最优乘车问题数学建模

问题二：本市出租车收费制度在98年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50％、特殊时段(23：00～6：00) 每公里增收30％。

制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。

可现在，这种乘客越来越少见了。

请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。

解答：
1、基本假设
①假设1998年以前顾客无论乘车距离多远都不会考虑换乘；
②假设收费制度改革后，乘车距离小于或等于3公里，乘客也不会考虑换乘； ③假设乘车距离不足1公里的不按1公里计算。

④假设不考虑在正常时段和特殊时段之间的临界换车情况
⑤假设计价器准确无误并且不考虑中途停留的情况。

⑥假设在特殊时段乘车时乘客不会考虑换乘
2、符号说明 x 表示乘车的距离 （m ）
y 表示乘车所需费用 （元）
[]x 表示x 的整数 （m ）
3、问题分析
本题针对换乘后相对制度改革前是否会节省车费的问题，讨论了不同乘车方式下的费用。

题目给出了不同乘车区间的单价，所以要想知道换乘是否节约费用，只有根据乘车的距离计算出具体费用然后再加以比较才能得出结论。

经分析可知，当行驶的距离在10公里之类时换乘是不划算的，所以本文对于问题的解答，建立了简单的方程模型，只对乘车区间超过10公里的不同乘车方式下的费用进行了计算，通过比较，最终问题得以解决。

4、模型的建立与求解
4.1 模型建立
4.1.1 制度改变前
⎩
⎨⎧>+≤=54.58.154.14x x x y （1）
4.1.2 制度改变后但不在特殊时段乘车
⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<+≤=106310342310x x x x x y （2）
4.1.3 制度改变后在特殊时段乘车
⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<+≤=10159.31032.26.2310x x x x x y （3）
4.2
模型求解
上图给出了不同乘车方式距离与费用的线形图（程序代码见附录一），可以看出：收费制度改革后，行驶的距离越远，所收的费用相对制度改革前越多。

下面针对行驶距离超过10公里进行比较：
4.2.1 行驶距离2010<=<x 时收费情况（不考虑在特殊区段乘车）
（1） 制度改革前
4.148.11+=x y （4）
（2） 制度改革后换乘最低收费情况（先乘10公里然后再换乘）
8*22+=x y （5）
（3） 费用之差
4.6*2.012-=-=∇x y y y （6）
由于2010<=<x 故0<∇y ，所以换乘比较省钱，且最多可省4.4。

4.2.2 行驶距离20>x 时收费情况（不考虑在特殊区段乘车）
（1） 制度改革前
4.148.11+=x y （7）
（2） 制度改革后换乘最低收费情况（每次达到10公里后换乘）
4*10*2*242+-+=）（n x n y （]10
[x n =） （8） （3） 费用之差
4.10*42.0-+=∇n x y （9）
由（9）式可以知道当3>n 时0>∇y ，所以行驶的距离越远，相对于制度改革前换乘并不划算，反而会浪费时间。

结果分析：从上面的计算可以知道，如果乘车距离较短，选择合适的换乘方式可能会节省一点费用，但节省的费用是相当少的，如果乘车距离较远，选择换乘不但不会节省费用还很有可能花费更多的钱，而且浪费了时间。

综上，所以换乘的现象越来越少了。

根据合理的分析，建议各位乘客，在时间就是金钱的当今社会，交通也越来越堵塞的社会情况下还是不要选择换乘，以免得不偿失。

5、附录一：
x=0:1:50;
y1=zeros(size(x));
y2=zeros(size(x));
N=length(x);
for k=1:N
if x(k)<=5;
y1(k)=14.4;
elseif x(k)>=5;
y2(k)=1.8*x(k)+5.4;
end
end
y=y1+y2;
plot(x,y,'-b')
hold on;
x=0:1:50;
y1=zeros(size(x));
y2=zeros(size(x));
y3=zeros(size(x));
N=length(x);
for k=1:N
if x(k)<=3;
y1(k)=10;
elseif x(k)>3&x(k)<=10;
y2(k)=2*x(k)+4;
else x(k)>10 ;
y3(k)=3*x(k)-6;
end
end
y=y1+y2+y3;
plot(x,y,'-r')
hold on;
x=0:1:50;
y1=zeros(size(x));
y2=zeros(size(x));
y3=zeros(size(x));
N=length(x);
for k=1:N
if x(k)<=3;
y1(k)=10;
elseif x(k)>3&x(k)<=10;
y2(k)=2.6*x(k)+2.2;
else x(k)>10 ;
y3(k)=3.9*x(k)-15;
end
end
y=y1+y2+y3;
>> plot(x,y,'-k')。