镇坪县十中八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明 13.1.1 命题教案

第13章全等三角形
13．1 命题、定理与证明
13．1.1 命题
1．了解命题的概念，理解命题的结构．
2．会识别命题的真假，会说明一个命题是假命题．
重点
命题的结构，真命题与假命题的识别．
难点
识别命题的真假．
一、创设情境
情境：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．
小亮：“哈！这个黑客终于被逮住了．”
小刚：“是的，现在网络广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”
坐在旁边的两个人一边听着他的谈话，一边也在悄悄地议论着，“这个黑客是个小偷吗？”
“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”
你听完这则片段故事，有何想法？
同学们各抒己见后，教师给予同学的各种回答评价后，发表自己的看法：在日常生活中，我们会遇到许多概念，以致无法进行正常的交流．同样，在数学学习中，要进行严格的论证，也必须首先对所涉及的概念下定义．本节课我们就一起来学习命题．
二、探究新知
1．提出问题
我们已经学过一些图形的特性．例如：
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(3)两直线平行，同位角相等；
(4)直角都相等．
引导学生观察、分析它们的共性，得出命题的概念．
即它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题．
2．练习
下列句子哪些是命题？
①动物都需要水；
②猴子是动物的一种；
③玫瑰花是动物；
④美丽的天空；
⑤负数都小于零；
⑥你的作业做完了吗？
⑦所有的质数都是奇数；
⑧过直线外一点作l的平行线；
⑨如果a＞b，a＞c，那么b＝c.
3．观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流．
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
(3)如果a2＝b2，那么a＝b.
总结：在数学中，许多命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……，那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．例如，在命题(1)中，“两个角是对顶角”是条件，“这两个角相等”是结论．
例把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论．
解：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形．”这里的条件是“在一个三角形中有三个角相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．
4．真、假命题
思考：试判断下列句子是否正确．
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(2)三角形的内角和是180°；
(3)同位角相等；
(4)同角的余角相等；
(5)一个锐角与一个钝角的和等于180°.
根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(4)是正确的，句子(3)、(5)是错误的．从而引导学生概括出真、假命题的定义．
即条件成立，结论一定成立的命题，称为真命题．
条件成立，不能保证结论总是成立的命题，称为假命题．
三、练习巩固
1．指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例说明．
(1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)两个无理数之和仍是无理数．
2．命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是____________，结论是________________，它是一个____________，反例为________________．
四、小结与作业
小结
这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．
作业
教材第58页习题13.1第1，2，3题．
本节内容较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析．命题的条件与结论是辨别命题真假的关键，又是后面学习逆命题的基础，应掌握．针对学习情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导．
数学活动
——平面镶嵌（用多边形覆盖平面）
一、导学
1.导入课题：
同学们见过你家里用地砖铺设的地面吗？用瓷砖贴成的墙面呢？用地砖铺地面，用瓷砖贴墙面所要求的规则，从数学角度来看，就是一个用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.
2.学习目标：
（1）知道平面镶嵌的概念.
（2）知道平面镶嵌的条件.
3.学习重、难点：
重点：平面镶嵌的概念及条件.
难点：探究平面镶嵌的条件.
4.活动指导：
（1）学习内容：探究平面镶嵌的条件.
（2）学习时间：10分钟.
（3）学习要求：小组合作，结合探究提纲进行活动，并注意总结规律.
（4）探究提纲：
①分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸板.
②如果用其中一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图案？
正三角形、正方形、正六边形.
③如果用其中两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案？
正三角形和正方形、正三角形和正六边形.
④任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？
能
⑤任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？
能
⑥通过上述活动，试总结哪些多边形能镶嵌成一个平面图案，为什么会出现这种结果？
只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌成平面图案，而只用正五边形、正八边形等其他正多边形，不能镶嵌成平面图案.
二、自学
学生结合探究提纲进行探究活动.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情，巡视课堂，观察学生的活动过程，了解学生拼合中存在的问题和探究镶嵌条件时遇到的困难.
（2）差异指导：对普遍问题集中指导，对个别问题进行针对性指导.
2.生助生：组内合作，组间可互助交流.
四、强化
1.什么叫做平面镶嵌？
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌.
2.多边形能平面镶嵌的条件：
各个顶点数上的内角之和等于360°.
五、评价
1.学生的自我评价：介绍自己的活动表现、方法、收获和不足.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在活动中的态度、方法和成效与不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思):
本课时通过探索平面图形的镶嵌，让学生知道任意形状的三角形、四边形或正六边形可以镶嵌设计，提高了学生对三角形以及多边形内角和与外角和等知识的综合运用能力与实际操作中的动手能力.
一、基础巩固（第1、2、3每题10分，第4题30分，共60分）
1.只用下列正多边形地砖中的一种，能够无缝隙，不重叠地铺满地面的是(A)
A.正三角形
B.正五边形
C.正七边形
D.正八边形
2.现有四种地面砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种镶嵌地面，选择的方式有(B)
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
3.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则n 的值是(A)
A.3
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6个正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
解：如图所示：
二、综合应用（20分）
5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案(如图②)，其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案(如图③)，其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案(如图④)，其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有181个.
三、拓展延伸（20分）
6.有6个正六边形，要求用其对角线的连线将正六边形分割成若干块，相邻两块用黑、白两色分开，最后形成轴对称图形.请你画出不同的轴对称图形，然后思考并尝试镶嵌一幅图案.
解：
镶嵌图案如图所示.（答案不唯一）
章末复习
奇妙的坐标
在一条直线上，确定任何一点的位置，我们可以将这条直线刻成一条数轴，任何一点在这条数轴上都有惟一确定的实数作为它的坐标，不同的点有不同的坐标。

那么在一张平面上，确定任何一点的位置，该怎么办呢？
我们可以在平面上画两条互相垂直的数轴，一条水平，一条竖直，它们的交点为公共的原点，水平向右和竖直向上分别为两条数轴的正向。

那么，平面上任何一点，可以向这两条数轴作垂线，两个垂足的坐标就可以确定该点的位置，不同的点有不同的两个坐标。

我们画的这两条互相垂直的数轴，就构成了通常所称的“笛卡儿直角坐标系”。

在这种坐标系之前冠以“笛卡儿”，是为了纪念笛卡儿为此作出的贡献。

笛卡儿（ReneDescartes，1596～1650）是法国17世纪的哲学家、生理学家、数学家，近代科学方法论创始人，也是解析几何的创立者。

笛卡儿长期潜心钻研哲学问题，崇尚理性，认为科学的本质是数学的，自然界定律是预先规定的数学图景的一部分。

然而，笛卡儿对当时的几何学并不满意，他认为“它只能使人们在想像力大大疲乏的情况下，去练习理解能力”；他对当时的代数学也不满意，认为它“似乎充满混杂、晦涩、阻碍思想的东西，不像一门改进思想的科学”。

进而，笛卡儿宣称：“我想应当去寻求另外一种包括这两门科学优点而不含它们缺点的方法。

”1637年6月8日，笛卡儿匿名出版了《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》一书，书后附上仅117页的《几何学》，它标志着一个新的数学分支的诞生，这就是当时称的“坐标几何”，亦即现在的“解析几何”。

在《几何学》中，笛卡儿引用“变量”这个概念，并建立平面上的坐标系。

他是在解决作图问题时，把坐标平面上的“点”与作为坐标的有序“数对”对应起来，再把平面上的“曲线”与含有两个未知量的“方程”对应起来。

最重要的是点与坐标的对应，流动的坐标就是变量，方程既表示已知量与未知量之间的关系，又确定了变量之间的关系。

所有这些都依赖于建立平面上的坐标系。

不过，笛卡儿当时的坐标系并不是像现在这样明确，他还没有考虑坐标的负值，纵坐标往往不固定地标明，而是随意地沿着与横坐标轴某固定方向画出来，纵、横坐标轴也未必成直角。

并且，整个坐标系隐匿于作图方法之中。

与笛卡儿分享创立解析几何殊荣的是法国数学家费马（Fermat，1601～1665）。

他所创建的坐标系比笛卡儿的坐标系更为明显，也更接近现代坐标系。

如图1。

费马只取一条射线作为横轴，其端点N，即原点，从N出发在横轴上的距离用A表示，再从A的末端沿固定方向计算的距离用E表示，而常量则用表示。

费马在1629年写成的《平面和立体轨迹引论》一书中，还得出了许多重要结论，诸如：方程D·A＝B·E代表一条过原点的直线，
A2＝D·E代表一条抛物线，椭圆则表示为，圆的方程是B2－A2＝E2等等。

可见，费马不仅掌握了坐标方法的原理，而且还掌握了运用移轴或转轴以简化曲线方程的技巧。

笛卡儿、费马创立的坐标系虽然都很不完善，但是其意义却是划时代的，它使数与形能统一起来研究。

此后人们获得了沟通几何与代数的新思路，新方法。

1655年英国数学家沃利斯首先有意识地引进负的纵、横坐标，改进了笛卡儿、费马的坐标系，并且得到完整的圆锥曲线的方程，用这些方程直接推导出圆锥曲线的几何性质，充分显示出坐标系奇妙的作用，也大大有助于笛卡儿、费马的解析几何思想的传播。

牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创见：如图2，用一个固定的点O和通过它的一条射线作为基准，用r和θ来确定P点的位置，只需用x=rcosθ，y＝rsinθ就可以将这种坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标来表示同一点在平面上的位置。

这就是现代所称的极坐标系。

牛顿的这项工作很晚才为世人所知，而詹姆士·伯努利于1691年最先发表了上述有关极坐标系的文章，所以一般人们都称伯努利为极坐标系的发明者。

牛顿另一项工作也是对坐标系的贡献，如图3，平面上每一点的位置取决于它到两个固定点X、Y的距离。

这被称为“双极坐标系”。

在这种意义下，笛卡儿的坐标系可以称为“双轴坐标系”。

按两个负值；当这三个重量数同乘以一个常数时，P点仍然是其重心。

可见，麦比乌斯的方案中，点的坐标可正也可负，但不是谁一的，三个坐标的有序之比才是惟一确定的。

更奇妙的是，在这个坐标系中曲线的方程写出来后，各项次数相同，所以也称之为“齐次坐标系”。

三年之后，麦比乌斯的同胞普吕克也提出了另一种新的坐标系，可谓“三轴坐标系”。

普吕克也从一个固定的三角形出发，规定平面上任意点P的坐标，取为从P到该三
角形三条边的带正、负号加以区别的垂直距离。

如图4，P（x1，x2，x3）。

这种坐标也是三个距离数有序之比是唯一确定的，用它写出来的曲线的方程也是齐次的。

这种齐次坐标可以转换为笛卡儿坐标。

如图5，x＝x1／x3，y＝x2／x3，当我们把三角形的某一边推向很远很远，以至无穷远时，另两边成直角即可。

若X3越小，则X、y就越大，若X3＝0，则P成为无穷远线上的点，而无穷线上的点都可表示成x3＝O，所以x3＝0为无穷远线的方程。

这个结论非常重要，请看一个简单的例子。

对于圆的方程（r-a）2＋（y－b）2=r2，引入普吕克坐标x＝x1／x3，y＝x2／x3，它将写成形如
（x1－ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32
的齐次方程。

考虑无穷远线与圆的交点由x12＋x22=0
（x1－ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32
x2=0或x3=0
确定这些圆上无穷远点的坐标为（l，i，O）、（1，－i，O）或正比于它们的数。

这样一来，对于很难说清楚的无穷远点、无穷远线、圆上无穷远点等等，都可以用普吕克坐标给出明确的代数表达式。