2020-2021四川省成都市石室中学初三数学下期中模拟试卷(带答案)

2020-2021四川省成都市石室中学初三数学下期中模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）
A．
2
3
DE
BC
=B．
2
5
DE
BC
=C．
2
3
AE
AC
=D．
2
5
AE
EC
=
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为（）
A．1B．2C．5D．25
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高3m
BC=，则坡面AB的长度是（）．
A．9m B．6m C．63m D．33m
4．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函
数y=k
x
（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）
A．y=12
x
B．y=
24
x
C．y=
32
x
D．y=
40
x
5．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点
E，如果
1
2
C EAF
C CDF
=
V
V
，那么
S EAF
S EBC
V
V
的值是（）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．19 6．如图，过反比例函数
的图像上一点A 作AB ⊥轴于点B ，连接AO ，若
S △AOB =2，则的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，则下列结论成立的是（ ）
A ．△PA
B ∽△PCA B ．△AB
C ∽△DBA C ．△PAB ∽△PDA
D ．△ABC ∽△DCA
8．如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为
A ．423
B ．2
C ．823
D ．2
9．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5
α=
，5AB =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．163
C ．203
D ．165
10．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．当3x =时，EC EM <
B ．当9y =时，E
C EM <
C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大
D ．当x 增大时，B
E D
F ⋅的值不变
11．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y=3x
；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ） A ．①③ B ．③④
C ．②④
D ．②③ 二、填空题
13．如图，P （m ，m ）是反比例函数9y x
=
在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△PAB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为_____．
14．△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．
15．如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．
16．如图，Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，直线EF BD P ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交
AD 于点F ，若13AEG EBCG S S V 四边形，=则CF AD
= ．
17．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m ，1.5 m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m ，1.5 m ，则路灯的高为____m.
18．将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB="AC=8" cm,将△MED 绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2.
19．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是
_____．
20．若a
b
＝
3
4
，则
a b
b
＝__________.
三、解答题
21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．
(1)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形
△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
(2)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．
23．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
24．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=°，AB=．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，
∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
25．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【详解】
∵AD：DB=2：3，∴AD
AB
=
2
5
．
∵DE ∥BC ，∴DE BC =AD AB =25
，A 错误，B 正确； AE AC =AD AB =25
，C 错误； AE EC =AD DB =23
，D 错误． 故选B ．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正切的定义得到BC=
12AC ，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，tan ∠B=2， ∴AC BC
=2， ∴BC=12
AC ， 由勾股定理得，AB 2=AC 2+BC 2
）2=AC 2+（
12AC ）2， 解得，AC=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
由图可知，:BC AC =
tan BAC ∠=
， ∴30BAC ∠=︒， ∴36m 1
sin 302
BC AB =
==︒． 故选B ． 4．C
【解析】
【分析】
过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC ，AB ∥OC ，OA ∥BC ，求出∠AOM=∠BCN ，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN ，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B 点的坐标，把B 的坐标代入y=kx 求出k 即可．
【详解】
过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB 是菱形，
∴OA=BC=AB=OC,AB ∥OC,OA ∥BC ，
∴∠AOM=∠BCN ，
∵A(3,4)，
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM 和△BCN 中
AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOM ≌△BCN(AAS)，
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B 点的坐标是(8,4)，
把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，
即y=
32x
， 故答案选C.
【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.
5．D
解析：D
分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵
1
2
EAF
CDF
C
C
V
V
，
=
∴
1
2 AF
DF
=，
∴
11
123 AF
BC
==
+
，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴
2
11
39
EAF
EBC
S
S
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
V
V
，
故选D.
点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k的几何意义.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【详解】
∵∠APD=90°，而∠P AB≠∠PCA，∠PBA≠∠P AC，∴无法判定△P AB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△P AB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=P A，AC=P A，AD=P A，BD=2P A，
∴=，∴，
∴△ABC∽△DBA，故B正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法． 8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得，在Rt △ABD 中，
由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可
【详解】
∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC ，
∵AC=8，
∴，
在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=
tan 60AD ︒=3， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，
∴=3
，
∴AE=AD-DE== 故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，
在直角△ABC中，∵
3
cos
5
α=，5
AB=，∴
25
cos3
AB
AC
α
==，
∴AD=BC
20
3 ==.
故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反
比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9
x
；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直
角三角形的性质得，CF=3，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函
数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以，而；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由
于x=2xy，其值为定值．
【详解】
解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都
是直角三角形；观察反比例函数图像得x=3，y=3，则反比例解析式为y=9
x
．
A、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以，，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；
B、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以，，，所以B选项错误；
C、因为x y=2×xy=18，所以，EC•CF为定值，所以C选项错误；
D、因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得
AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可
【详解】
∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932
AE =， ∴6AE =，
∴628AC AE EC =+=+=．
故选：C ．
【点睛】
此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE
12．B
解析：B
【解析】
分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 详解：①y =﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误；
②y =
3x
，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误； ③y =2x 2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确；
④y =3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确．
故选B ． 点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】【详解】如图过点P 作PH⊥OB 于点H∵点P （mm ）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m ＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB 是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三
． 【解析】
【详解】
如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，
∵点P（m，m）是反比例函数y=9
x
在第一象限内的图象上的一个点，
∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.
∴根据锐角三角函数，得3∴OB3
∴S△POB=1
2
OB•PH
933
+
.
14．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC∽△A′B′C′相似比是
解析：12
【解析】
【分析】
根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】
解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为12．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．4或9【解析】当△ADP∽△AC B时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似
解析：4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有AP AD
AB AC
=，∴
6
128
AP
=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需
有
AP AD AC AB =，∴6812
AP =，解得AP ＝4．∴当AP 的长为4或9时，△ADP 和△ABC 相似． 16．【解析】【分析】先证△AEG ∽△ABC △AGF ∽△ACD 再利用相似三角形的对应边成比例求解【详解】解：
∵EF ∥BD ∴∠AEG=∠ABC ∠AGE=∠ACB ∴△AEG ∽△ABC 且S △AEG=S 四边形EB 解析：12
【解析】
【分析】
先证△AEG ∽△ABC ，△AGF ∽△ACD 再利用相似三角形的对应边成比例求解.
【详解】
解：∵EF ∥BD
∴∠AEG=∠ABC ，∠AGE=∠ACB ，
∴△AEG ∽△ABC ，且S △AEG=
13S 四边形EBCG ∴S △AEG ：S △ABC =1：4，
∴AG ：AC=1：2，
又EF ∥BD
∴∠AGF=∠ACD ，∠AFG=∠ADC ，
∴△AGF ∽△ACD ，且相似比为1：2，
∴S △AFG ：S △ACD =1：4，
∴S △AFG 1=3S 四边形FDCG
S △AFG 1=4
S △ADC ∵AF ：AD=GF ：CD=AG ：AC=1：2
∵∠ACD=90°
∴AF=CF=DF
∴CF ：AD=1：2．
17．3【解析】试题分析：如图∵CD∥AB∥MN∴△ABE∽△CDE△ABF∽△MNF∴即解得：AB=3m 答：路灯的高为3m 考点：中心投影
解析：3
【解析】
试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ，
∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ， ∴,CD DE FN MN AB BE FB AB
==，
即1.8 1.8 1.5 1.5
,
1.8 1.5
2.7
AB BD AB BD ==
++-
，
解得：AB=3m，
答：路灯的高为3m．
考点：中心投影．
18．【解析】【分析】分析：设BCAD交于点G过交点G作GF⊥AC与AC交于点F根据AC=8就可求出GF的长从而求解【详解】解：设BCAD交于点G过交点G作GF⊥AC与AC交于点F设FC=x则GF=FC=
解析：48-163
【解析】
【分析】
分析：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．
【详解】
解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，则
GF=FC=x，
∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，
∴AF=GFcot∠FAG=
3
3
x．
所以x+3
x=8，则x=12-43．
所以S△AGC=1
2
×8×（12-43）=48-163
19．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC可设BC=x只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积【详解】如图所示：设BC＝x则CE＝1﹣
x∵AB∥EF∴△ABC∽△FEC∴＝∴＝解得x＝∴阴影
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
-
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
20．【解析】【分析】由比例的性质即可解答此题【详解】∵∴a=b∴=故答案为【点睛】此题考查了比例的基本性质熟练掌握这个性质是解答此题的关键
解析：7 4
【解析】
【分析】
由比例的性质即可解答此题.【详解】
∵
3
4
a
b
=，
∴a=3
4 b，
∴a b
b
+
=
37
44
b b b
b b
+
=，
故答案为7 4
【点睛】
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
三、解答题
21．CE的长为（
4+）米
【解析】
【分析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】
过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH
，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×3
3
∵DH=1.5，
∴3，在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=CD CE
，
∴CE=23 1.5
3
+
=（4+3）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
22．(1)图见解析，C1(－6，4)；(2)D1(2a，2b)．
【解析】
【分析】
（1）连接OB并延长，使BB1=OB，连接OA并延长，使AA1=OA，连接OC并延长，使CC1=OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；
（2）根据A与A1坐标，B
与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对
应点D1坐标即可．
【详解】
（1）根据题意画出图形，如图所示：
则点C1的坐标为（-6，4）；
（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【点睛】
运用了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
23．(1)见解析 (2)△ABD∽△ACE
【解析】
分析：
（1）由∠BAD=∠CAE易得∠BAC=∠DAE，这样结合∠ABC=∠ADE，即可得到△ABC∽△ADE．
（2）由（1）中结论易得AB AC
AD AE
=，从而可得：
AB AD
AC AE
=，这样结合∠BAD=∠CAE
即可得到
△ABD∽△ACE了．详解；
（1）∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAC=∠DAE ，
∵∠ABC=∠ADE ，
∴△ABC ∽△ADE ．
（2）△ABD ∽△ACE ，理由如下：
由（1）可知△ABC ∽△ADE ， ∴
AB AC AD AE =， ∴AB AD AC AE
=， 又∵∠BAD=∠CAE ，
∴△ABD ∽△ACE ．
点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.
24．（1）75；2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA 可得出
△BOD ∽△COA ，利用相似三角形的性质可求出OD 的值，进而可得出AD 的值，由三角
形内角和定理可得出∠ABD=75°
=∠ADB ，由等角对等边可得出解；
（2）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，同（1）可得出Rt △AEB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度，再在Rt △CAD 中，利用勾股定理可求出DC 的长，此题得解．
【详解】
解：（1）∵BD ∥AC ，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA ，
∴△BOD ∽△COA ， ∴13
OD OB OA OC ==．
又∵，
∴OD=13
∴
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°
-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB ，
∴．
（2）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵3，
∴3
∴3
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（32+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：13
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
25．电视塔OC高为1003P的铅直高度为
)
10031
3
（米）．
【解析】
【分析】
过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出3,根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x， AB＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解.
【详解】
过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝1003（米），过点P作PB⊥OA，垂足为B．
由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝1003﹣x．
在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝1003﹣x，
∴x＝1003100
3
-
，即PB＝
1003100
3
-
米．
【点睛】
本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.。