为2214+⨯=.
故答案为：4 【点睛】
本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。

15、(){},0e -∞
【解析】 当
1
2x ≠
时，转化条件得()2ln 2x e
e a x =有唯一实数根，令()()
2ln 2x e
e g x x =，通过求导得到()g x 的单调性后数形结合即可得解. 【详解】 当12x =
时，()10e f x e -≠=，故1
2
x =不是函数的零点； 当1
2x ≠
时，()0f x =即()
2ln 2x
e
e a x =， 令()()
2ln 2x
e
e g x x =
，110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()()2
222
22
121ln 2ln 2ln 2ln 2x
x
x
e e e
e x e x e e
x e x g x x x ⎛⎫--⋅ ⎪
⎝⎭'⋅⋅==⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
， ∴当110,,222e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '<；当,2e x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，
∴()g x 的单调减区间为110,,,222e ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，增区间为,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
又 2ln e e
e e
g e e
⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，可作出()g x 的草图，如图：
则要使()a g x =有唯一实数根，则(){},0a e ∈-∞.
故答案为：()
{},0e -∞.
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题. 16、
326
2
- 【解析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角． 【详解】
5sin sin 312
BCD
ACD S S ππ∆∆=，故3
sin
326325262
sin 12
4
BCD ACD S S π
π∆∆-=
==+，
【点睛】
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】
试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于 |1|3a a -+≥，解之得2a ≥.
试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为
.
（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当1
2
x =
时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.
考点：不等式选讲. 18、（1）证明见解析；（2）891
91
. 【解析】
（1）证明PO AC ⊥，AC OE ⊥得到AC ⊥平面POE ，得到证明.
（2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，平面POE 的一个法向量为(3,1,0)m =-，平面PBD 的一个法向量为(43,4,33)n =-，计算夹角得到答案. 【详解】
（1）因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD ∆是等边三角形，
又因为O 是AD 的中点，所以BO AD ⊥，又因为6AB =，3AO =，所以33BO =， 又4PO =，43PB =
，222BO PO PB +=，所以PO OB ⊥，
又PO AD ⊥，AD OB O ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥， 又因为ABCD 是菱形，//OE BD ，所以AC OE ⊥，又PO OE O =，
所以AC ⊥平面POE ，所以AC PE ⊥.
（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(0,0,4)P ，(0,33,0)B ，(0,0,0)O ，333,022E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(3,0,0)D -， 设平面POE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则：11140
33
3022m OP z m OE x ⎧⋅==⎪
⎨⋅==⎪⎩
， 据此可得平面POE 的一个法向量为(3,1,0)m =-，
设平面PBD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则：22223330
340
n BD x n PD x z ⎧⋅=--=⎪⎨
⋅=--=⎪⎩，
据此可得平面PBD 的一个法向量为(43,n =-，
16cos ,|||291
m n m n m n ⋅-〈〉=
==
平面POE 与平面PBD . 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19、（1）单调减区间为3(2,)2-+-，单调增区间为3()2
-+∞；
（2）详见解析；（3）(,2)-∞. 【解析】
试题分析：（1）对函数()f x 求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()f x 的单调区间.（2）构造函数
()()()h x f x g x =-，利用导数求得函数()h x 在()1,-+∞上递减，且()10h -=，则()0h x <，故原不等式成立.（3）
同（2）构造函数()()()h x f x g x =-，对k 分成2,2,2k k k =三类，讨论函数()h x 的单调性、极值和最值，由此求得k 的取值范围. 试题解析： （1）()()2
'212
f x x x =
-++ (
)2231
(2)2
x x x x -++=
>-+，
当()'0f x <时，2310++>x x .
解得x >
当()'0f x >时，解得322
x --<<
．
所以()f x 单调减区间为32,
2⎛-- ⎝⎭
，
单调增区间为⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
． （2）设()()()h x f x g x =-
()()()2
2ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，
当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，
()0h x <恒成立． ()()223122
'x x x h x -++=
-+
()()
2312
x x x -++=
+，
∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又()10h -=，
∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为()()223'12
x x k x h x -++=
-+
()22622
2
x k x k x ++++=-
+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，()()()2
2ln 2121x x x +-+<+， 不存在满足条件的0x ；
当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时()()211x k x +<+．
∴()()()()2
2ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令()()()2
2622t x x k x k =--+-+，
可知()t x 与()'h x 符号相同，
当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，
()h x 单调递减．
∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(),2-∞．
点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值. 20、()1[]
10,28；()24；()312. 【解析】
()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5
,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求出实数a 的取值范围；
()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，
得出正实数b 的最大值；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率
()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为
()a g x x
'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为
()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+
-≥ ⎪⎝⎭，则()22
1121
022x G x x x x -=
-=>'， 所以()G x 在5
,7
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】
()1由题意可知，()2
ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x a
h x x x x
--'=--=
， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，解得[]
10,28a ∈；
()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，
①当()412160a ∆=--+≤，即47
103
a ≤≤
时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当
47
163
a <<时，令()232160f x x x a =--+='，
解得：x =
=
当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()2
32160f x x x a =--+='，
解得：1103x =
<，2103
x +=>
且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，
若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()3
2
160b b a b ---≤，
整理得216b b a -≤-，
因为存在[]
16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，
因为()()2
3216f x x x a =---'，所以切线斜率()2
113216k x x a =---，
即切线方程()()()2
3
2
111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦
整理得：()2
3
2
111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦
由题意可知，3211212x x -+=-，即32
112120x x --=，
即()()
2
11122360x x x -++=，解得12x =
所以切线方程为()2412y a x =--，
设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()a
g x x
'=
，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22
ln a
y x a x a x =
+-. 所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，消去a ，整理得2211ln 022x x +
-=， 且因为[]()22410,28a
a a x =-∈，解得257
x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+
-≥ ⎪⎝⎭，则()22
1121
022x G x x x x -=-=>'， 所以()G x 在5
,7
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，
因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题. 21、（1）；（2）①
；②
.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质可得到a 2，b 2；
（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB ，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l 的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域． 【详解】
（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到
，
解得
，所以
所以，椭圆的方程为
（2）①设，而，则，
∵，∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，
所以
②由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且
，
所以
的面积
，
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．
【点睛】
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
22、（1）4
5
（2）()
312
1
k k k
+=-
【解析】
（1）根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得c ，结合椭圆离心率求得a ，进而求得b ，从而求得椭圆C 的标准方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线l 的方程.联立直线l 的方程和椭圆方程，求得,M N 两点的纵坐标，由此求得MON ∆的面积.
（2）求得,A B 两点的坐标，设出直线MN 的方程，联立直线MN 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得23k k ⋅的值，根据M 在椭圆上求得13k k ⋅的值，由此求得()312k k k +的值.
【详解】
（1
）因为抛物线2y =
的焦点坐标为
)，所以椭圆C 的右焦点
的坐标为)
，所以c =
因为椭圆C
的离心率为
2
，所以2c a =，解得2a =， 所以2221b a c =-=，
故椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. 其上顶点为(0,1)，所以直线l ：10x y +-=，联立221044x y x y +-=⎧⎨+=⎩
， 消去x 整理得25230y y --=，解得11y =，235y =-
， 所以MON ∆的面积13411255
MON MOE NOE S S S ∆∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. （2）由题知，(2,0)A -，(2,0)B ，设()11,M x y ，()22,N x y .
由题还可知，直线MN 的斜率不为0，故可设MN ：1x my =+. 由22114
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()224230m y my ++-=， 所以1221222,43,4m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩
所以()()()121223212121232214
y y y y k k x x m y y m y y ⋅===----++， 又因为点M 在椭圆上，所以211321144
y k k x ⋅==--， 所以()31231144k k k +=-
-=-. 【点睛】
本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形的面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.。