(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B ．每个命题都有逆命题；
C ．每个定理都有逆定理；
D ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 2．如图，在ABC ∆中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D 在AB 上，连结CD ，将ADC ∆沿CD 折叠，点A 的对称点为
E ，CE 交AB 于点
F ，下列结论正确的个数是（ ） ①当BF =BC 时，EF =23-2；②当BF =BC 时，DEF ∆为直角三角形；③当DEF ∆为直角三角形，EF =23-2；④当DE 平行ABC ∆的边时，∠BCE =30°
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3．下列各组线段a 、b 、c 中不能组成直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝24，c ＝25
B ．a ＝4，b ＝5，c ＝6
C ．a ＝3，b ＝4，c ＝5
D ．a ＝9，b ＝12，c ＝15
4．已知，如图，BC=DC ，∠B+∠D=180°． 连接AC ，在AB ，AC ，AD 上分别取点E ，P ，F ，连接PE ，PF ． 若AE=4，AF=6，△APE 的面积为4，则△APF 的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．如图，△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，且∠BAC ＝∠DAE ＝90°，BD ，CE 交于点F ，连接AF ．则下列结论不正确的是（ ）
A ．BD ＝CE
B ．BD ⊥CE
C ．AF 平分∠CA
D D ．∠AF
E ＝45° 6．如图，在平面直角坐标系中，点A 1在x 轴的正半轴上，B 1在第一象限，且△OA 1B 1是等边三角形．在射线OB 1上取点B 2，B 3，…，分别以B 1B 2，B 2B 3，…为边作等边三角形△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…使得A 1，A 2，A 3，…在同一直线上，该直线交y 轴于点C ．若OA 1＝1，∠OA 1C ＝30°，则点B 9的横坐标是（ ）
A ．2552
B ．5112
C ．256
D ．5132
7．如图，在OAB 和△OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，
40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：
①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠． 其中一定正确的为（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④ 8．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12
AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 10．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB
∠的度数为（ ）
A ．105︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒ 11．如图，A ，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C 的个数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．如图，在ABC 中，ED //BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点F 、G ，若2FG =，6ED =，则DB EC +的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．9
二、填空题
13．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______．
14．如图，OA ，OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，MD ＝5cm ，MC ＝7cm ，CD ＝10cm ，一只小蚂蚁从点M 出发，爬到OA 边上任意一点E ，再爬到OB 边上任意一点F ，然后爬回M 点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．
15．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒，42AC BC ==，点D 在AB 上，连接CD ，若5CD =，则AD 的长为________．
16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则AE 的长是__________．
17．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,A AC AB ∠=︒=．BD 为ABC ∠的平分线，交AC 于点D ，若BCD △的面积为2，则ABD △的面积为____________．
18．如图，30,AOB OC ︒∠=为AOB ∠内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，6OP =，点,M N 分别为,OA OB 边上动点，则MNP △周长的最小值为______．
19．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若15AB =，ABD ∆的面积是30，则CD 的长为__________
20．如图，//AB CD 、BAC ∠的平分线AP 与ACD ∠的平分线CP 相交于点P ，作PE AC ⊥于点E ．若3PE =，则两平行线AB 与CD 间的距离为________ ．
三、解答题
21．在ABC ∆中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=__度；
（2）如图2，如果60BAC ∠=︒，求BCE ∠的度数是多少？
（3）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图3，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D 在直线BC 上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．
22．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，045ACB ︒<∠<︒，点C 关于直线AB 的对称点为点D ，连接BD 与CA 的延长线交于点E ，在BC 上取点F ，使得BF DE =，连接AF ．
（1）依题意补全图形．
（2）求证：AF AE =．
23．如图，ABE △是等腰三角形，AB AE =，45BAE ∠=︒，过点B 作BC AE ⊥于点C ，在BC 上截取CD CE =，连接AD 、DE 并延长AD 交BE 于点P
（1）求证：AD BE =；
（2）试说明AD 平分BAE ∠．
24．如图是由边长为1的小正方形构成的网格（下面所画三角形顶点都在小正方形顶点上）．
（1）在图1中画出以AB 为直角边的等腰直角三角形ABC ，并且直接写出线段BC 的长度；
（2）在图2中画出一个以DE 为一腰的等腰三角形DEF ，使S △DEF ＝8．
25．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．
（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：EB 平分∠ABC ．
（3）求证：AE =EF ．
26．已知：如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，D 是AB 延长线上一点，过点C 作CE CD ⊥，使CE CD =，连结,BE DE ．
=．
（1）求证：AD BE
∠的度数．
（2）求DBE
AB=，求DE．
（3）连结AE，若ADE是等腰三角形，1
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．
2．C
解析：C
【分析】
由勾股定理可求A C的长，利用折叠的性质和等腰三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确；
【详解】
解：
①∵BF =BC ，且∠ABC =60°，
∴BCF ∆
为等边三角形，BF =CF =BC =2，AC AB =4，
∵ADC ∆沿CD 折叠，
∴CE =AC
EF =CE -CF ，故①正确；
②当BF =BC 时，∠EFD =∠BFC =60°，
∴∠DEF =∠A =30°，∠EDF =90°，
∴EDF ∆为直角三角形，故②正确；
③当DEF ∆为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF =90°时，
∵∠DEF =∠A =30°，
∴∠EFD =60°=∠BFC ，EF =EC -CF
-2，
当∠EFD =90°时，∵∠ABC =60°，∠BCF =30°，
∴FC
EF =EC -FC ，综上所述，EF ，故③错误；
④当DE 平行于ABC ∆的边时，∵DE ∥BC ，∴∠EDF =∠ABC =60°，
∵∠DEC =30°，∴∠BCF =∠DEC =30°，故④正确，
故选C
【点睛】
本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA ，学会运用分类讨论是解题的关键． 3．B
解析：B
【分析】
根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的和的平方是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案；
【详解】
A 、222724=25+ ，能构成直角三角形；
B 、22245=416+≠ ，不能构成直角三角形；
C 、22234=5+ ，能构成直角三角形；
D 、222912=225=15+，能构成直角三角形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形；
4．C
解析：C
【分析】
作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，先证明()ABC HDC SAS ≅，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到
,BAC H AC CH ∠=∠=，结合等边对等角得到BAC CAD ∠=∠，再由角平分线的性质证得PG PJ =，最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】
解：如图，作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，
180,180B ADC ADC CDH ∠+∠=︒∠+∠=︒
B CDH ∴∠=∠
BC CD B CDH AB BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABC HDC SAS ∴≅
,BAC H AC CH ∴∠=∠=
CAD H ∴∠=∠
BAC CAD ∴∠=∠
PG PJ ∴= 14
2APE S AE PG =⋅= 2PG ∴=
2PJ ∴=
1162622
APF S AF PJ ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.
5．C
解析：C
【分析】
作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．证明△BAD ≌△CAE ，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】
解：如图，作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△BAD 与△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴EC ＝BD ，∠BDA ＝∠AEC ，故A 正确，
∵∠DOF ＝∠AOE ，
∴∠DFO ＝∠EAO ＝90°，
∴BD ⊥EC ，故B 正确，
∵△BAD ≌△CAE ，AM ⊥BD ，AN ⊥EC ，
∴AM ＝AN ，
∴FA 平分∠EFB ，
∴∠AFE ＝45°，故D 正确，
若C 成立，则∠EAF ＝∠BAF ，
∵∠AFE ＝∠AFB ，
∴∠AEF ＝∠ABD ＝∠ADB ，推出AB ＝AD ，由题意知，AB 不一定等于AD ，
所以AF 不一定平分∠CAD ，故C 错误，
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．B
解析：B
【分析】
利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．
【详解】
解：∵OA 1=1，∠OA 1C=30︒，
∴
∴点C 的坐标为(0，-，
∵A 1、A 2、A 3所在直线过点A 1(1，0)，C (0，3-
，
设直线A 1A 2的解析式为3y kx =-
∴0k =，
∴k =
∴直线A 1A 2的解析式为y x =
， ∵△OA 1B 1为等边三角形，
∴点B 1的坐标为(12，2
)，
∵B 1、B 2、B 3所在直线过点O(0，0)，B 1 (
12，
同理可求得直线O B 1的解析式为y =，
∵△OA 1B 1和△B 1A 2B 2为等边三角形，
∴∠B 1OA 1=∠B 2 B 1A 2=60︒，
∴B 1A 2∥OA 1，
∵B 1 (12，2
)，
∴A 2x = 解得：52
x =，
∴点A 2的坐标为(
52， ∴B 1A 2=2，
同理点B 2的坐标为(
32，
点B 3的坐标为(72，
点B4的坐标为(15
2
，
，
总结规律：
B1的横坐标为1
2
，
B2的横坐标为13
1
22 +=，
B3的横坐标为17
12
22 ++=，
B4的横坐标为115
124
22
+++=，
，
∴B9的横坐标为1511
1248163264
22
+++++++=，
故选：B
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律．
7．B
解析：B
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出
∠AMB=∠AOB=40°，即可判断②；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则
∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，即可判断④；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC 即可判断③；
【详解】
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA OB
OC OD
AOC BOD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中
OCA ODB
OGC OHD OC OD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，
∵△AOC≌△BOD
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
COM BOM
OM OM
CMO BMO
∠∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△COM≌△BOM（ASA）
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC与OA＞OC矛盾，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．
8．A
解析：A
【分析】
由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．
【详解】
解：由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC ，1CD =，4AB =， 所以，ABD △的面积为：
141=22
⨯⨯， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD 是角平分线，并根据角平分线的性质求出高． 9．B
解析：B
【分析】
由作法知EF 是AC 的垂直平分线，可得AP=CP ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，由点D 是底边BC 的中点，可BD=CD =6，由AB=AC ，可得
AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8即可．
【详解】
解：连结PA ，
由作法知EF 是AC 的垂直平分线，
∴AP=CP ，
∴PC+PD=PA+PD ，
线段PC PD +的最小就是PA+PD ，
当A 、P 、D 三点共线时最短，
∵点D 是底边BC 的中点，
∴BD=CD=11BC=12=622
⨯， ∵AB=AC ，
∴AD BC ⊥，
在Rt △ABD 中，由勾股定理得：
8=，
（PC+PD ）最小=（PA+PD ）最小=AD=8．
故选择：B ．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．
10．B
解析：B
【分析】
由△ABC为等边三角形，可求出∠BOA=90°，由△ADO是等腰三角形求出
∠ADO=∠AOD=30°，即可求出∠BOD的度数．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，BO为中线，
∴∠BOA＝90°，∠BAC＝60°
∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AD＝AO，
∴∠ADO=∠AOD=30°，
∴∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+30°＝120°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．
11．B
解析：B
【分析】
分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
12．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB＋EC＝DF＋GE＝ED−FG＝6−2＝4，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
二、填空题
13．88【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4设底边长为x则有x+4×2=20解得：x=12此时三角形的三边长为4412
解析：8，8
【分析】
从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案．【详解】
解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，
则有x+4×2=20，
解得：x=12，
此时，三角形的三边长为4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，
则有2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另两边的长分别为8，8．
故答案为：8，8．
【点睛】
本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
14．10cm【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：设CD与OA的交点为E与OB的交点为F∵OAOB分别是线段MCMD的垂直平分线∴ME＝CEMF＝DF∴小蚂蚁爬行的路径
解析：10cm
【分析】
根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
解：设CD与OA 的交点为E，与OB的交点为F，
∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，
∴ME＝CE，MF＝DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD＝10cm，
故答案为：10cm．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质-最短路径的问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握知识点．
15．1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS）推出∠DBE＝90°根据勾股定理即可解决问题【详解】解：在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝4∴AB8①如图1中当点D在线段AB上时绕点C逆时针旋转
解析：1或7
【分析】
证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠DBE＝90°，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，
∴AB
==8，
①如图1中，当点D在线段AB上时，绕点C逆时针旋转90°到CE，连接BE，DE，
则∠DCE ＝90°，
∴∠ACD ＝∠BCE ，
∵CA ＝CB ，CD ＝CE ，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE ，
∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，
∴∠A ＝∠CBA ＝45°，
∴∠CBE ＝∠A ＝45°，
∴∠ABE ＝90°，
∵CD ＝5，
∴DE ＝52，
∵BE 2+BD 2＝DE 2， ∴AD 2+（8﹣AD ）2＝（52）2，
解得：AD ＝1或7；
②如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，
∵5CD =，42AC BC ==
∴CD ＜BC
图2这种情况不符合条件
③如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时
，
∵5CD =，42AC BC ==
∴CD＜BC
图3这种情况不符合条件
综上所述，AD的长为1或7；
故答案为：1或7．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．25【分析】首先连接BE根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE然后设AE ＝x由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x）2继而求得答案【详解】解：连接BE∵AB的垂直平分线分别交ABAC于点DE∴
解析：25
【分析】
首先连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，然后设AE＝x，由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x）2，继而求得答案．
【详解】
解：连接BE，
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，EC＝AC−AE＝32−x，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，
∴x2＝242＋（32−x）2，
解得：x＝25，
故答案为：25，
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
17．【分析】由等腰直角三角形的性质得到然后利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】解：作DE⊥BC垂足为E如图：∵为的平分线∴∵∴△ABC是等腰直角三角形∴∵的面积为2∴∴∴∴的面积为：；故答案为：【点2
【分析】
由等腰直角三角形的性质，得到2
BC AB，然后利用三角形的面积公式，即可求出答
案．
【详解】
解：作DE ⊥BC ，垂足为E ，如图：
∵BD 为ABC ∠的平分线，
∴AD DE =，
∵90,A AC AB ∠=︒=，
∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴2BC AB ，
∵BCD △的面积为2，
∴
122BC DE •=， ∴
1222DE •=， ∴122
AB DE •= ∴ABD △的面积为：
122AB DE •= 2
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和等腰直角三角形的性质，正确得到2BC AB ． 18．6【分析】作点P 关于OA 的对称点P1点P 关于OB 的对称点P2连结P1P2与OA 的交点即为点M 与OB 的交点即为点N 则此时MN 符合题意求出线段P1P2的长即可【详解】解：作点P 关于OA 的对称点P1点P 关
解析：6
【分析】
作点P 关于OA 的对称点P 1，点P 关于OB 的对称点P 2，连结P 1P 2，与OA 的交点即为点M ，与OB 的交点即为点N ，则此时M 、N 符合题意，求出线段P 1P 2的长即可．
【详解】
解：作点P 关于OA 的对称点P 1，点P 关于OB 的对称点P 2，连结P 1P 2与OA 的交点即为点M ，与OB 的交点即为点N ，
△PMN 的最小周长为PM ＋MN ＋PN ＝P 1M ＋MN ＋P 2N ＝P 1P 2，即为线段P 1P 2的长，
连结OP 1、OP 2，则OP 1＝OP 2＝OP ＝6，
又∵∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝60°，
∴△OP 1P 2是等边三角形，
∴P 1P 2＝OP 1＝6，
即△PMN 的周长的最小值是6．
故答案是：6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，关键是确定M 、N 的位置．
19．4【分析】过点作的垂线交于点根据角平分线的性质可得再根据三角形的面积即可求出DH 从而求出结论【详解】解：如图过点作的垂线交于点由题意可得：平分∵∴∵的面积为∴即∴∴故答案为：4【点睛】本题考查的是角 解析：4
【分析】
过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，根据角平分线的性质可得CD DH =，再根据三角形的面积即可求出DH ，从而求出结论．
【详解】
解：如图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，
由题意可得：AD 平分BAC ∠，
∵DH AB ⊥，90C ∠=︒
∴CD DH =，
∵15AB =，ABD △的面积为30， ∴
1302AB DH ⨯⨯=，即115302
DH ⨯⨯=， ∴4DH =，
∴4CD =，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
20．6【分析】先过点P 作FG ⊥AB 可以得到FG ⊥CD 根据角平分线的性质可得OE=OF=OG 即可求得AB 与CD 之间的距离【详解】解：过点P 作FG ⊥AB 即PF ⊥AB ∵AB ∥CD ∴FG ⊥CD 即PG ⊥CD ∴FG
解析：6
【分析】
先过点P 作FG ⊥AB ，可以得到FG ⊥CD ，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG ，即可求得AB 与CD 之间的距离．
【详解】
解：过点P 作FG ⊥AB ，即PF ⊥AB ．
∵AB ∥CD ，
∴FG ⊥CD ，即PG ⊥CD ．
∴FG 就是AB 与CD 之间的距离．
∵∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点P ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，PG ⊥CD ．
∴PE=PF ，PE =PG ，
∴PE=PF=PG ，
∴AB 与CD 之间的距离=2•PE=2×3=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB 与CD 之间的距离是正确解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）90；（2）120°；（3）①180αβ+=︒；见解析；②180αβ+=︒或αβ=
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；
（2）由条件可得△ABC 为等边三角形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ＝60°，则可得出结论；
（3）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；
②分两种情况画出图形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，
∵∠DAE ＝∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）
∴∠ABC ＝∠ACE ＝45°，
∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，
∴△ABC 为等边三角形，
∴∠ABD ＝∠ACB ＝60°，
∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠ABD ＝∠ACE ＝60°，
∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
（3）①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．
即∠BAD ＝∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B ＝∠ACE ．
∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．
∵∠ACE +∠ACB ＝β，
∴∠B +∠ACB ＝β，
∵α+∠B +∠ACB ＝180°，
∴α+β＝180°．
②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，
连接CE ，
∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠ABD ＝∠ACE ，
在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，
∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，
即：∠BCE +∠BAC ＝180°，
∴α+β＝180°，
如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．
连接BE ，
∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠ABD ＝∠ACE ，
∴∠ABD ＝∠ACE ＝∠ACB +∠BCE ，
∴∠ABD +∠ABC ＝∠ACE +∠ABC ＝∠ACB +∠BCE +∠ABC ＝180°，
∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ，
∴∠BAC ＝∠BCE ．
∴α＝β；
综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用对称的性质得AB 垂直平分CD ，则BC =BD ，AC =AD ，利用等腰三角形的性质得∠ADE =∠ACB ，再利用AB =AC 得到∠ACB =∠ABF ，AD =AB ，所以∠ABF =∠ADE ，然后证明△ABF ≌△ADE ，从而得到结论．
【详解】
（1）解：如图，
（2）证明：连接AD ，如图，
∵点C ，D 关于直线AB 对称，
∴AB 垂直平分CD ，
∴BC BD =，AC AD =，
∴ADE ACB ∠=∠，
∵AB AC =，
∴ACB ABF ∠=∠，AD AB =，
∴ABF ADE =∠∠，
在ABF 和ADE 中，
AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABF ADE SAS ≅△△，
∴AF AE =．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用SAS 证明△BCE ≌△ACD ，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE ．
（2）根据△BCE ≌△ACD ，得到∠EBC=∠DAC ，由∠BDP=∠ADC ，得到∠BPD=∠DCA=90°，
利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD 平分∠BAE ．
【详解】
证明：（1）∵BC ⊥AE ，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB ，
∴BC=CA ，
在△BCE 和△ACD 中，
90BC AC BCE ACD CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△ACD （SAS ），
∴AD=BE ．
（2）∵△BCE ≌△ACD ，
∴∠EBC=∠DAC ，
∵∠BDP=∠ADC ，
∴∠BPD=∠DCA=90°，
∵AB=AE ，
∴AD 平分∠BAE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE ≌△ACD ．也考查了等腰三角形三线合一的性质．
24．（1）见解析，52；（2）见解析
【分析】 （1）利用网格即可画出以AB 为直角边的等腰直角三角形△ABC ；由勾股定理求出线段BC 的长度即可；
（2）作EF=DE ，连接DF 即可．
【详解】 解：（1）如图1，等腰直角三角形ABC 即为所求
∵227152BC +=22345AB =+=，22345AC =+=
∴222AB AC BC +=，AB AC =
∴△ABC 为等腰直角三角形；
（2）如图，△DEF 即为所求作的等腰三角形，
∵DF=4，EG=4， 1144822
DEF S DF EG ∆=⨯=⨯⨯= 【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25．见解析
【分析】
（1）先作线段AB 的垂直平分线DE ，再延长BC 即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到
∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE ，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC ，证得BE=EF ，又因为AE= BE ，利用等量代换即可求得答案．
【详解】
（1）如图，即为所求；
（2）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线
∴DE ⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30︒，∠ACB=90︒
∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒
∴∠EBC=∠ABE
∴EB 平分∠ABC ．
（3）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线
∴DE ⊥AB
∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE= BE
∴AE=EF
【点睛】
本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
26．（1）见解析；（2）90°；（3
【分析】
（1）用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠BAC=45°，可得∠DBE ；
（3）分DA=DE ，DA=AE ，DE=AE ，三种情况根据等腰三角形的性质求解．
【详解】
解：（1）∵CE ⊥CD ，
∴∠DCE=90°=∠ACB ，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，
即∠ACD=∠ECB ，
∴在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ；
（2）由（1）可知：△ACD ≌△BCE ，
∴∠EBC=∠BAC=45°，
∴∠DBE=180°-∠EBC-∠ABC=90°；
（3）∵△ADE 是等腰三角形，
若DA=DE ，则∠DAE=∠DEA ，
∵∠DAC=∠DEC ，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=EC，
∵AC≠EC，
∴DA≠DE；
若DA=AE，
∵∠EBA=90°，
∴AE＞BE，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∴AE≠AD；
若DE=AE，
∵EB⊥AD，AE=DE，
∴B是AD中点，
∴AD=2AB=2BD=1，
∵△ACD≌△BCE，
∴BE=AD=2，
由（2）可知：∠DBE=90°，
∴DE=225
+=；
BE DB
综上：DE的值为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，灵活运用等腰三角形的性质．。