高等数学教案Word版(同济)第二章

习题课
I 教学目的与要求：
1.掌握好导数的定义，会用导数的定义解决函数的可导性;
2.熟练掌握复合函数的求导，熟练掌握隐函数的求导方法;
3.熟练掌握参数方程的求导方法.
II 典型方法与例题:
1.用导数的定义求极限
例1 设 )(x f 在a x =的某个邻域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是（）
（A ）)]()1
([lim a f h
a f h h -++∞→
（B ）h
h a f h a f h )()2(lim 0+-+→ （C ）h
h a f h a f h 2)()(lim 0--+→ （D ） h h a f a f h )()(lim 0--→ 分析 （D ）
2. 用导数定义解函数在某点处的导数
例2 设)()()(bx a bx a x f --+=ϕϕ，其中的)(x ϕ在a x =处可导，求)0(f ' 解 知0)()()0(=-=a a f ϕϕ
因为只说明的)(x ϕ在a x =处可导，没说明的)(x ϕ在0=x 处是否可导，解)0(f '时必须用导数的定义
)(2)()()()(lim )()(lim )]()([)]()([lim 0
)()(lim 0)0()(lim
)0(00000a b a b a b b bx
a bx a
b bx
a bx a x
a bx a a bx a x bx a bx a x f x f f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'='+'=⋅---+⋅-+=----+=---+=--='→→→→→ 3. 用导数定义解函数方程
设)(x f 在),0(+∞的上有定义，且)0()1(≠='a f ，又),0(,+∞∈∀y x ，有)()()(y f x f xy f +=，解)(x f
解 在)()()(y f x f xy f +=让1=y ，得
)1()()(f x f x f +=
0)1(=f
x f x y f y f xy y f xy x f y f x f xy x f xy x f x f y y y y 1)1(1)1()1(lim )1(lim )()1()(lim )()(lim
)(0000⋅'=⋅-+=+=-++=-+='→→→→ 即 ))1(()(a f x
a x f ='=' C x a x f +=ln )(
让1=x ，得
C a f +=1ln )1(
因此 x a x f ln )(=
复合函数的导数
复合函数求导的关键是分析复合函数的复合关系，从处层到里层一层一层地求导，既不重复，又不遗漏
例4 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,0,0,1sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性
解 知 )0(01sin lim 0f x
x x ==→ 函数x
x 1sin
在0≠x 的处连续的 又有
x
x x x x f x f f x x x 1sin lim 01sin lim 0
)0()(lim )0(000→→→=-=--=' 而 x
x 1sin lim 0→不存在 函数)(x f 在0=x 处不可导
函数)(x f 在0=x 处连续，不可导
例5 求函数⎪⎩⎪⎨⎧==;
sin ,cos 33θθa y a x 的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx
y d 解 函数的一阶导数θtan -=dx
dy 函数的二阶导数θθcsc sec 31422a dx
y d = III 课外作业：
P124 5 9（1） 11 12 15。