(完整word版)高二数学期末考试试卷

2010-2011高二上学期期末考试
、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.（09年高考安徽卷）(文）不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域的面积等于
A ．2
3
B ．
3
2 C ．
3
4 D ．
4
3 2.（09年高考江西卷）设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三
角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
3.（2008年高考数学辽宁理数全解全析）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离
与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A
B ．3 C
D ．
92
4.（2008年高考数学辽宁文数全解全析）已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值
为（ ） A ．4
B ．2
C ．1
D ．4-
5.（2010年重庆市高考仿真试卷三（理））已知实数,x y 满足20200x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，每一对整数(,)x y 对应平面上一
个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆 A ．70
B ．61
C ．52
D ．43
22
x x x x
-->6.（山东省潍坊市2010年高考模拟训练A （理））已知y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤+≥.0,4,1c by ax y x x 且目标函数y x y +=3的最
大值为7，最小值为1，则=++a
c
b a A ． 3
1-
B ． 31
C ． 3
D ． -3
7.（08年高考山东卷）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标
准方程是
A ．2
27(3)13x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭
B ．22(2)(1)1x y -+-=
C.2
2
(1)(3)1x y -+-=
D ．2
23(1)12x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭
8.（2010年高考试题（新课标全国卷）解析版（文））圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为
-----------。

9.（08年高考浙江卷）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面
积为定值，则动点P 的轨迹是
A ．圆
B ．椭圆 C.一条直线
D ．两条平行直线
10.（天津市六校2010届高三第三次联考（理））若
,01
1<<b
a 则下列不等式： ①a
b b a <+ ②||||b a > ③b a < ④2>+b a
a b 中，正确的不等式有 （ ） A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
11.（2008年高考数学试题全国卷2（文）全解全析）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥，则y
x z 3-=的最小值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8- 12.（2010年高考试题（江西卷）解析版（理））不等式 的解集是（ ）
A ． (02)，
B ． (0)-∞，
C ． (2)+∞，
D ．
(0)∞⋃+∞（-，0）， 一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.（2010年高考试题（四川卷）解析版（理））直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A ．B 两点，则
AB ∣∣= .
14.（2008年高考数学重庆文数全解全析）已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关
于直线l ：x -y +2=0
的对称点都在圆C 上，则a = .
15.（2010年高考试题（湖北卷）解析版（理））已知y x z -=2，式中变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≤,2,1,
x y x x y 则
z 的最大值为 .
16.（2010年高考试题（江苏版）解析版）设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y
x 的最大值是
▲ 。

22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy
=⋅∈，43
y x 的最大值是27。

二、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（安徽省2009年高中学业水平测试模拟卷）设直线方程为:(1)20()l a x y a a R ++++=∈（Ⅰ）若直线l 在
两坐标轴上的截距相等，求直线l 方程；（Ⅱ）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围。

18.（2010年高考试题（福建卷）解析版（理））
（Ⅰ）已知函数3(x)=x -x f ，其图象记为曲线C 。

（i ）求函数(x)f 的单调区间；
（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111P (x ,f(x ))处的切线交于另一点
222P (x ,f(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,f(x ))处的切线交于另一点333P (x ,f(x ))，线段
1
1223122
P P ,P P ,S ,S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则
为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

19.（2008年高考数学试题全国卷2（文）全解全析）
设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
20.（09年高考辽宁卷）已知，椭圆C 以过点A （1，
3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

21.（08年高考江苏卷）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴
有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： (1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；
(3)问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 22.（安徽省两地三校2010届高三国庆联考）
机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； （Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．
0.2010-2011
高二上学期期末考试答案解析
一、选择题
1.C
由⎩⎨⎧=-+=-+0
43043y x y x 可得C (1,1)，故S =34
||21=⨯⨯C x AB ，选C 。

2.B
【解析】由tan 6
2c b π
=
=
有2222344()c b c a ==-,则2c e a ==,故选B. 3.答案：A
解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。

依题设P 在抛物线准线的投影为'P ,抛物线的焦点为F ,则
1
(,0)2
F ,依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|'|||PP PF =,则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该
抛物线准线的距离之和||||||d PF PA AF =+≥==
4.答案：B
解析：本小题主要考查线性规划问题。

作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为
(01),，
(10),，(12),--，验证知在点(10)，时取得最大值2. 5.D 区域内共9个整点，任选3点，但要求不共线，又其中有四点共圆的情形，有3个正方形，一个矩形，
5个等腰梯形，故用排除法得339549343C C ---⨯=. 6.B 7.B
8..解析：圆心到直线20x y +-=的距离d r =
=∴=圆半径
圆的方程为x 2+y 2=2
命题意图：本题考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系 9.B 10.B
11.【答案】D
【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点
是A （－2，2）、B(32
,32)及C(－2，－2)
于是8)(min -=A z 12.【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.2
0x x
-<，解得A ． 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。

二、填空题
13.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为22
圆心到直线250x y -+=的距离为d ＝2
2
51(2)
=+-
故2|AB |2
22(
)+(5)=(2)2
得|AB |＝23 答案：2
3
14.【答案】-2
【解析】本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，由已知，直线20x y -+=经过了圆心(1,)2
a
--，所
以1202a
-++=，从而有2a =-。

15.【答案】5
【解析】依题意，画出可行域（如图示），
A B
C
A
B
C
则对于目标函数y=2x-z ， 当直线经过A （2，－1）时， z 取到最大值，max 5Z =．
16. [解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

三、解答题
17.
()102a a ==-≤或（
2）-2a<-1 18.
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。

【解析】（Ⅰ）（i ）由3(x)=x -x f 得'2(x)=3x -1f
=，
当x (-∈∞
和+∞）
时，'(x)>0f ；
当x
∈时，'(x)<0f ， 因此，(x)f
的单调递增区间为(-3∞
和3+∞（）
，单调递减区间为(-
3)3。

（ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111y=(3x -1)(x-x )+x -x ,即
2
311
y=(3x -1)x-2x ,由23
113
(3x -1)x-2x y=x -x
y ⎧=⎪⎨⎪⎩得3x -x=23
11(3x -1)x-2x ， 即2
11(x-x )x+2x )=0（，解得1121x=x 2,x 2x x x =-=-或故，进而有
1
1
23234
111127(x -3x x+2x )dx =
x 4
x x S -=
⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 32x 2x =-和42227S =x 4，又21x 20x =-≠，所以4
212716S =
x 0,4⨯≠ 因此有
12S 1=S 16。

（Ⅱ）记函数32g(x)=ax +bx +cx+d(a 0)≠的图象为曲线'C ，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意
不等式b
3a
-
的实数1x ，曲线'C 与其在点111P (x ,g(x ))处的切线交于另一点 222P (x ,g(x ))，曲线C 与其在点222P (x ,g(x ))处的切线交于另一点333P (x ,g(x ))，线段
'1
1223122
P P ,P P ,S ,.S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S 则为定值 证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心b (3a g -（，b
))3a
-平移至坐标原点，因而不妨设3g(x)=ax +hx(x 0)≠，类似（i ）（ii ）的计算可得
41127S =
x 4，4212716S =x 0,4⨯≠故12S 1
=S 16。

19.（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=，
直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，
故21x x =-=
．①
由6ED DF =知01206()x x x x -=-
，得02121
(6)77x x x x =+==
； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得02
12x k
=+． 所以
212k =
+， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =
或3
8
k =． 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为
1h =
=
22222
22
2(1214)
5
5(14)
x kx k k h k +-+-+=
=
+． 9分
又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为
121
()2
S AB h h =
+ 2
15
2
5(14)
k =
+
2
14k
=
+
22
144214k k
k
++=+ 22≤，
当21k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△ 222x y =+ 9分
222(2)x y =+
22
222244x y x y =++ 22222(4)x y +≤
22=，
当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分
20. (1)由题意，c ＝1,可设椭圆方程为
22
22
114x y b b +=+。

因为A 在椭圆上，所以
2219114b b +=+，解得2b ＝3，2
b ＝34
-（舍去）。

所以椭圆方程为 22143x y +=. ..4分 (2)设直线ＡＥ方程：得3(1)2y k x =-+，代入22
143
x y +=得 22233+4+4(32)4()1202
k x k k x k -+--=（） 设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）.因为点Ａ（1，32
）在椭圆上，所以 2234()12234E k x k
--=+， 32
E E y kx k =+-。

.......8分 又直线A
F 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得
2234()12234F k x k
+-=+， 32
F F y kx k =-++。

所以直线EF 的斜率()212
F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--。

即直线EF 的斜率为定值，其值为
12。

.......12分 21.本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；
令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．
(2)设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=
令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.
(3)圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
22.解 （1）依题得：.984029842)1(12502-+-=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-+=x x x x x y （x ∈N *） （2）解不等式
2240980,:1010x x x -+-><<得∵x ∈N *,∴3≤x ≤17，故从第3年开始盈利。

（3）（Ⅰ）
9898
24040(2)4012y x x x x x
=-+-=-+≤- 当且仅当982x x =时，即x =7时等号成立． ∴到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元． （Ⅱ）y=-2x 2+40x-98=-(x-10)2+102，当x=10时，y max =102
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元 盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．。