2011年高考数学试题分类汇编13——概率与统计(理科)

概率与统计（理）
江苏 5 ．从 1， 2， 3，4 这四个数中一次随机取两个数，则此中一个数是另一个的两倍的概
率为 ______
1
答案：
3
安徽理（ 20）（本小题满分13 分）
工作人员需进入核电站达成某项拥有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个
人只派一次，工作时间不超出10 分钟，假如有一个人10 分钟内不可以达成任务则撤出，再派下一个人。

此刻一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能达成任务的概率分别
p , p , p ，假定 p , p , p 互不相等，且假定各人可否达成任务的事件互相独立.
（Ⅰ）假如按甲最初，乙次之，丙最后的次序派人，求任务能被达成的概率。

若改变三个人被派出的先后次序，任务能被达成的概率能否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定次序派人，这三个人各自能达成任务的概率挨次为q , q , q ，此中q , q , q 是 p , p , p 的一个摆列，求所需派出人员数目X 的散布列和均值（数
字希望） EX ；
（Ⅲ）假定p p p ，试剖析以如何的先后次序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字希望）达到最小。

（20）（本小题满分13 分）此题考察互相独立事件的概率计算，考察失散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考察在复杂情境下办理问题的能力以及抽象归纳能力、合
情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应意图识与创新意识.
解：（ I）不论以如何的次序派出人员，任务不可以被达成的概率都是
(1 p1 )(1 p2 )(1p3 ) ，所以任务能被达成的概率与三个被派出的先后次序没关，
并等于
1 (1 p1 )(1 p
2 )(1 p
3 ) p1p2p3p1 p2p2 p3p3 p1p1 p2 p3 .
（ II）当挨次派出的三个人各自达成任务的概率分别为q1 , q2 , q3时，随机变量X的散布列为
X123
P q1(1 q1 )q2(1 q1 )(1q2 )所需派出的人员数目的均值（数学希望）EX 是
EX q12(1 q1 ) q23(1 q1 )(1 q2 ) 3 2q1q2q1q2 .
（ III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最初、乙次之、丙最后的次序派人时，EX 3 2 p1p2p1 p2 .
依据常理， 先派出达成任 概率大的人，可减少所需派出的人 数目的均
.
下边 明： 于 p 1 , p 2 , p 3 的随意摆列 q 1 , q 2 , q 3 ，都有
3 2q 1
q 2 q 1q 2 3 2 p 1 p 2 p 1 p 2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（*）
事 上，
(3 2q 1 q 2 q 1 q 2 )
(3 2 p 1
p 2 p 1 p 2 )
2( p 1 q 1 ) ( p 2 q 2 ) p 1 p 2
q 1q 2
2( p 1 q 1 ) ( p 2 q 2 ) ( p 1 q 1 ) p 2 q 1 ( p 2
q 2 )
(2 p 2 )( p 1 q 1 ) (1 q 1 )(( p 2 q 2 )
(1 q 1 )[( p 1 p 2 ) ( q 1
q 2 )]
0.
即（ *）建立 .
（方法二）（ i ）可将（ II ）中所求的
EX 改写 3
(q 1 q 2 ) q 1 q 2 q 1 , 若交 前两人
的派出 序，
3 (q 1 q 2 ) q 1 q 2 q 1, .由此可 ，当
q 2
q 1 ，交 前两人的派
出 序可减小均
.
（ ii ）也可将（ II ）中所求的
EX 改写 3
2q 1 q 2 q 1q 2 ，或交 后两人的派出 序，
3
2q 1 q 3 q 1q 3 .由此可 ，若保持第一个派出的人 不 ，当
q 3
q 2 ，交
后两人的派出 序也可减小均
.
合（ i ）（ ii ）可知，当 (q 1 ,q 2 ,q 3 )
( p 1 , p 2 , p 3 ) ， EX 达到最小 . 即达成任 概率大
的人 先派出，可减小所需派出人 数目的均 ， 一 是符合常理的 .
北京理 17．本小 共
13 分
以下茎叶 了甲、 乙两 个四名同学的植 棵 。

乙 中有一个数据模糊，
无
法确 ，在 中以
X 表示。

（Ⅰ）假如 X=8,求乙 同学植 棵 的均匀数和方差；
（Ⅱ）假如
X=9，分 从甲、乙两 中随机 取一名同学，求 两名同学的植 棵
Y 的散布列和数学希望。

（注：方差 s
2
1
2
2 2
x 1 x
x 2 x
x n x ，此中 x
x 1 ， x 2 ，⋯⋯ x n
n
的均匀数）
（17）（共 13 分）
解（ 1 ）当 X=8 ，由茎叶 可知，乙 同学的植 棵数是：
8， 8， 9，10，
所以均匀数
x
8
8 9
10
35
4
;
4
方差
s
2 1 [(8 35 2
(8
35
2
(9
35 2
(10
35 2
11
4
)
)
)
) ].
4
4
4
4
16
（Ⅱ）当 X=9 ，由茎叶 可知，甲 同学的植 棵 是：
9，9， 11， 11；乙
同学的植 棵数是： 9，8， 9，10。

分 从甲、乙两 中随机 取一名同学，
共有 4×4=16种可能的 果， 两名同学植 棵数
Y 的可能取 17，18，
19， 20， 21 事件 “ Y=17等”价于 “甲 出的同学植 9 棵，乙 出的同学
植 8 棵 ”所以 事件有
2 种可能的 果，所以
P （ Y=17）=
2
1 .
16 8 同理可得 P(Y
18)
1
; P(Y
19)
1
; P(Y 20) 1
;P(Y
21) 1 .
4
4
4
8
所以随机 量
Y 的散布列 ：
Y 17
18
19
20
21
P
1
1
1
1
1
8
4
4
4
8
EY=17×P（ Y=17） +18 ×P（ Y=18） +19 ×P（ Y=19） +20 ×P（ Y=20） +21 ×P（ Y=21）
1 1 1 1 1
=17 × +18 × +19 × +20 × +21 ×
8
4
4
4
8
=19
福建理 13．盒中装有形状、大小完整同样的
5 个球，此中 色球 3 个，黄色球 2 个。

若从
中随机拿出
2 个球， 所拿出的 2 个球 色不一样的概率等于
_______。

3
5
福建理 19．（本小 分
13 分）
某 品按行 生 准分红
8 个等 ，等 系数 X 挨次 1,2，⋯⋯， 8，此中 X ≥ 5 准 A ， X ≥ 准 B ，已知甲厂 行 准 A 生 品， 品的零售价 6 元 /
件；乙厂 行 准
B 生 品， 品的零售价
4 元 / 件，假定甲、乙两厂得 品都
切合相 的 行 准
（ I ）已知甲厂 品的等 系数
X 1 的概率散布列以下所示：
x 1
5
6
7
8
P
0． 4
a
b
0．1
且 X 1 的数字希望 EX 1=6，求 a ， b 的 ；
（ II ） 剖析乙厂 品的等 系数
X 2，从 厂生 的 品中随机抽取
30 件，相 的等
系数 成一个 本，数据以下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3 8
3
4
3
4
4
7
5
6
7
用 个 本的 率散布估 体散布，将 率 概率，求等 系数
X 2 的数学期
望．
（ III ）在（ I ）、（ II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具
可购置性？说明原因．
注：（ 1）产品的“性价比”
产品的等级系数的数学
希望
；
=
产品的零售价
（ 2）“性价比”大的产品更具可购置性．
19．本小题主要考察概率、 统计等基础知识， 考察数据办理能力、 运算求解能力、 应意图识，
考察函数与方程思想、必定与或然思想、分类与整合思想，满分
13 分。

解：（ I ）因为 EX 1 6, 所以 5 0.4 6a 7b 8 0.1 6,即 6a 7b 3.2.
又由 X 1 的概率散布列得 0.4 a
b 0.1 1,即 a b
0.5.
6a
7b 3.2,
a 0.3, 由
0.5.
解得
0.2.
a b
b
（ II ）由已知得，样本的频次散布表以下：
X 2
3
4
5
6
7
8
f
0． 3
0 ．2
0． 2
0．1
0． 1
0．1
用这个样本的频次散布预计整体散布，将频次视为概率，可得等级系数 X 2 的概率散布
列以下：
X
2
3
4
5
6
7
8
P 0． 3
0 ．2
0． 2
0．1
0． 1
0．1
所以
EX 2 3P(X 2 3) 4P( X 2
4) 5P(X 2 5) 6P(X 2 6) 7P(X 2
7) 8P(X 2 8)
3 0.3
4 0.2
5 0.2
6 0.1
7 0.1
8 0.1
4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学希望等于 4.8.
（ III ）乙厂的产品更具可购置性，原因以下：
因为甲厂产品的等级系数的希望数学等于
6，价钱为 6 元/ 件，所以其性价比为
6
1.
6
因为乙厂产吕的等级系数的希望等于 4.8，价钱为 4 元 / 件，所以其性价比为
4.8
4 1.2.
据此，乙厂的产品更具可购置性。

广东理 6．甲、乙两队进行排球决赛，此刻的情况是甲队只需在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率同样，则甲队获取冠军的概率为 A ． 1
B ．
3
C ．
2
D ．
3
2 5
3 4
D
广东理 17．（本小题满分
13 分）
为认识甲、 乙两厂的产质量量， 采纳分层抽样的方法从甲、 乙两厂生产的产品中分别抽 出取 14 件和 5 件，丈量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克） ．下表是乙厂的 件产品的丈量数据：
编
1 2 3 4 5
5
x 169 178 166 175 180
y
75
80
77
70
81
（ 1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数目；
（ 2）当产品中的微量元素 x,y 知足 x ≥ 175，且 y ≥ 75 时 ,该产品为优等品。

用上述样本数据
预计乙厂生产的优等品的数目；
（ 3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中， 随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数
的
散布列极其均值（即数学希望） 。

17．（本小题满分 13 分）
98 7,5
7 35 ，即乙厂生产的产品数目为
35 件。

解：（1）
14
2 ,
（ 2）易见只有编为 2， 5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
2 5
故乙厂生产有大概 35
14 （件）优等品，
5
（ 3） 的取值为 0， 1， 2。

P(
C 32 3 1) C 31 C 21 3 ,P(2)
C 32 1
0)
, P(
C 52 5
C 52
10
C 52
10
所以
的散布列为
1
2
P
3
6 1
10
10
10
故 的均值为 E
3 1 3
2 1
4 .
10 5
10
5
湖北理 5．已知随机变量
听从正态散布 N
2， a 2 ，且Ｐ（ ＜ 4）＝ 0.8 ，则Ｐ（ 0＜ ＜
2）＝
Ａ． 0．6
B ．0． 4
C ．0． 3
D ．0． 2
C
湖北理
7．如图，用
K 、 A 1 、 A 2 三类不一样的元件连结成一个系统。

当
K
正常工作且 A 1、 A 2
起码有一个正常工作时，
系统正常工作， 已知
K 、 A 1 、 A 2 正常工作的概率挨次为
0．9、
0． 8、 0．8，则系统正常工作的概率为
A． 0． 960B． 0． 864C．0． 720D． 0． 576
B
湖北理 12．在 30 瓶饮猜中，有 3 瓶已过了保质期。

从这30 瓶饮猜中任取 2 瓶，则起码取到一瓶已过保质期饮料的概率为。

（结果用最简分数表示）
28
145n 4 时，在全部不一样的着色
方
湖北理 15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。

当
案中，黑色正方形互不相邻的着色方案以下列图所示：
．．．．
由此推测，当n 6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有
．．．．
黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）
．．
种，起码有两个
21， 43
湖南理 4．经过随机咨询110 名性别不一样的大学生能否喜好某项运动，获取以下的列联表：
男女总计
喜好402060
不喜好203050
总计6050110
2
算得，K 2110
40 30 20 20
2
由 K 2n ad bc7.8
．
a b c d a c b d60 50 60 50
P(K 2k)0．0500． 0100． 001
k3．8416． 63510． 828参照附表，获取的正确结论是
A．再出错误的概率不超出0． 1%的前提下，以为“喜好该项运动与性别有关”
B．再出错误的概率不超出 0． 1%的前提下，以为“喜好该项运动与性别没关”
C．有 99%以上的掌握以为“喜好该项运动与性别有关”
D．有 99%以上的掌握以为“喜好该项运动与性别没关”
C
湖南理 15．如图 4， EFGH 是以 O 为圆心，半径为
1 的圆的内接正方形。

将一颗豆子随机地扔到该图内， 用 A 表示事件“豆子落在正方形
EFGH
内”， B 表示事件“豆子落在扇形
OHE （暗影部分）内” ，则
（ 1）P （A ）= _____________; （ 2）P （B|A ）=
．
（1） 2 ,(2)
1
4
湖南理 18．（本小题满分 12 分）
某商铺试销某种商品
20 天，获取以下数据：
日销售量（件）
0 1 2 3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假定该商品的日销售量的散布规律不变） ，设某天开始营业时有该商
品 3 件，当日营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当日进货增补 至 3 件，否
．． 则不进货 ，将频次视为概率。

．．． （Ⅰ）求当日商品不进货的概率； （Ⅱ）记 X 为次日开始营业时该商品的件数，求
X 的散布列和数学期型。

18．解（ I ） P （“当日商品不进货” ）
P （“当日商品销售量为 0 件”） P （“当日商品销
售量为 1 件”）
1 5
3 .
20 20
10
（Ⅱ）由题意知，
X 的可能取值为 2,3.
P( X
2) P （“当日商品销售量为
1 件”）
5 1
20
;
4
P( X 3) P （“当日商品销售量为
0 件”） P
P
（“当日商品销售量为 2 件”） （“当
天商品销售量为 3 件”）
1 9 5 3 .
20 20
20
4
故 X 的散布列为
X 2
3
P
1
3
4
4
X 的数学希望为 EX
2
1 3 3
11 .
4 4
4
江西理 6．变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10，1），（ 11.3， 2），（ 11.8， 3），（ 12.5， 4），
（ 13， 5）；变量 U 与 V 相对应的一组数据为（ 10，5），（ 11.3，4），（ 11.8， 3），（ 12.5，
2），（ 13，1）， r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性有关系数， r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性
有关系数，则
A ． r 2
r 1 0
B ． 0 r 2 r 1
C ． r 2
0 r 1
D ． r 2 r 1
C
江西理 12．小波经过做游戏的方式来确立周末活动，他随机地往单位圆内扔掷一点，若此
点到圆心的距离大于
1
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
1
，则去打篮球；
2
4
不然，在家看书，则小波周末不 ．在家看书的概率为
13 16
江西理 16．（本小题满分 12 分）
某饮料企业招聘了一名职工， 现对其进行一项测试， 以使确立薪资级别， 企业准备
了两种不一样的饮料共 8 杯，其颜色完整同样，而且此中 4 杯为 A 饮料，此外 4杯为B 饮料，企业要求此职工一一品味后，从 8 杯饮猜中选出
4 杯 A 饮料，若 4 杯都选对，
则月薪资定为 3500 元，若 4 杯选对 3 杯，则月薪资定为 2800 元，不然月薪资定为 2100
元，令 X 表示这人选对 A 饮料的杯数，假定这人对
A 和
B 两种饮料没有鉴识能力．
（ 1）求 X 的散布列；
（ 2）求此职工月薪资的希望。

16．（本小题满分 12 分）
解：（ 1）X 的全部可能取值为： 0， 1， 2，3， 4
P( X
C 41C 44 i
0,1,2,3,4)
i )
C 54 (i
即
X 0 1 2
3
4
P
1
16 36 16 1
70
70
70
70
70
（ 2）令 Y 表示新录取职工的月薪资，则 Y 的全部可能取值为
2100， 2800， 3500
则P(Y
3500)
P( X
4)
1
70
P(Y
2800)
P( X
8
3)
35 P(Y
2100)
P( X
53
2)
70
EY 3500
1
16 2100
53
70 2800
2280.
70
70
所以新录取职工月薪资的希望为
2280 元.
辽宁理（ 5）从 1， 2，3，4， 5 中任取 2 各不一样的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶
数 ”，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数 ”，则 P （ B ︱A ） =
（A ）
1
（B ）
1
（C ）
2
（D ）
1
8 4 5
2
B
辽宁理（ 19）（本小题满分 12 分）
某农场计划栽种某种新作物，为此对这类作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）
进行田间试验．选用两大块地，每大块地分红 n 小块地，在总合 2n 小块地中，随机选 n
小块地栽种品种甲，此外
n 小块地栽种品种乙．
（ I ）假定 n=4，在第一大块地中，栽种品种甲的小块地的数目记为
X ，求 X 的散布列和
数学希望；
（ II ）试验时每大块地分红 8 小块，即 n=8，试验结束后获取品种甲和品种乙在个小块
地上的每公顷产量（单位：
kg/hm 2）以下表：
品种甲403397390404388400412406
品种乙419403412418408423400413
分求品种甲和品种乙的每公量的本均匀数和本方差；依据果，你栽种哪一品种？
附：本数据 x1 , x2 ,, x n的的本方差s21
[( x1 x) 2( x
2x)2(x n x) 2 ] ，此中
x n
本均匀数．
19．解：
（ I） X 可能的取0， 1， 2， 3， 4，且
P( X0)1 1 ,
C8470
P( X1)
C41C438
C84,
35
P( X2)
C42 C4218
C84,
35
P( X3)
C43C418
C84,
35
P( X4)1 1 .
C8470
即 X 的散布列
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分X的数学希望
E(X )01
1
8
2
18
3
81
2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
3535
4
70
7035
（ II）品种甲的每公量的本均匀数和本方差分：
x甲1
(403397390404388400412406)400, 8
S甲1(32(3)2( 10)242(12) 20212262 )57.25.
8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
品种乙的每公量的本均匀数和本方差分：
x乙1(419403412418408423400413)412, 8
S乙21(7 2(9)20262(4) 2112(12) 212 )56.
8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分 10
由以上 果能够看出，
品种乙的 本均匀数大于品种甲的 本均匀数，
且两品种的 本
方差差别不大，故 栽种品种乙
.
全国理 7．某同学有同 的画册
2 本，同 的集 册
3 本，从中拿出
4 本 送
4 位朋友每
位朋友 1 本， 不一样的 送方法共有
A ．4 种
B ．10 种
C ．18
种
D ．20 种
B
全国理 18．（本小 分
12 分）（注意：在 卷上作答无效
）
．．．．．．．．． 依据过去 料，某地 主 甲种保 的概率
0． 5， 乙种保 但不
甲种保 的概率 0． 3, 各 主 保 互相独立
（ I ）求 地 1 位 主起码 甲、乙两种保 中的 l 种的概率；
（Ⅱ） X 表示 地的 l00 位 主中，甲、乙两种保 都不 的 主数。

求 X 的希望。

18．解：
A 表示事件： 地的
1 位 主 甲种保 ；
B 表示事件： 地的 1 位 主 乙种保 但不 甲种保 ；
C 表示事件： 地的 1 位 主起码 甲、乙两种保 中的
D 表示事件： 地的
1 位 主甲、乙两种保 都不 ；
1 种；
（I ） P( A)
0.5, P( B)
0.3,C
A B,
⋯⋯⋯⋯ 3 分
P( C)
P( A
B)
P( A)
P( B)
⋯⋯⋯⋯ 6 分
（II ） D
C, P(D)
1 P(C)
1 0.8
0.2,
X ~ B(100,0.2) ，即
X 听从二 散布，
⋯⋯⋯⋯ 10 分
所以希望
EX
100 0.2
20.
⋯⋯⋯⋯ 12 分
全国 理（ 4）有 3 个 趣小 ，甲、乙两位同学各自参加此中一个小 ，每位同学参加各个小 的可
能性同样， 两位同学参加同一个 趣小 的概率
（A ）
1
（B ）
1
（C ）
2
（D ）
3
3
2 3
4
全国 理（ 19）（本小 分
12 分）
某种 品的 量以其 量指 权衡， 量指 越大表示 量越好， 且 量指 大于
或等于 102 的 品 品． 用两种新配方（分 称 A 配方和 B 配方）做 ，各生 了 100 件 种 品，并 量了每 品的 量指 ，获取 下边 果：
A 配方的 数散布表
指 分 [90， 94）
[94， 98）
[98 ， 102）
[102 ，106）
[106 ，110]
数
8
20
42
22
8
B 配方的 数散布表
指 分
[90， 94）
[94， 98）
[98 ， 102）
[102 ，106）
[106 ，110]
数
4
12
42
32
10
（ I ）分 估 用 A 配方， B 配方生 的 品的 品率；
（ II ）已知用 B 配方生 的一种 品利 y （ 位：元）与其 量指
t 的关系式
2, t94
y2,94t 102
4, t102
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其收益记为X（单位：元）．求 X 的散布列及数学希望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频次作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优良的平率为228 =0.3
，所以用A配100
方生产的产品的优良品率的预计值为0.3．
由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优良品的频次为方生产的产品的优良品率的预计值为0.4232 10
0.42 ，所以用 B 配100
（Ⅱ）用 B 配方生产的100 件产品中，其质量指标值落入区间
90,94 , 94,102 , 102,110 的频次分别为0.04，，054，0.42，所以
P(X=-2)=0.04，P(X=2)=0.54，P(X=4)=0.42，
即 X 的散布列为
X－ 224
P0.040.540.42 X 的数学希望值 EX=-2 × 0.04+2 × 0.54+4 × 0.42=2.68
山东理 7．某产品的广告花费x 与销售额 y 的统计数据以下表
广告花费 x（万元）4235销售额 y（万元）49263954
依据上表可得回归方程
??
6 万元时y? bx a?中的b为9．4，据此模型预告广告花费为
销售额为
A． 63． 6 万元B． 65． 5 万元C．67． 7 万元D． 72． 0 万元B
山东理 18．（本小题满分12 分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、 B、 C 进行围棋竞赛，甲对A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜 C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假定各盘竞赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队起码两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的散布列和数学希望E.
18．解：（ I）设甲胜A 的事件为 D，
乙 B 的事件E，丙 C 的事件F，
D,E,F分表示甲不A、乙不B，丙不 C 的事件。

因P(D)0.6, P( E)0.5, P( F )0.5,
由立事件的概率公式知
P(D) 0.4, P(E) 0.5, P( F )0.5,
起码两人的事件有：
DEF , DEF , DEF , DEF .
因为以上四个事件两两互斥且各比的果互相独立，
所以起码两人的概率
P P(DEF ) P(DEF ) P(DEF ) P(DEF )
0.6 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5
0.55.
（ II）由意知可能的取0， 1，2 ，3。

又由（ I）知DEF , DEF , DEF是两两互斥事件，
且各比的果互相独立，
所以 P(0)P(DEF )0.40.50.50.1,
P(1)P( DEF ) P( DEF )P(DEF )
0.40.50.50.40.50.50.60.50.5
0.35
P(3)P(DEF )0.60.50.50.15.
由立事件的概率公式得
P(2)1P(0)P(1)P(3) 0.4,
所以的散布列：
0123 P0．10． 350． 40．15所以 E00.1 1 0.35 2 0.430.15 1.6.
西理 9．（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n）是量x和y的n个本点，直 l 是由些本点通最小二乘法获取的性回直（如），以
下结论中正确的选项是
A．x和y的有关系数为直线l 的斜率
． x 和
y 的有关系数在
到
1
之间
B
C．当n为偶数时，散布在l 双侧的样本点的个数必定同样
D．直线l过点(x, y)
D
陕西理 10．甲乙两人一同去游“2011西安世园会” ，他们商定，各自独立地从1到6景点中任选 4 个进行旅行，每个景点观光 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是1151
A．B．C．D．369366
D
陕西理 20．（本小题满分 13 分）
如图， A 地到火车站共有两条路径L1和 L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频次以下表：
时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60
L1的频次0．10．20． 30． 20． 2
L2的频次00．10． 40． 40． 1
现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自同意的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用 X 表示甲、乙两人中在同意的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求 X 的散布列和数学希望。

20．解（Ⅰ） A i表示事件“甲选择路径L i时， 40 分钟内赶到火车站” ， B i表示事件“乙选择路径 L i时， 50 分钟内赶到火车站” ，i=1,2．用频次预计相应的概率可得
P（ A1） =0． 1+0．2+0． 3=0．6， P（ A2） =0． 1+0．4=0． 5，
P（ A1）＞ P（ A2） ,甲应选择 L i
P（ B1） =0．1+0． 2+0． 3+0． 2=0．8 ，P（ B2） =0．1+0． 4+0． 4=0． 9，P（ B2）＞ P（ B1） ,乙应选择L2．
（Ⅱ） A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自同意的时间内赶到火车站，
由（Ⅰ）知 P( A)0.6, P( B) 0.9 ,又由题意知，A,B 独立，
P( X0)P(AB)P( A) P( B)0.4 0.10.04
P( X1)P( AB AB ) P( A)P( B)P( A) P(B)
0.40.90.60.10.42
P( X2)P( AB)P( A) P(B)0.60.9 0.54
X的散布列为
X012
P0． 040． 420． 54
EX
0 0.04 1 0.42
2 0.54 1.5.
上海理
12．随机抽取
9 个同学中，起码有
2 个同学在同一月出生的概率是
（默
认每个月天数同样，结果精准到
0.001）。

0.985
四川理 1．有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数以下：
[11 ． 5，15． 5） 2 [15 ． 5,19． 5） 4 [19 ． 5， 23． 5） 9 [23 ． 5,27． 5） 18 [27 ．5， 31． 5）
1l [31． 5， 35． 5） 12 [35 ．5． 39． 5） 7 [39． 5,43．5） 3
依据样本的频次散布预计，数据落在
[31． 5， 43．5）的概率约是
1
1
1
2
A ．
B ．
C ．
D ． 6
3
2
3
B
四川理
12．在会合
1,2,3,4,5
中任取一个偶数
a 和一个奇数
b 组成以原点为起点的向量
(a, b) ．从全部获取的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边
形．记全部作成的平行四边形的个数为
n ，此中面积不超出
4
的平行四边形的个数为
．．．
m
m ，则
n
A ．
4
B ．
1
C ． 2
D ． 2
15
3 5
3
D
四川理 18．（本小题共 12 分）
本着健康、 低碳的生活理念， 租自行车骑游的人愈来愈多。

某自行车租车点的收费
标准是每车每次租不超出两小时免费，
超出两小时的收费标准为
2 元（不足 1 小时的部
分按 1 小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超出两
小时还车的概率分别为
1 , 1
；两小时以上且不超出三小时还车的概率分别为 1 ,
1
；两
4 2
2 4
人租车时间都不会超出四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车花费同样的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车花费之和为随机变量 ，求
的散布列与数学希望
E ；
18．分析：
（ 1）所付花费同样即为
0,2,4元。

设付 0 元为 P 1 1
1
1 1
1
，付 2元为 P
，
1
4 2
8
2
2 4
8
1
1 1 付4元为P 3
4
16
4
PP 1P 2
5
则所付花费同样的概率为
P 3
16
（ 2）设甲，乙两个所付的花费之和为
， 可为 0,2,4,6,8
P(
1
0)
8
P(
1 1 1 1 5
2)
4 2 2 16
4
P(
1 1 1 1 1 1 5
4)
4 2 4 2 4 16
4 P(
1 1 1
1 3
6)
4 2 4 16
4 P(
1 1 1
8)
4 16
4
散布列
2
4
6
8
P
1
5 5 3 1
8 16
16
16
16
E
5 5 9 1
7
8 4 8 2 2
天津理 9．一支田径队有男运动员
48 人，女运动员
36 人，若用分层抽样的方法从该队的全
体运动员中抽取一个容量为
21 的样本，则抽取男运动员的人数为
___________
12
天津理 16．（本小题满分 13 分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有
3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里
装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完整同样，每次游戏从这两个箱子里各随机
摸出 2 个球，若摸出的白球许多于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在 1 次游戏中，
（ i ）摸出 3 个白球的概率；
（ ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数
X 的散布列及数学希望 E(X)
.
16．本小题主要考察古典概型及其概率计算公式、
失散型随机变量的散布列、 互斥事件和相
互独立事件等基础知识，考察运用概率知识解决简单的实质问题的能力 .满分 13 分.
（ I ）（ i ）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件
A i (i 0,1,2,3), 则
C 32 C 1
1
P(A 3)
2
5
.
C 52 C 32 （ ii ）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件
B ，则 B
A 2 A 3 ，又
C 32 C 2
C 1 C 1 C 1 1
P(A 2 ) 2 2
2
2
,
C 52 C 32
C 52C 322
且 A 2， A 3 互斥，所以 P( B)
P( A 2) P( A 3)
1 1 7 .
2 5 10
（ II ）解：由题意可知 X 的全部可能取值为 0， 1，2.
P( X
0) (1
7 )2 9
10
100 P(X 1) C 21
7
(1
7 ) 10 10 P( X
2) (7)2
49 .
10
100
,
21
, 50
所以 X 的散布列是
X 0 1
2
P
9 21 49
100
50
100
X 的数学希望 E( X )
9 1
21 2 49 7 .
100
50 100 5
浙江理 9．有 5 本不一样的书，此中语文
书
2 本，数学书 2 本，物理书
1 本．若将其随机的并
排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
1 B ．
2
C ．
3
4 A ．
5
5
D
5
5
B
浙江理 15． 某毕业生参加人材招聘会，分别向甲、乙、丙三个企业送达了个人简历，假定
该毕业生获取甲企业面试的概率为
2
，获取乙丙企业面试的概率为
p ，且三个企业是
3
1
否让其面试是互相独立的。

记 X 为该毕业生获取面试得企业个数。

若
P(X 0)，
12
则随机变量 X 的数学希望
E(X )
5 3
重庆理 13．将一枚均匀的硬币扔掷
6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率
__________
11 32
重庆理 17．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）
某市公租房的房源位于
A ，
B ，
C 三个片区，设每位申请人只申请此中一个片区的
房源，且申请此中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中：
（Ⅰ）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数
的散布列与希望
17．（此题 13 分）
解：这是等可能性事件的概率计算问题 .
（ I ）解法一：全部可能的申请方式有
34 种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式
C 42 22
种，进而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为
C42 228 34.
27
解法二：设对每位申请人的察看为一次试验，这是 4 次独立重复试验 .
记“申请 A 片区房源”为事件A，则P( A) 1 .
3
进而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有2人申请 A片区
房源的概率为P4 (2)C42(1
)2 (
2
)28 .
3327
（ II）ξ的全部可能值为1，2， 3.又
P(1)3 1 ,
3427
P(2)C32 (C21C43C42C22 ) 14 (或P(2)C32 (242) 14)
34273427
P(3)C31C42C21C42A33
4
).
34
4(或P(3)
9349
综上知，ξ 有散布列
ξ123
P1144
27279进而有
E112143465 .
2727927。