空间几何量的计算.板块六.证明与计算(角度).学生版

【例1】 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90BCD ∠=，
PA PB =，PC PD =．
⑴证明：CD 与平面PAD 不垂直； ⑵证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；
⑶如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60，求二面角P CD A --的大小．
G
F
E
D
C
B A P
【例2】 （2008山东） 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；
⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
，求二面角
E A
F C --的余弦值．
P
F
E
D
C
B
A
典例分析
板块六.证明与计算（角度）
【例3】 如图，正ABC ∆的边长为3，过其中心G 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、
1C ，将11AB C ∆沿11B C 折起到111A B C ∆的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰
是线段BC 的中点M ．求：
⑴二面角111A B C M --的大小；
⑵异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值的大小．
【例4】 （2009福建）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，
NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 为BC 的中点．
⑴求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；
⑵在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．
E
N
M
D
C B
A
【例5】 （2009浙江文）
如图，DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． ⑴ 证明：PQ ∥平面ACD ；
⑵ 求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
Q
P
E
D
C
B
A
【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AC
BD H =，
且H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==
，DB =．
H
E D
C
B
A P
⑴证明：PA ∥平面BDE ； ⑵证明：AC ⊥平面PBD ；
⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．
【例7】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． ⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；
⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．
P
G
F
E D
C
B
A
【例8】 （2009朝阳一模）
如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是AB 的中点．
⑴求证：CD AB '⊥；
⑵求二面角A AB C ''--的大小；
⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．
D
C '
B '
A '
C
B
A
【例9】 （2007东城期末理）如图，在长方体ABCD —1111A B C D 中，棱3AD DC ==，
14DD =，过点
D 作1D C 的垂线交1CC 于点
E ，交1D C 于点
F ． ⑴求证：1
AC BE ⊥； ⑵求二面角E BD C --的大小； ⑶求BE 与平面11A D C 所成角的正弦值．
D 1
C 1B 1
A 1
F E
D
C
B
A
【例10】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AC BD H =，
且H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==
，DB =．
H
E D
C
B
A P
⑴证明：PA ∥平面BDE ；
⑵证明：AC ⊥平面PBD ；
⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．
【例11】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．
⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；
⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．
P
G
F
E D
C
B
A
【例12】 （2006江苏-19）在正ABC ∆中， E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，
满足:AE EB ::CF FA CP ==1:2PB =，将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使
二面角1A EF B --成直二面角，连结11A B A P 、 ⑴求证：1A E ⊥平面BEP
⑵求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小 ⑶求二面角1B A P F --的余弦值大小．
F
E
C
P
A 1B
P
F E
D C
B
A
【例13】 （07湖南理18）如图1，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是
EF 上的一点，将GAB ∆，GCD ∆分别沿AB CD ，
翻折成1G AB ∆，2G CD ∆，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图2．
A B
C
D
E F G
图1A
E B
C
F
D G 1G 2图2
⑴ 证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；
⑵ 当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角；
【例14】 （2007东城期末理）如图，在长方体ABCD —1111A B C D 中，棱3AD DC ==，
14DD =，过点
D 作1D C 的垂线交1CC 于点
E ，交1D C 于点
F ． ⑴求证：1
AC BE ⊥； ⑵求二面角E BD C --的大小； ⑶求BE 与平面11A D C 所成角的正弦值．
D 1
C 1B 1
A 1
F E
D
C
B
A
【例15】 （2009朝阳一模）
如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是AB 的中点．
⑴求证：CD AB '⊥；
⑵求二面角A AB C ''--的大小；
⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．
D
C '
B '
A '
C
B
A
【例16】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是2AB =
，BC =的矩形，侧面PAB 是等边
三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．
⑴证明：BC ⊥侧面PAB ；
⑵证明：侧面PAD ⊥侧面PAB ；
⑶求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小．
D
C
B
A
P
【例17】 （05-湖南-17）如图，已知ABCD 是上，下底边长分别为2和6
腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角．
⑴证明：AC ⊥1BO ；⑵求二面角1O AC O --的正弦值．
O 1
O
D
C
B
A
A
B
C
D
O
O 1
【例18】 （08浙江卷18）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，
90BCF CEF ∠=∠=︒
，AD =2EF =．
⑴ 求证：AE ∥平面DCF ；
⑵ 当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60︒？
E
H
D
F
C
B A
【例19】 球O 的截面BCD 到球心的距离等于球的半径的一半，BC 是截面圆的直径，D
是圆周上的一点，CA 是球的直径．
⑴求证：平面ABD ⊥平面ADC
⑵如果:2BD DC ，求二面角B AC D --的大小．
【例20】 如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的底边长为2，高为4，过AB 作一截面交侧
棱1CC 于P ，截面与底面成60角，求截面PAB ∆的面积．
P
B
C 1
B 1
A 1
C
A
【例21】 （06 重庆-理-19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为
直角，AB ∥CD ，2AD CD AB ==，E 、F 分别为PC 、CD 中点．
⑴试证：CD ⊥平面BEF ；
⑵高PA k AB =⋅，且二面角E BD C --的平面角大于30，求k 的取值范围．
F
E
A
C
B
D
P
【例22】 如图，已知边长为a 的正ABC ∆，以它的高AD 为折痕，把它折成一个二面角
B AD
C '--．
⑴求AB '和面B CD '所成的角；
⑵若二面角B AD C '--的平面角为120，求出二面角A B C D '--的余弦值．
M
A
B
C D
B '
【例23】 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，
90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC
，1A A =
AB 2AC =，111A C =，1
2
BD DC =．
⑴证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵求二面角1A CC B --的大小．
D
C 1
B 1
A 1
B
A
【例24】 已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//90，°AB DC ABC BCD ∠=∠=，
2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ．
⑴求证：PA BD ⊥
⑵求二面角P BD C --的正切值．
P
D
C
B
A
【例25】 （2009北京）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，
60ABC ∠=︒，90BCA ∠=︒．点，D E 分别在棱PB ，PC 上，且∥DE BC ．
⑴求证：BC ⊥平面PAC ；
⑵当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；
⑶是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．
【例26】 （2009天津）
如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，∥∥AD BC FE ，AB AD ⊥，M
为EC 的中点，1
2
AF AB BC FE AD ====．
⑴求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⑵证明平面AMD ⊥平面CDE ； ⑶求二面角A CD E --的余弦值．
M
F
E
D
C
B
A
【例27】 （东城一模）
如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，2PC AC ==，AB BC =，D 是PB
【例28
【例29】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，
PD =60PAB ∠=．
⑴ 证明AD ⊥平面PAB ；
⑵ 求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； ⑶ 求二面角P BD A --的大小．
P
D
C
B
A
【例30】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，
60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
⑴ 证明CD AE ⊥；
⑵ 证明PD ⊥平面ABE ；
⑶ 求二面角A PD C --的大小．
A
B C D
E
P
【例31】 已知平面αβ⊥平面，交线为AB ，C α∈，D β∈
，AB AC BC ===，E 为
BC 的中点，AC BD ⊥，8BD =．
⑴求证：BD α⊥平面；
⑵求证：平面AED BCD ⊥平面；
⑶求二面角B AC D --的正切值．
αβ
E
D C
B
A
【例32】 （2008山东）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面
ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，
分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；
⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
，求二面角E AF C --的余弦值．
P
F
E D
C B A
【例33】 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =
，
CD =AB AC =．
⑴证明：AD CE ⊥； ⑵设CE 与平面ABE 所成的角为45︒，求二面角C AD E --的余弦值．
E
D C B
A
【例34】 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，F 为对角线AC 与BD 的
交点，E 为PC 中点，PD a =
，PA PC =， ⑴求证：EF ∥平面PAD ； ⑵求证：PD ⊥平面ABCD ，PB ⊥AC ； ⑶求二面角P AC D --的正切值．
F
B E
A C D
P。