1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )
(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S
(D) （M ∩P ）∪S
2.已知映射f ：B A →，其中，集合
{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f
在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是
( )
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
3. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a (B) 1
-a
(C) b
(D) 1
-b
4.函数
()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且
()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上
( )
(A) 是增函数
(B) 是减函数
(C) 可以取得最大值M
(D) 可以取得最小值M -
5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是
( )
(A) x sin
(B) x cos
(C) x 2sin (D) x 2cos
6.在极坐标系中，曲线⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )
(A) 直线3
π
θ=轴对称
(B) 直线πθ6
5
=
轴对称 (C) 点⎪⎭
⎫
⎝
⎛3,
2π中心对称 (D) 极点中心对称
7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
( )
(A) cm 36 (B) cm 6
(C) cm 3182
(D) cm 3123
8.若()
,32443322104
x a x a x a x a a x ++++=+则()()2
312
420a a a a a +-++的值
为
( )
(A) 1
(B) －1
(C) 0
(D) 2
9.直线0323=-+y x 截圆42
2=+y x 得的劣弧所对的圆心角为
( )
(A)
6
π (B)
4
π (C)
3
π (D)
2
π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 2
3
=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为
( )
(A)
2
9 (B) 5 (C) 6 (D)
2
15 11.若,22
sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπ
αααctg tg 则∈α
( )
(A) ⎪⎭
⎫
⎝⎛--
4,2ππ (B) ⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,4π (C) ⎪⎭
⎫
⎝⎛4,
0π (D) ⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =
( )
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
13.已知两点,45,4,45,
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：
①0124=-+y x ②32
2
=+y x ③122
2=+y x ④12
22=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有
( )
(A) 5种
(B) 6种
(C) 7种
(D) 8种
第II 卷（非选择题共90分）
二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
15.设椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的
弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____
16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________
18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m ⊥n
②α⊥β
③n ⊥β
④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________
三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本小题满分10分）
解不等式()1,01log 22log 3≠>-<-a a x x a a
20.（本小题满分12分）
设复数.sin 2cos 3θθ⋅+=i z 求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<<-=20arg πθθz y 的最大值以及对应的θ
值.
21.（本小题满分12分）
如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为.,45a AB =
Ⅰ.求截面EAC 的面积；
Ⅱ.求异面直线11B A 与AC 之间的距离； Ⅲ.求三棱锥EAC B -1的体积. 22.（本小题满分12分）
右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.
Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r .问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度
从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）
Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.
23.（本小题满分14分）
已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当()
,2,1,01
=+≤≤n n y n
时，该图像是斜率为n
b 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()()
,2,1==n n x f n 定义.
Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；
Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；
Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）
如图，给出定点()()00,>a a A 和直线
B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线
交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.
1999年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答
一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.
1. C
2. A
3. A
4. C
5. B
6. B
7. B
8. A
9. C
10. D 11.B
12. D
13.D
14. C
二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.
15.
2
1
16. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,
三、解答题
19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.
解：原不等式等价于
① ② ③
()⎪⎩
⎪⎨⎧>--<-≥-.
01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,3
2log ≥x a 由②得,43
log <
x a 或1log >x a ， 由③得.2
1
log >x a
由此得,4
3
log 32<≤x a 或.1log >x a
当1>a 时得所求的解是
{}a x x a x a x >⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||43
32 ； 当10<<a 时得所求的解是
{}.0||324
3
a x x a x a x <<⋃⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.
解：由2
0π
θ<
<得.0>θtg
由θθsin 2cos 3i z +=得2
arg 0π
<
<z 及
().3
2
cos 3sin 2arg θθθtg tg ==
z
故 ()z y arg -=θtg tg
θ
θθ2
3
2132
tg tg tg +-
= ,23
1θθ
tg tg +=
因为
,6223
≥+θθ
tg tg
所以
.12
623
1≤
+θθ
tg tg 当且仅当
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
<<=2023
πθθθ
tg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当2
6arctg
=θ时，函数y tg 取得最大值.126 由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
∈ππy 由于在⎪⎭⎫
⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y
也取最大值.12
6
arctg
21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.
Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形， 所以DO ⊥AC
又因为ED ⊥底面AC ， 因为EO ⊥AC
所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD
.45sec 2
2
,2,22a a EO a AC a DO =⋅===
故.2
22
a S EAC =
∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ， 又A A 1⊥,11B A
所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线.
因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，
所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=
异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，
连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1， 所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ， 所以D B 1⊥AC ， 所以D B 1⊥面EAC .
所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.2
34311a D B Q B == 所以.4
22322313
21a a a V EAC B =⋅⋅=
- 所以三棱锥EAC B -1的体积是
.4
23
a 解法二：连结O B 1，则112EOB A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，
所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .2
2a =
在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则
.4
32
1a S EOB =
∆
∴.4
22243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅
=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是
.4
23
a 22. 解决实际问题的能力.
Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为
().10n
r a -
为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
()β≤-n
r a 01
即().10a
r n
β
≤
-
由于(),0,
010>>-a
r n
β
对比上式两端取对数，得
().lg
1lg 0a
r n β
≤-
由于(),01lg 0<-r 所以()
.1lg lg lg 0r a
n --≥
β
因此，至少需要安装不小于
()
01lg lg lg r a
--β的整数对轧辊.
Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为
()⋅-⋅k
r a 11600宽度(),%20=r 其中
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
()⋅-⋅4
1r a L k 宽度.
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
()=-⋅k
r a 11600()4
1r a L k -⋅ (),%20=r
即.8.016004
-⋅=k k L
由此得(),20003mm L =
(),25002mm L = ()mm L 31251=
填表如下 轧锟序号k
1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）
3125
2500
2000
1600
解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
(),2.0116003-⋅=L
所以().20008.01600
3mm L == 同理(),25008.032mm L
L ==
().31258
.021mm L
L ==
填表如下 轧锟序号k
1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）
3125
2500
2000
1600
23.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.
Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10
=b 的线段，故由
()()10
011=--x f x f
得.11=x
又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由 ()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b
x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b ，故得
()().11
1---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ；
所以 .2,1,111 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n
由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为
.1b 因,1≠b 得
(),
111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n n
k k k n 即.111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-b b b x n n
Ⅱ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f =
当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知
()()
().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n
为求函数()x f 的定义域，须对 () ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.
当1>b 时，1
11lim lim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b b b b b x n n n n ； 当10<<b 时，n x n ,∞→也趋向于无穷大.
综上，当1>b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-1,0b b ； 当10<<b 时，()x f y =的定义域为[)+∞,0.
Ⅲ. 证法一：首先证明当1>b ，1
1-<
<b b x 时，恒有()x x f >成立. 用数学归纳法证明：
（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y
所以()()()011>--=-b x x x f 成立
（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立.
可得 (),111++>+=k k x k x f
在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111
()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.
由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立.
即 1
1-<<b b x 时,恒有()x x f >. 其次，当1<b ,仿上述证明,可知当1>x 时,恒有()x x f <成立.
故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.
证法二:首先证明当1>b ,11-<
<b b x 时,恒有()x x f >成立. 对任意的,1,1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有 ()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n
所以()().n n x x f x x f ->-
又(),1111n n n x b
b n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，
所以()()0>->-n n x x f x x f ，
即有()x x f >成立.
其次，当1<b ，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()x x f <成立.
故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.
24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.
解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=
设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得
.12b bx y y ++=
①
依题设，点C 在直线AB 上，故有 ().1a x a
b y -+-
= 由0≠-a x ，得().1a x y a b -+-
= ② 将②式代入①式得 ()()(),11122222
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y
若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；
若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式.
综上得点C 的轨迹方程为
()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122
（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③ 此时，方程③表示抛物线弧段；
（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为
()a x a a y
a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛--011112
22
22
④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；
当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.
解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x
由CE ∥BD 得
().1a x a y
EA DA
CE BD +-=⋅=
因为∠COA =∠COB
=∠COD －∠BOD
=π－∠COA －∠BOD ，
所以2∠COA =π－∠BOD
所以(),1222COA COA
COA ∠-∠=∠tg tg tg
()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π 因为,x y
COA =∠tg
().1a x a y
OD BD
BOD +-==∠tg 所以(),11222a x a y
x y x y
+--=-⋅
整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--
（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA = π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为
()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--
以下同解法一.。