广东省各地高三数学 11月模拟试题分类汇编10《圆锥曲线》理

广东省各地2014届高三11月模拟数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（广东省百所高中2014届高三11月联考）设F 1、F 2分别为双曲线C ：22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为
A B C 、2
3
D 答案：A
2、（广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考）已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 答案：C
3、（广州增城市2014届高三上学期调研）与圆2
2
1x y +=及圆2
2
8120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在
(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 答案：B
4、（江门市2014届高三调研）平面直角坐标系中，抛物线x y 2
1
2=与函数x y ln =图象的交点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：D
5、（汕头四中2014届高三第二次月考）已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：
2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )
A. 3410x y +-=
B. 3410x y ++=或3490x y +-=
C. 3490x y ++=
D. 3410x y +-=或3490x y ++= 答案：D 6、（广东省实验中学2014届高三期中）
答案：C 二、填空题
1、（海珠区2014届高三上学期综合测试（二））已知双曲线2
21x y m
-=的离心率是2，则m 的
值是 答案：
13
2、（江门市2014届高三调研）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0 , 10(，则双曲线方程是
答案：19
22
=-y x
3、（汕头四中2014届高三第二次月考）已知直线与直线01=--y x 垂直，则直线的倾斜角
=α .
答案：3
4
π （或135︒
三、解答题 1、（广东省百所高中2014届高三11月联考）
已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =l ：y ＝x ＋2与以原点为
圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。

（1）求椭圆C1的方程；
（2）抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上（R ，S 与Q 不重合），且满足
，求
的取值范围。

解：(1)由直线l ：y ＝x ＋2与圆x 2＋y 2＝b 2
相切，得|0－0＋2|2＝b ，即b ＝ 2.
由e ＝33，得b 2
a 2＝1－e 2
＝23，所以a ＝3，
所以椭圆的方程是C 1：x 23＋y 2
2
＝1.(4分)
(2)由
2
p =1,p =2，故C 2的方程为y 2
=4x , 易知Q (0，0)，设R (y 214
，y 1)，S (y 22
4
，y 2)，
∴QR →＝(y 214，y 1)，RS →
＝(y 22－y 2
14，y 2－y 1)，
由QR →·RS →
＝0，得y 2
1（y 2
2－y 2
1）16
＋y 1(y 2－y 1)＝0，
∵y 1≠y 2，∴y 2＝－(y 1＋16
y 1
)，
∴y 22＝y 2
1＋256y 21
＋32≥2
y 21·
256y 21＋32＝64，当且仅当y 2
1＝256y 21
，即y 1＝±4时等号成立．
又|QS →
|＝
（y 22
4）2＋y 22＝14
（y 22＋8）2
－64， ∵y 22≥64，∴当y 2
2＝64，即y 2＝±8时，|QS →|min ＝85， 故|QS →
|的取值范围是[85，＋∞)．(14分) 2、（广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考）
已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列. (Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程；
(Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()
2
2
2
2
2x t y t t
-
+=+(0t <≤
),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.
【解析】(Ⅰ)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F > …………………1分 根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,
其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴32
2
=-=c a b ,故1C 的方程为13
42
2=+y x . ……
4分
(Ⅱ)设l :()2y k x =+,由过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切得()
()21
22
+=++t t k t k , 化简得⎥⎦
⎤
⎝⎛∈+=220,12
，t k k t (注
:本处也可由几何意义求k 与t 的关系)
…………6分 由0t <=
≤
,解得201k <≤ …………7分 联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=134
222y x x k y ,消去y 整理得()
0121616342222=-+++k x k x k ,…………………8分
直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B ,解方程可得
()22
224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭
,
所以
……………………11分
(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得) 令n k =+12,
则2
1212,141
4n
AB n n n n
=
=∈--
,
考查函数n n y 14-=的性质知
n
n y 1
4-=在区间
上是增函数,
所以n =
,n
n y 1
4-=,
从而min AB ==. ………… 14分 3、（广州市培正中学2014届高三11月月考）
已知圆2
2
:20G x y y +--=经过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点F 及上顶点
B 。

（1）求椭圆的方程；
（
2）过椭圆外一点()(),0M m m a >倾斜角为
2
3
π的直线l 交椭圆于C 、D 两点，若点()3,0N
在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围。

解：（1）
2
2:20G x y y +--=与x 轴、y 轴交点为()
和()0,2-----1’
c ∴=，
2b =，
22212a b c ∴=+
=------------------------------------------3’ ∴椭圆方程
为
：
2
2
1124
x y +=------------------------------------------------------------4’ （2
）设直线l 的方程为：)y x m =-（m >）
---------------------------------5’
)22312
y x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得：2210189
120x mx m -
+-=------------------------------6’
()22
324409120m m ∆=-->可得：2403
m <即m <<
’ 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1295
m
x x +=，21291210m x x -=----------------9’
()()()()112212123,3,33NC ND x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+
()()21212433930x x m x x m =-++++>----------------------------11’
化简得：22970m m -+>可得：7
2m >
，∴m
取值范围为72⎛ ⎝---14’
4、（广州增城市2014届高三上学期调研）
已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-.
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q
，求直线PQ 的方程.
（1）解：设M(x,y), 1分 则(),,111
MA Mb y y k k x x x ==≠±+- 3分 ∴
211
y y x x ⨯=-+- 4分 ∴2
2
12
y x +=()1x ≠± 6分（条件1分）
（2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ
是椭圆的长轴，其长为，显然不合，即直线PQ 的斜率存在， 7分 设直线PQ 的方程是y=kx+1,()()1122,,,,P x y Q x y
则1212()y y k x x -=-， 8分
联立2
212
1y x y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得()222210k x kx ++-= 9分 ∵()()()
222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈, 10分
121222
21
,22
k x x x x k k +=-
=-++ 11分 ∴
=， 12分
=，22,k k ==， 13分
所以直线PQ 的方程是y=x+1。

14分 5、（海珠区2014届高三上学期综合测试（二））
已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为,直线y =与以原点为圆
心、以椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）如图6, ,,A B D 是椭圆C 的顶点, P 是椭圆C 上除顶 点外的任意点,直线DP 交
x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m ,求证：2m k -为
定值.
解:(1)由直线y =与圆222
x y b +=相切, b ,…………1分
得1b = …………２分
由得22222
34c a b a a -==, …………３分 所以2a =, …………４分
2
214
x C y ∴+=椭圆的方程为： ………………5分
1
)2
≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①
………………6分
将①代入22
14x y +=,解得222824(,)4141
k k P k k --++ ………………8分
又直线AD 的方程为1
12
y x =+ ② ①与②联立解得424(
,)2121
k k
M k k +-- ………………10分
由222824(0,1),(,),(,0)4141k k D P N x k k --++三点共线可得42
(,0)21
k N k -- ………12分
所以MN 的分斜率为m=
214k +,则211
222
k m k k +-=-=(定值).……………14分 6、（惠州市2014届高三上学期第二次调研）
已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点E ．过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；
（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解 （1）由题意知,1=c 设右焦点)0,1('
F
323
3
2)0332(
)11(222'=+-++=+=∴EF EF a ………………2分 2,3222=-==∴c a b a
∴椭圆方程为12
32
2=+y x ………………4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A 则 1232121=+y x ① 12
32
2
22=+y x ②………………6分
②-①，可得3
2
32121212121-=++-=--=
y y x x x x y y k ………………8分
（3）由题意21k k ≠，设),(M M y x M
直线)1(1:1-=-x k y AB ，即21k x k y += 代入椭圆方程并化简得
0636)32(2
221221=-+++k x k k x k
2
1
2
2121322,323k k y k k k x M M +=+-=
∴ ………………10分
同理2
2
1
2221322,323k k y k k k x N N +=+-=
∴ ………………11分 当021≠k k 时， 直线MN 的斜率2
12
19610k k k k x x y y k N M N M --=--=
直线MN 的方程为)323(96103222
1
2
12121212k k k x k k k k k k y +----=+-
又121=+k k 化简得3296102121---=
x k k k k y 此时直线过定点（0，3
2
-）………13分
当021=k k 时，直线MN 即为y 轴，也过点（0，3
2
-） 综上，直线过定点（0，3
2
-
） ………………14分 7、（江门市2014届高三调研）
如图3，椭圆Γ的中心在坐标原点O ，过右焦点)0 , 1(F 且垂直于椭圆对称轴的弦MN 的长为3．
⑴ 求椭圆Γ的方程；
⑵ 直线 l 经过点O 交椭圆Γ于P 、Q 两点，NQ NP =，求直线 l 的方程．
解：⑴设椭圆Γ的方程为122
22=+b
y a x （0>>b a ） (1)
依题意，12
2=-=b a c ……2分，3)(22222=-=a
c a a b ……4分 解得2=a ，3=b ……6分，椭圆Γ的方程为13
42
2=+y x ……7分 ⑵（方法一）连接ON ，由椭圆的对称性OQ OP =……8分，因为NQ NP =，所以
PQ ON ⊥……9分，依题意，)23 , 1(-N ……10分，所以2
3
-=ON k ……11分，
3
2
1=-=ON l k k ……13分，所以直线 l 的方程为x y 32=……14分。

（方法二）设直线 l 的方程为kx y =……8分，解⎪⎩
⎪⎨⎧==+
kx y y x 13
42
2……9分，得
)3412 , 3412(
22++k k k P ，
)3412
, 3412(22+-+-k k k Q ……10分，依题意，)2
3
, 1(-N ……11分，由NQ NP =得
2222)341223()34121(+--++-k k k =22
2
2)3
41223()34121(++-+++k k k ……12分，解得32=k ……13分，所求直线 l 的方程为x y 32
=……14分。

8、（汕头四中2014届高三第二次月考）
在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22
221x y a b
+=的左
右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形． （1）求椭圆的离心率e ；
（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是
直线2P F 上的点，满足2-=∙BM AM ， 求点M 的轨迹方程．
解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，
由题意,可得212PF F F =,即2c =， ……………2分 整理得22()10c c a
a
++=，得1c a
=-(舍)或12c a =，所以12
e =. ……………4分
（2）由（1）知2,a c b ==,可得椭圆方程为222
3412x y c +=.
直线2PF 方程为),y x c =- ……………………………………………5分
,A B 两点的坐标满足方程组2
223412
)
x y c y x c ⎧
+=⎪⎨
-⎪⎩,消去y 并整理得2
580,x cx -=……6分
解得1280,,5x x c ==得方程组的解
110,x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩22x y ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
……………………8分
不妨设8((0,)5
A c
B ,设M 的坐标为(,)x y 则
8(,5AM x c y =-
(,)BM x y =+， …………10分
由),y x c =-
得c x y =-
.
于是8338
(,),5
5
AM y x y =-()BM
x = …………11分
由2AM BM =
-得38)(25
5
x x y -⋅+=-，
化简得2
18150x --=， ………………………………13分
将y 代入c x y =得2
10516x c x
+
=，
由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …14分。