2021年高三第三次月考试题(11月) 数学(理) Word版含答案

一．
1.已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（）
A．B．C．1+i D．1-i
2. 幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，1
2
)，则f(
1
4
)的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知随机变量服从正态分布，若，则
A ． B． C． D．
4. 下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“”是“”的必要不充分条件．
C．命题“使得”的否定是：“对均有”．
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
5. 已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）
A．B．
C．D．
6.如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段
交于圆内一点，若，则( )
A．B．
C．D．
7.已知函数，若,且，则的最小值是（）
（A）-16 (B)-12 (C) -10 (D) -8
8.设函数y=f(x)在(－,)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：
,取函数f(x)=2-x-e-x，若对任意的x∈(－,)，恒有f k(x)＝f(x)，则( )
A. k的最大值为2
B. k的最小值为2
C. k的最大值为1
D. k的最小值为1
二．
（一）选做题（从9—11题中任选两道题作答。

如果全做，则按前两题记分）
9.(几何证明选讲选做题)如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则
E
O
D
C
B
A
10.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则的大小为 11.（不等式选讲选做题）已知x 、y 、z ∈R, 且2x ＋3y ＋3z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为1
22
（二）必做题 12．
已
知
集
合
2{|log (1)},{|3},M x y x N x y x M N ==-==-⋂=
则__________
13.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时二面角B-AD-C 大小为__600___ 14. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为 15.已知函数，，（1）与的图象关于直线2对称； （2）有下列4个命题： ①若，则的图象关于直线对称； ②则5是的周期；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称. 其中正确的命题为___ _①②③④___ .
16.如图，将圆分成n 个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色， 要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n . （1） 18 （2）a n =
三．
17.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天. (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;
解：设表示事件“此人于3月i日到达该市”(=1,2,,13).
根据题意, ,且. 4分
(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则,
所以
5858
2
()()()()
13
P B P A A P A P A
==+=.
(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,
P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 10分
所以X的分布列为:
11分
故X的期望. 12分
18．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C垂合。

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；
（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.
（Ⅰ）以分别为轴建立空间直角坐标系
则(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)
A B C E M
的一个法向量
，。

即……………………4分
（Ⅱ）依题意设，设面的法向量
则，
令，则，面的法向量
12
12
12
2
||6
|cos,|
42
||||2
(4)
n n
n n
n n
t
⋅
<>===
+
⋅+
-
，解得
为EC的中点，，到面的距离
12分
19. 设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n 无关的常数M ，使恒成立．
（1）若是等差数列，是其前n 项和，且试探究数列与集合W 之间的关系； （2）设数列的通项公式为，且，求M 的取值范围． 解：(1)设等差数列的公差是，则
解得………1分 ∴ (3分)
∴
2211211()()102222
n n n n n n n n n S S S S S S a a d
S ++++++++-----====-< ∴，适合条件① 又，
∴当或时，取得最大值20，即，适合条件②． 综上， ………（6分）
（2）∵115(1)2(52)52n n n
n n b b n n ++-=+---=-，
∴当时，，此时，数列单调递减；………9分 当时，，即，………10分
因此，数列中的最大项是，………11分 ∴，即M 的取值范围是．………12分
20.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD 内沿直线EF 将与接通．已知AB = 60m ，BC = 60m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为．矩形区域内的排管费用为W ．高 考 资 源 网 （1）求W 关于的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角．
解：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得，
l 2
l 1
P
故有，， ，
所以W=α
αααcos 2
sin 60
3602cos 601)tan 60360(--=⨯+⨯-。

6分 （2）设，
则22
cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f ααααα
ααα
----'=
=． 令得，即，得．
列表
+ 0 -
单调递增
极大值
单调递减
所以当时有，此时有．
答：排管的最小费用为万元，相应的角． 13分
21.（1）已知定点、，动点N 满足（O 为坐标原点），，，，求点P 的轨迹
方程。

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，
直线与直线分别交于点， （ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；
（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
解（Ⅰ）连接ON ∵ ∴点N 是MF 1中点 ∴|MF 2|=2|NO |=2 ∵ ∴F 1M ⊥PN ∴|PM |=|PF 1|
∴|∣PF 1|- |PF 2∣|= ||PM |- |PF 2| |= |MF 2|=2＜|F 1F 2|
由双曲线的定义可知：点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线。

点P 的轨迹方程是 4分 （ⅰ），，令，则由题设可知，
直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以 ，（），从而有。

8分
y
x
F 2
F 1 N
M
P
O
（ⅱ）
13分 22.已知，，且直线与曲线相切．（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立； （ⅱ）求证：． 解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 ． （*） ，． （**） 由（*）、（**）两式，解得，． 1分 由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立． 2分 设，2ln 22)1(ln 22)(--=⋅+-='x x x
x x x x h ，
，当时，，则是增函数， ，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是． 4分 （2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为． 要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值． ，解得．因此，的最大值为． 8分
（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，， 即． 令，得， 化简得，
∑
∑==-<--+=+n
i n i i i
i i n 1
21
1
44)]12ln()12[ln()12ln(． 13分
36750 8F8E 辎F28713 7029 瀩34155 856B 蕫)25587 63F3 揳26927 692F 椯
33178 819A 膚w25141 6235 戵'39067 989B 颛23355 5B3B 嬻。