清北学子暑期高考辅导班习题训练及答案2——解析几何大类
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2
m2
B． b
n2
C． a
2
m 2或 b 2 n 2 D．以上均不对
） 。
13、下列各组曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是（
A．
y2 x 2 x2 1 y2 1 和 3 9 3
2
B．
x2 x2 y2 1 和 y2 1 3 3
2
C． y
y2 x2 1 1和 x2 3 3
（其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，则该椭圆的离心率的取值
范围是
。
22 、 已知椭圆 C: 是
x2 y2 1 , 若对于直线 : y 4 x m ，在椭圆 16 9
。
C 上存在不同的两点关于直线 对称 . 则 m 的取值范围
23、P 为双曲线 C : 则 Q 的轨迹方程为
A．不能确定
15、已知 A 3,
10 与抛物线 y 2 2x 上的一点 P，若点 P 到准线 L 的距离为 d，当|PA|+d 取得最小值时，P 点坐标为（ 3
） 。
A． 0,0
B．
0, 2
C． 2,2
D．
1 ,1 2
16、直线 y x
y P O x
y y 2 的值，并 线于 A（ x1 , y1 ） ，B（ x2 , y2 ） ．当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 1 y0
证明直线 AB 的斜率是非零常数. 1 28 、已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 M 2，0 ， AB 边所在直线的 方程为 3x － 4y － 4 ＝ 0. 点 1 N－1，3在 AD 所在直线上．(1)求 AD 所在直线的方程及矩形 ABCD 的外接圆 C1 的方程；(2)已知点
x2 y2 20、已知 F1、F2 是双曲线 2 2 1( a 0，b 0) 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若 a b
边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 。
2
x2 y2 b 2 2 1 a b 0） 21、椭圆 2 2 （ 和圆 x y c a b 2
21、
5 3 e 5 5
22、
7 10 7 10 m . 10 10
23、
x2 y2 1. 24、 y 8x (x 0)或 y=0(x 0). 25、 25 21 4 4
2
a2 3 y2 c 2 2 2 2 3 1. 26、 （Ⅰ）由题意，得 ，解得 a 1, c 3 ， ∴ b c a 2 ，∴所求双曲线 C 的方程为 x 2 c 3 a
。
x 1
2
y 2 25 内一点 A(1，0)，Q 点为圆 C 上任意一点，线段 AQ 的垂直平分线与线段 CQ 连线交于点 M，则点 M 的
。
x2 y 2 3 26、已知双曲线 C : 2 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 3 ，右准线方程为 x （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； a b 3
解析几何练习题 本习题供暑期用，以后会继续更新。
1、已知点 A 2,3 和点 B 3,2 ，直线 m 过点 P 1,1 且与线段 AB 相交，则直线 m 的斜率 k 的取值范围是（ ） 。
3 3 1 B． 4 k C． k 或 k 4 4 4 5 2、两不重合直线 mx y n 0 和 x my 1 0 相互平行的条件是（
31、设
，定点 F 的坐标为（
2,
0） ，
A, B 分别为椭圆
x2 y 2 1(a, b 0) 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x 4 为它的右准线 a 2 b2
P 为右准线上不同于点 （4 ， 0） 的任意一点，若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M 、N ，
2 2 2 2 2 4 3 x0 4 8 2 x0 0， ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 0 x0 4 0 ，且 16 x0 2 ，∴ 3x0
设 A、B 两点的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 ，
2 OA OB 4 x0 8 2 x0 则 x1 x2 2 ，∵ cos AOB , x1 x2 2 ，且 3x0 4 3x0 4 OA OB
（Ⅱ）设直线 大小为定值. 27、如图，过抛物线 （ y0 0 ） ，作两条直线分别交抛物 y 2 2 px( p 0) 上一定点 P（ x0 , y0 ）
l 是圆 O : x2 y 2 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 0) 处的切线， l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ，证明 AOB 的
1 OA OB x1 x2 y1 y2 x1 x2 2 2 x0 x1 2 x0 x2 ， y0
C： ( x 1)2 ( y 1)2 1 的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B， AOB 被圆分成四部
S S¥ S S||| , 则直线 AB 有
条。
分（如图） ，若这四部分图形面积满足
x y 2 0 y 19、设实数 x,y 满足 x 2 y 4 0, 则 的最大值是 x 2 y 3 0
GA GB GC 0
,
② | MA |
| MB | = | MC | ③ GM ∥ AB （1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF ² RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.
x2 y 2 1(a 0, b 0) 上任一点，F1、F2 是双曲线的焦点，从 F1 作 F1 PF2 的角平分线的垂线，垂足为 Q， a 2 b2
。
2
24、某圆与 y 轴相切，并且和圆 x 25、已知圆 C： 轨迹方程为
y 2 4 x 0 外切，则该圆圆心的轨迹方程为
A B
1 E－2，0，点 F 是圆 C1 上的动点，线段 EF 的垂直平分线交 F M 于点 P，求动点 P 的轨迹方程．
29、 设
A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )是椭圆
x y x y y2 x2 3 2 1(a b 0) 上的两点，满足 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 0 ，椭圆的离心率 e , 2 b a b a 2 x b
B．四个圆 C．两条直线
7、极坐标系中，若直线 l 与 A．
1 cos 2 sin
1 关于极点对称，则 l 的方程为（ ） 。 cos 2 sin 1 1 1 B． C． D． 2 cos sin 2 sin cos cos 2 sin
2 1
B．
2
C．
2 1
D．
2 1 2
12、椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)和双曲线
x2 m2
y2 n2
，P 为两曲线的交点，则|P F1 | 1 (m>0，n>0)有公共焦点 F1 (c,0) 、 F2 (c,0) （c>0）
|P F2 |之值为（ A． a
2
） 。
x2 3 被抛物线 y 2 2
B．
2
截得的线段的长是（
） 。 D． 2
A．
41
29
C． 4 2
5
） 。
17、M 为抛物线 y x 上的一个动点，连 OM，以 OM 为边作正方形 MNPO，动点 P 的轨迹方程为（ A． y 18、过圆
2
x
B． y
2
x
C． y
2
x
D． x
2
y
短轴长为 2，0 为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值； （3 ） 试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 30、在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A（0，－1） ，B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足① =
（Ⅱ）点 P x0 , y0 x0 y0 0 在圆 x2 y 2 2 上，圆在点 P x0 , y0 处的切线方程为 y y0
x0 x x0 ，化简得 y0
x0 x y0 y 2 .
2 y2 1 x 2 2 2 2 4 x 2 4 x0 x 8 2 x0 0， 由 及 x0 y0 2 得 3 x0 2 x x y y 2 0 0
4
2
cos 2 1 表示） 。
2
cos a b cos 2 ab cos 0 ab 0 表示（
B．两条直线 C．直线和圆
D．既非直线也非圆锥曲线 ） 。 D．两条直线和两个圆
1 2 sin 2 2 0 的图形为（ 4
D． y
y2 x 2 x2 1 1和 3 3 9
14、设双曲线的左右焦点为 F1 、 F2 ，左右顶点为 M、N，若△P F1 F2 的顶点 P 在双曲线上，则△P F1 F2 的内切圆与边 F1 F2 的切点位置 是（ ） 。 B．在线段 MN 内部 C．在 F1 M 或 F2 N 线段内部 D．点 M 或点 N
B．
A．
t1 t 2 a 2 b2
t1 t 2 a 2 b2
C． | t 1 t 2 |
D．
a 2 b2 t1 t 2
10、直线 y A．0
x2 1 7 y 2 1 交点的个数是（ (x ) 与双曲线 9 3 2
B．1 C．2
） 。 D．4 ） 。
11、过双曲线一个焦点 F1 作垂直于实轴的弦 PQ，若 F2 为另一焦点，∠P F2 Q=90°，则双曲线的离心率为（ A．
2 x cos
8、设θ 、t 为参数，则曲线 A．只有一个交点 9、设直线
y 3 sin
2
和
x 2 cos t （ y 2 sin t
） 。
B．无公共点
C．有两个公共点
D．有无数个公共点 ） 。
x x 0 at ( t为参数) 上两点 A、B 对应的参数分别为 t 1 、 t 2 ，则|AB| =（ y y 0 bt
（Ⅰ） 、 求椭圆的方程； （Ⅱ） 、 设 证明：点
B 在以 MN
为直径的圆内。
x2 9
32、已知 A,B 两点是椭圆
+
y2 4
= 1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大.
1-17 ABDCCBCABBACDDCCC 18、1 19、
3 2
20、 3 1
R, 0 的位置关系为（
） 。
A． l1 l 2 ， l1 l 3 B． l1 // l 2 ， l1 // l 3 C． l1 // l 2 ， l1 l 3 D． l1 l 2 ， l1 // l 3 4、极坐标方程 A．圆 5、极坐标方程 A．圆锥曲线 6、极坐标方程 A．四条直线
A． k A．
D． ） 。
3 k4 4
m 1 n 1
B．
m 1 m 1 或 n 1 n 1
C．
m 1 n 1
D．
m 1 n 1
l1 3、三直线 l 2 cos l sin 3
m2
B． b
n2
C． a
2
m 2或 b 2 n 2 D．以上均不对
） 。
13、下列各组曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是（
A．
y2 x 2 x2 1 y2 1 和 3 9 3
2
B．
x2 x2 y2 1 和 y2 1 3 3
2
C． y
y2 x2 1 1和 x2 3 3
（其中 c 为椭圆半焦距）有四个不同的交点，则该椭圆的离心率的取值
范围是
。
22 、 已知椭圆 C: 是
x2 y2 1 , 若对于直线 : y 4 x m ，在椭圆 16 9
。
C 上存在不同的两点关于直线 对称 . 则 m 的取值范围
23、P 为双曲线 C : 则 Q 的轨迹方程为
A．不能确定
15、已知 A 3,
10 与抛物线 y 2 2x 上的一点 P，若点 P 到准线 L 的距离为 d，当|PA|+d 取得最小值时，P 点坐标为（ 3
） 。
A． 0,0
B．
0, 2
C． 2,2
D．
1 ,1 2
16、直线 y x
y P O x
y y 2 的值，并 线于 A（ x1 , y1 ） ，B（ x2 , y2 ） ．当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 1 y0
证明直线 AB 的斜率是非零常数. 1 28 、已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 M 2，0 ， AB 边所在直线的 方程为 3x － 4y － 4 ＝ 0. 点 1 N－1，3在 AD 所在直线上．(1)求 AD 所在直线的方程及矩形 ABCD 的外接圆 C1 的方程；(2)已知点
x2 y2 20、已知 F1、F2 是双曲线 2 2 1( a 0，b 0) 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若 a b
边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 。
2
x2 y2 b 2 2 1 a b 0） 21、椭圆 2 2 （ 和圆 x y c a b 2
21、
5 3 e 5 5
22、
7 10 7 10 m . 10 10
23、
x2 y2 1. 24、 y 8x (x 0)或 y=0(x 0). 25、 25 21 4 4
2
a2 3 y2 c 2 2 2 2 3 1. 26、 （Ⅰ）由题意，得 ，解得 a 1, c 3 ， ∴ b c a 2 ，∴所求双曲线 C 的方程为 x 2 c 3 a
。
x 1
2
y 2 25 内一点 A(1，0)，Q 点为圆 C 上任意一点，线段 AQ 的垂直平分线与线段 CQ 连线交于点 M，则点 M 的
。
x2 y 2 3 26、已知双曲线 C : 2 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 3 ，右准线方程为 x （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； a b 3
解析几何练习题 本习题供暑期用，以后会继续更新。
1、已知点 A 2,3 和点 B 3,2 ，直线 m 过点 P 1,1 且与线段 AB 相交，则直线 m 的斜率 k 的取值范围是（ ） 。
3 3 1 B． 4 k C． k 或 k 4 4 4 5 2、两不重合直线 mx y n 0 和 x my 1 0 相互平行的条件是（
31、设
，定点 F 的坐标为（
2,
0） ，
A, B 分别为椭圆
x2 y 2 1(a, b 0) 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x 4 为它的右准线 a 2 b2
P 为右准线上不同于点 （4 ， 0） 的任意一点，若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M 、N ，
2 2 2 2 2 4 3 x0 4 8 2 x0 0， ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 0 x0 4 0 ，且 16 x0 2 ，∴ 3x0
设 A、B 两点的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 ，
2 OA OB 4 x0 8 2 x0 则 x1 x2 2 ，∵ cos AOB , x1 x2 2 ，且 3x0 4 3x0 4 OA OB
（Ⅱ）设直线 大小为定值. 27、如图，过抛物线 （ y0 0 ） ，作两条直线分别交抛物 y 2 2 px( p 0) 上一定点 P（ x0 , y0 ）
l 是圆 O : x2 y 2 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 0) 处的切线， l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ，证明 AOB 的
1 OA OB x1 x2 y1 y2 x1 x2 2 2 x0 x1 2 x0 x2 ， y0
C： ( x 1)2 ( y 1)2 1 的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B， AOB 被圆分成四部
S S¥ S S||| , 则直线 AB 有
条。
分（如图） ，若这四部分图形面积满足
x y 2 0 y 19、设实数 x,y 满足 x 2 y 4 0, 则 的最大值是 x 2 y 3 0
GA GB GC 0
,
② | MA |
| MB | = | MC | ③ GM ∥ AB （1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF ² RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.
x2 y 2 1(a 0, b 0) 上任一点，F1、F2 是双曲线的焦点，从 F1 作 F1 PF2 的角平分线的垂线，垂足为 Q， a 2 b2
。
2
24、某圆与 y 轴相切，并且和圆 x 25、已知圆 C： 轨迹方程为
y 2 4 x 0 外切，则该圆圆心的轨迹方程为
A B
1 E－2，0，点 F 是圆 C1 上的动点，线段 EF 的垂直平分线交 F M 于点 P，求动点 P 的轨迹方程．
29、 设
A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )是椭圆
x y x y y2 x2 3 2 1(a b 0) 上的两点，满足 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 0 ，椭圆的离心率 e , 2 b a b a 2 x b
B．四个圆 C．两条直线
7、极坐标系中，若直线 l 与 A．
1 cos 2 sin
1 关于极点对称，则 l 的方程为（ ） 。 cos 2 sin 1 1 1 B． C． D． 2 cos sin 2 sin cos cos 2 sin
2 1
B．
2
C．
2 1
D．
2 1 2
12、椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)和双曲线
x2 m2
y2 n2
，P 为两曲线的交点，则|P F1 | 1 (m>0，n>0)有公共焦点 F1 (c,0) 、 F2 (c,0) （c>0）
|P F2 |之值为（ A． a
2
） 。
x2 3 被抛物线 y 2 2
B．
2
截得的线段的长是（
） 。 D． 2
A．
41
29
C． 4 2
5
） 。
17、M 为抛物线 y x 上的一个动点，连 OM，以 OM 为边作正方形 MNPO，动点 P 的轨迹方程为（ A． y 18、过圆
2
x
B． y
2
x
C． y
2
x
D． x
2
y
短轴长为 2，0 为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值； （3 ） 试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 30、在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A（0，－1） ，B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足① =
（Ⅱ）点 P x0 , y0 x0 y0 0 在圆 x2 y 2 2 上，圆在点 P x0 , y0 处的切线方程为 y y0
x0 x x0 ，化简得 y0
x0 x y0 y 2 .
2 y2 1 x 2 2 2 2 4 x 2 4 x0 x 8 2 x0 0， 由 及 x0 y0 2 得 3 x0 2 x x y y 2 0 0
4
2
cos 2 1 表示） 。
2
cos a b cos 2 ab cos 0 ab 0 表示（
B．两条直线 C．直线和圆
D．既非直线也非圆锥曲线 ） 。 D．两条直线和两个圆
1 2 sin 2 2 0 的图形为（ 4
D． y
y2 x 2 x2 1 1和 3 3 9
14、设双曲线的左右焦点为 F1 、 F2 ，左右顶点为 M、N，若△P F1 F2 的顶点 P 在双曲线上，则△P F1 F2 的内切圆与边 F1 F2 的切点位置 是（ ） 。 B．在线段 MN 内部 C．在 F1 M 或 F2 N 线段内部 D．点 M 或点 N
B．
A．
t1 t 2 a 2 b2
t1 t 2 a 2 b2
C． | t 1 t 2 |
D．
a 2 b2 t1 t 2
10、直线 y A．0
x2 1 7 y 2 1 交点的个数是（ (x ) 与双曲线 9 3 2
B．1 C．2
） 。 D．4 ） 。
11、过双曲线一个焦点 F1 作垂直于实轴的弦 PQ，若 F2 为另一焦点，∠P F2 Q=90°，则双曲线的离心率为（ A．
2 x cos
8、设θ 、t 为参数，则曲线 A．只有一个交点 9、设直线
y 3 sin
2
和
x 2 cos t （ y 2 sin t
） 。
B．无公共点
C．有两个公共点
D．有无数个公共点 ） 。
x x 0 at ( t为参数) 上两点 A、B 对应的参数分别为 t 1 、 t 2 ，则|AB| =（ y y 0 bt
（Ⅰ） 、 求椭圆的方程； （Ⅱ） 、 设 证明：点
B 在以 MN
为直径的圆内。
x2 9
32、已知 A,B 两点是椭圆
+
y2 4
= 1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大.
1-17 ABDCCBCABBACDDCCC 18、1 19、
3 2
20、 3 1
R, 0 的位置关系为（
） 。
A． l1 l 2 ， l1 l 3 B． l1 // l 2 ， l1 // l 3 C． l1 // l 2 ， l1 l 3 D． l1 l 2 ， l1 // l 3 4、极坐标方程 A．圆 5、极坐标方程 A．圆锥曲线 6、极坐标方程 A．四条直线
A． k A．
D． ） 。
3 k4 4
m 1 n 1
B．
m 1 m 1 或 n 1 n 1
C．
m 1 n 1
D．
m 1 n 1
l1 3、三直线 l 2 cos l sin 3