新型ti_al金属间化合物多孔材料的弹性模量表征_苏淑兰

第17卷第6期粉末冶金材料科学与工程2012年12月V ol.17 No.6Materials Science and Engineering of Powder Metallurgy Dec. 2012新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的弹性模量表征
苏淑兰1, 2，饶秋华1，贺跃辉3
(1.中南大学土木工程学院，长沙，410075；
2. 中南林业科技大学土木工程与力学学院，长沙，410004；
3.中南大学粉末冶金研究院，长沙，410083)
摘要：基于新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的孔隙微观结构特点，采用三维八面体结构模型，首次通过能量法推导出该多孔材料的弹性模量理论计算公式，并分析孔棱横截面形状和剪力对相对弹性模量的影响规律。

结果表明，与现有模型相比，本文模型推导弹性模量理论公式过程更简单，且因考虑了孔棱横截面形状及孔棱内力(含轴力、剪力、弯矩)对相对弹性模量的影响，所得结果更为精确且偏于安全。

孔棱横截面形状和剪力对相对弹性模量的影响均随相对密度的增加而增大，当相对密度较小时两者均可忽略不计。

新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的弹性模量表征为该材料的工程实际应用提供了可靠的理论依据。

关键词：Ti-Al金属间化合物；多孔材料；八面体模型；弹性模量；能量法
中图分类号：TB383文献标识码：A 文章编号：1673-0224(2012)6-804-06
Elastic modulus charaterization of
Ti-Al intermetallic porous material
SU Shu-lan1, 2, RAO Qiu-hua1, HE Yue-hui3
(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. College of Civil Engineering and Mechanics, Central South University of Forestry & Technology,
Changsha 410004, China;
3. Powder Metallurgy Research Institute, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Based on pore microstructure features of the Ti-Al intermetallic porous material, a three-dimensional octahedral model is used to firstly deduce the calculation formula of its elastic modulus by the energy method and the effects of cross-section shape and shear force of the pore-edge on the relative elastic modulus are analyzed. Compared with current-existing models, this new model is simpler for the derivation processs of elastic modulus and more precise and safer for the calculation results of elastic modulus because of considering the effect of cross-section shape and internal force of the pore-edge (including axial force，shear force and bending moment) on the relative elastic modulus.
This effect increases as the relative density increases and can be neglected when the relative density is quite small. The elastic modulus charaterization of the new Ti-Al intermetallic porous material can provide a theoretical basis for its practical engineering application.
Key words: Ti-Al intermetallic compound; porous material; elastic modulus; octahedral model; energy method
多孔材料作为1种优异的结构和功能材料，已广泛应用于医药、化工、冶金、航空航天及结构工程等各个领域[1−4]。

本课题组研发的一类新型金属间化合物多孔材料如Ti-Al金属间化合物多孔材料[5]，兼备陶瓷和金属多孔材料的性能优势，具有更高的比强度和比模量、更好的耐高温和氧化性能，是1种更优的轻质
基金项目：国家杰出青年科学基金资助项目(50825102)；973基础研究项目(2009CB623406) 收稿日期：2012-07-21；修订日期：2012-09-20
通讯作者：饶秋华，教授，博士。

电话：*************；E-mail:**************
第17卷第6期苏淑兰，等：新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的弹性模量表征 805
高温高强结构材料。

多孔材料的力学性能(如弹性模量)表征是该材料及其结构研制与应用的重要研究内容。

多孔材料弹性模量的理论表征一般是通过建立二维或三维的多孔结构模型[6]。

二维结构模型[7−11]不能真实地反映多孔材料的孔隙结构特点, 三维结构模型[12−14]因其空间结构的复杂性而受到一定的局限性。

研究者们一直致力于建立1个能够反映多孔材料孔隙结构特点的三维结构模型，以通过理论分析来表征多孔材料的力学性能(如弹性模量)。

本文基于多孔材料孔隙结构显微特点，采用三维八面体结构模型，通过能量法推导出多孔材料弹性模量的理论公式，为多孔材料的工程实际应用提供可靠的理论依据。

1三维结构模型建立
通过对多孔材料孔隙微观结构特点的分析，将孔隙抽象为三维几何多面体，建立多孔材料三维孔隙结构模型。

现有的三维孔隙结构模型有立方结构模型[6]、六棱柱模型[11]、十四面体模型[12−13]、八面体模型[14]等，如图1所示。

立方结构模型为经典模型，具有结构均匀、各向同性，但孔隙单元无法实现密堆积、且棱柱结构受力状态不等价；六棱柱模型和十四面体模型均能实现空间密堆积，但前者结构不均匀且不能实现各向同性，后者能实现各向同性但结构不均匀；只有八面体模型能同时满足孔隙单元密堆积、孔棱全部等价、三维各向同性。

新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的孔结构形貌如图2所示，其孔隙结构可抽象为八面体结构模型，如图1(d)所示。

在该模型中, 构成孔隙单元的孔棱全部由立方体体心与立方体顶点的连线(共计8根)组成，立方体顶点之间的连线均不属于这种孔棱结构，故组成孔隙单元的所有孔棱全部等价，且所有孔棱均规则地按立方体的对角线方式连接，形成大量密堆积的体心立方式八面体孔隙单元，以实现孔隙单元的密堆积从而构成整个多孔体。

本文采用八面体结构作为新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的三维孔隙结构模型，该模型由8根连接立方体体心和顶点的孔棱组成。

设孔棱为各向同性的线弹性材料，且立方体边长为2a、孔棱横截面面积为
图1三维孔隙结构模型
Fig.1 3D pore structure model
(a)—Cubic structure; (b)—Hexagonal prism; (c)—Tetrakaidecahedral; (d)—Octahedron
粉末冶金材料科学与工程 2012年12月
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图2 Ti-Al 金属间化合物多孔材料孔结构形貌 Fig.2 Pore structure morphology of the Ti-Al based porous
intermentallic
A ，则孔棱长度L 、横截面惯性矩I 、材料相对密度ρ(即ρ*/ ρs )为：
2
*s L I cA
ρρρ==== (1)
式中：c 为回转半径，ρ*、ρs 分别为多孔材料、致密材料的密度。

2 弹性模量公式推导
由于八面体模型实现了三维各向同性，所以弹性模量的表征只需考虑其中1个方向。

设多孔体受到X 1方向的远场均匀应力σ1作用，则单元八面体受合力为4P 1(其大小4P 1=4σ1·a 2)，如图3所示。

单元八面体在σ1作用下，
由于结构和载荷的对称性，8根孔棱受力均相同，只需分析其中的任意一根孔棱如O 1A ，如图4所示。

在σ1作用下，孔棱O 1A 可看作A 端固定的悬臂梁，O 1端受到集中力P 1(其大小P 1=σ1·a 2
)和力偶矩M 0的作用，由截面O 1没有相对转动的相容性条件可知M 0 = (P 1 L cos θ)/2， 且孔棱O 1A 产生的内力分别为：
N =P 1sin θ；Q = −P 1cos θ；
M =P 1 cos θ·x − (P 1 L cos θ)/2 (2)
式中：sin 3θ=
，cos 3θ=。

图3 单元八面体受力图
Fig.3 Force diagram of the unit octahedron model (a)— Unit octahedron which is subjected to uniform stress; (b) —Unit octahedron which is subjected to resultant force
图4 孔棱O 1A 受力分析 Fig.4 Force analysis of the strut O 1A
设单元体沿X 1方向受单位荷载作用(即4P 1=1)，则单位荷载引起孔棱O 1A 的内力分别为：
sin /4N θ=；cos /4Q θ=-；
cos (/2)/4M x L θ=⋅- (3)
根据能量法，计算单元体结构位移的公式如下：
d d d N N k Q Q M M
s s s EA GA EI
⋅⋅⋅⋅∆=++∑∑∑⎰⎰⎰(4)
第17卷第6期 苏淑兰，等：新型Ti-Al 金属间化合物多孔材料的弹性模量表征 807
式中：N 、Q 、M 为实际荷载引起的轴力、剪力、弯矩；N 、Q 、M 为虚设单位荷载引起的轴力、剪力、弯矩；k 为与截面形状有关的系数，E 为弹性模量。

将(2)、(3)代入(4)，可求得孔棱O 1A 沿X 1方向产生的线位移ΔL 为：
2
2
1100
2
2
10sin cos 44cos 42L L
L s
s L s P kP dx dx E A G A P L x dx
E I θθθ∆=++⎛
⎫- ⎪⎝
⎭⎰⎰
⎰
(5)
由对称性可知，单元体沿X 1方向产生的线位移∆1=2ΔL ，即：
3
11118(1)2339s s s s k P L P L P L E A E A E I
μ+∆=++
(6)
则单元体沿X 1方向的线应变ε1为：
112a ε∆
= (7)
同时考虑(1)，可得单元体沿X 1方向的弹性模量
E *1为：
2*1
1
1E σε== (8)
3 模型验证与分析
3.1 现有模型结果对比
本文采用八面体模型，由能量法得到的相对弹性模量E *1/ E s 的理论公式为：
*2
1s E E = (9)
文献[12]采用十四面体模型，由卡氏第二定理得到的E *1/E s 理论公式为：
*2
10.07872[1 1.171875 1.218750(1)]s s E c E k c ρμρ
=
++++(10)
文献[13]采用十四面体模型，由Love 最小势能原理得到的
E *1/E s
理论公式为：
*
2
1s E E = (11) 文献[14]采用八面体模型，由简单几何关系得到的E *1/E s 理论公式为：
* 1.25
11
2
10.53E s s
E K E E ρρ=- (12)
式(12)适合于中等塑性的一般金属或合金材料，其中K E 是与多孔体材质种类和制备工艺条件有关的
材料常数。

表1列出了八面体孔棱横截面形状分别为圆形、方形、三角形和plateau 边界的几何参数(包括回转半径c 和横向剪切系数k )，
设致密材料的泊松比μs =0.33。

表1 孔棱横截面的几何常数
Table 1 Geometric parameters of the cross section of pore
edge
Strut cross sections
Radius of
gyration c
Transverse shear
factor k
Circle 0.079 58 1.1 Square 0.083 33 1.2 Equilateral triangle 0.096 23 1.2 Plateau border
0.133 80
1.2
以圆形截面的孔棱为例，图5给出了本文、文献
[12]、文献[13]、文献[14]计算得到的相对弹性模量E *1/E s 随相对密度ρ*/ ρs 的变化曲线。

可知，所有模型计算得到的E *1/E s 值均随ρ*/ ρs 的增大而增大，这是因
为相对密度增大即单位体积内固体材料增加，多孔材料抵抗弹性变形的能力也随之增大，该结论与实际情
况相符。

图5 E */E s 随ρ*/ρs 的变化曲线
Fig.5 Variation of relative elastic modulus E *1 /E s with ρ*/ρs
relative density
粉末冶金材料科学与工程 2012年12月808
与文献[12]、文献[13]相比，本文得到的E*1/E s值
在低密度范围内相差不大，但在中、高密度范围内结果偏低，其原因是由于本文采用的八面体模型相对于文献[12]和文献[13]采用的十四面体模型，孔结构更简单，孔棱数目较少，在同样外力作用下产生的位移和应变较大，故求得的E*1/E s偏小，更趋于安全。

值得注意的是，文献[12]和文献[13]都是采用十四面体模型，但两者选取的孔隙单元体不同。

文献[12]选取1个十四面体结构作为孔隙单元体，通过卡氏第二定理推导出E*1/E s的理论公式；文献[13]则选取3个相连十四面体结构中的四边形结构作为孔隙单元体，通过Love最小势能原理推导出E*1/E s的理论公式。

由于文献[12]求得单元体在外力作用方向的平均应变偏小，从而导致所得E*1/E s值偏大，明显高于文献[13]的计算结果。

本文和文献[14]均采用八面体模型来推导E*1/E s 理论公式，两者所得的E*1/E s值在K a /E s为0.02~0.03时比较接近。

不同的是，文献[14]是利用简单的几何关系求解结构位移，而本文则是采用能量法求解结构位移，且考虑了孔棱横截面形状及孔棱内力(含轴力、剪力、弯矩)的影响，因此计算结果更为合理、精确。

3.2孔棱横截面形状对E*1/E s的影响
图6给出了孔棱横截面形状分别为圆形、方形、三角形和plateau截面时计算得到的相对弹性模量E*1/E s随相对密度ρ*/ρs的变化曲线。

由计算结果可见，当相对密度较小时，孔棱横截面形状对E*1/E s的影响不大；随相对密度的增加，孔棱横截面形状对E*1/E s 的影响也随之增加。

对于同一相对密度，对称的圆形和方形截面所得的E*1/E s值几乎相同且为最小，三角形截面所得的E*1/E s值居中，plateau截面所得的E*1/E s值为最大，该结论与文献[12]所得结果一致。

3.3剪力对E*1/E s的影响
以圆形截面的孔棱为例，图7分别给出了考虑剪力、不考虑剪力时计算得到的相对弹性模量E*1/E s随相对密度ρ*/ρs的变化曲线。

可见，当相对密度较小时，因孔棱可简化为欧拉梁，剪力的影响很小且可忽略不计，故考虑剪力、不考虑剪力时计算得到的E*1/E s值几乎重合；当相对密度较大时，孔棱则视为铁木辛柯梁，必须考虑剪力的影响，且剪力对E*1/E s的影响随相对密度的增加而增大，该结论与文献[12]所得结果一致。

显然，考虑剪力影响所得的E*1/E s值明显低于忽略剪力时的E*1/E s值，更偏于安全。

图6孔棱横截面形状对E*/E s的影响
Fig.6Effects of strut cross section on E*/E s
图7剪力对E*/E s的影响
Fig.7 Calculate variation curve of relative elastie modulus
E*/E s relative density ρ*/ρs when regarding/no-regarding shear
effect
4结论
1) 基于新型Ti-Al金属间化合物多孔材料的孔隙微观结构特点，建立了三维八面体结构模型，首次通过能量法推导出了该多孔材料弹性模量的理论计算公式，为该材料的工程实际应用提供了可靠的理论依据。

2) 与现有的十四面体模型相比，本文的八面体模型孔结构简单、孔棱数目少，所得的E*1/E s值偏小，更趋于安全；与现有的简单八面体模型相比，本文的八面体模型采用能量法，且考虑了孔棱横截面形状及孔棱内力(含轴力、剪力、弯矩)的影响，所得结果更为合理、精确。

3) 当相对密度较小时，孔棱横截面形状对E*1/E s
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的影响不大；随相对密度的增加，孔棱横截面形状对E*1/E s的影响也随之增加。

对于同一相对密度，对称的圆形和方形截面所得的E*1/E s值几乎相同且为最小，三角形截面E*1/E s值居中，plateau(台阶)截面E*1/E s值为最大。

4) 当相对密度较小时，剪力对E*1/E s值的影响可以忽略不计；当相对密度较大时，必须考虑剪力的影响，剪力对E*1/E s的影响随相对密度的增加而增大，且考虑剪力的E*1/E s值明显低于忽略剪力的E*1/E s值，更偏于安全。

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(编辑高海燕)。