湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第5节指数与对数运算

A.-1
B.lg 7
1 1
+ =( C )

C.1
解析 ∵2 =5 =10,∴a=log210,b=log510,∴
a
b
=lg 10=1,故选 C.
D.log710
1
1
+

=
1
1
+ log 10=lg
log2 10
5
2+lg 5
8.(2022·浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=( C )
性质
若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即 xn=a ,则称x是a
的n次方根

当n是奇数时,数a的n次方根记作 ,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个
负数
当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为 相反数 ,记

作± (a>0),负数没有偶次方根
0的n次方根是0
2 )


- 3
-2
b 2·
2 · 3
4 2
2x
(3)若 a =4
+lg
-2x
+lg
的值等于
7
3
.
5
2
2x
25-lg ,所以 a =2+lg(25× )=2+lg
2
5
1
3 +-3
= ,所以 -
3
+
2x -1
a =(a )
5
25-lg ,则 x -x
2
a +a
A.25
25
C. 9
B.5
解析 由 log83=b,得 8 =3,即 2 =3,则 2
b
3b
a-3b
=
2
3
2
=
5
D.3
5
a-3b 25
,所以 4 = ,故选
3
9
C.
9.(2021·全国甲,理4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助
视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的
lo g 4 2
解析 因为 a =4
2x
a 3x +a -3x
=
( +- )(2 - ·- +-2 )
+-
2x
10=3,所以
-2x
=a -1+a
1
=3-1+
3
=
7
.
3
考点二 对数的运算(多考向探究预测)
考向1对数式的化简与计算
例 2(1)(2024·河南平顶山模拟)若 2lg(x-2y)=lg x+lg
A.4
B.1
1
或
4
y
y,则 的值为(
x
C.1 或 4
D )
1
D.
4
解析 ∵2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg x+lg y=lg(xy),∴(x-2y)2=xy,即
2
x -5xy+4y
2




=0,( ) -5( )+4=0,∴( -4)( -1)=0,解得 =1





2
x>0,y>0,∴
立,事实上有
n


=
,为奇数,
||,为偶数.
2.对数及对数运算
如果 ab=N
(a>0且a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的对数,记
概念
作b= logaN ,其中a叫作对数的 底数 ,N叫作对数的 真数
底数的限制a>0,且a≠1
对数式与指数式的互化:ab=N⇔ b=logaN
负数和零没有对数



>2,因此
=4,即



=
1
,故选
4
D.

或 =4,又∵x-2y>0,且

(2)化简
1
1
1
log2 ·log3 ·log5 =
25
8
9
-12
解析 原式=log25 ·
log32 ·
log53
-2
lg3
=-12.
lg5
-3
.
lg5 lg2
=(-2)log25·
(-3)log32·
(-2)log53=-12 · ·

质
logaMn= nlogaM (n∈R)
log
换底公
logab= log (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)

式
常用结论
1
n n
m
1.换底公式的变形:logab= ,logab·logbc·logcd=logad,loa b =m logab
b
(a,b,c, d,am均大于0且不等于1,n∈R).
-
1
5且 2
1
2
-
+ =
6.(．
湘教版必修第一册习题
.3．第
(4))
计算 log428+lo1 56=
．．．．．．．．．．4．
．
．4．题
．．
．
．
．
4
解析
1
1
1
-1
原式=log428-log456=log42=log 22 2 =-2log22=-2.
1
2
.
题组三连线高考
7.(2021·天津,7)若2a=5b=10,则
0.6≈1.516)
D
)(参考数据2
A.0.72M0
B.0.70M0
C.0.68M0
D.0.66M0
解析 由题意,锶 89 半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为 50 天,即
1
1
M
(
)
0=M0·
2
2
变为
1
M 0·
( )
2
50
ℎ
30
50
,解得 h=50,所以质量为 M0 的锶 89 经过 30 天衰减后,质量大约
2
10
-lg2 + lg( )=
2
(lg2)2 -2lg2 + 1=
2
(lg2-1) =
1
1
− =-32 =2
1
lg
2
3.
1
5-32
1
− (1-lg
2
1
2)= (lg
2
5+lg
1
2)-32
1
−
2
=
考向2指数式与对数式的综合运算
例 3(1)(2024·江苏盐城模拟)已知 2 =9
m
5
A.
2
B.3
解析 因为 2 =9 =6,则
1
或 ,故选
9
C.
考点三 指数与对数运算的实际应用
例4(1)放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减,设初始质量为M0,质
t
h
1
量M与时间t(单位:天)的函数关系为 M=M(其中h为常数),若锶89的半衰期
( )
0·
2
(质量衰减一半所用的时间)约为50天,那么质量为M0的锶89经过30天衰减
后质量大约变为(
a>0,
m,n∈
N
且
n≥2
ar·as= ar+s
实数指பைடு நூலகம்幂
有理指数幂的
运算法则
(ar)s=
ars
(ab)r= arbr
a>0,
b>0,r,s∈Q
n
n
微思考等式( a) =a 以及 an =a 一定成立吗?

n


提示 等式( a) =a 在 有意义的前提下是一定成立的;但 =a 不一定成
−x
-
1
2=
1
1
1
1
2 =1;因为( 2
-
+
3
2 =2
-
5.
+
3
,x 2
1
-2 )2=x+x-1+2=5,所以 2
+
−
1
,x 2
1
2
3
2=
1
5;( 2
-
+ =
1
3
2 )(x+x-1)= 2
-
+x
-
1
2
-
+ +
1
2
2 5
−
.
1
2 )2=x+x-1-2=3-2=1,
-
+
3
2 =3
:loga1= 0
性质 1的对数是 0
1
底数的对数是 1
:logaa=
常用对数:lg N=log10N 自然对数lnN=logeN(e=2.718 28…)
对数恒等式: = N
loga(M·N)= logaM+logaN
M
运算性
logaM-logaN
loga
=
a>0,且a≠1,M>0,N>0
2 log3
4
1
loga3=log ,所以
3
0<a<1,所以 log3a<0,所以
3
3 -2
1
1
a=3-2 ,故2 +log9a=a-2+2log3a=(3-2 )
1
3
3 3
+ 2 ×(-2)=3 -4
=
105
.
4
3
log3a=- ,解得
2
变式探究
m
n
m
n
(变条件)本例(1)中,若将条件“2 =9 =6”改为“2 =9
1 0.6
1
=M0·
( ) =M0· 0.6
2
2
≈M0×
1
1.516
≈0.66M0,故选 D.
(2)(2024·湖南长沙模拟)二维码与我们的生活息息相关,我们使用的二维码
主要是21×21大小的,即441个点.根据0和1的二进制编码规则,一共有2441
种不同的码,假设我们1万年用掉3×1015个二维码,那么所有二维码大约可
2.对数值的符号规律:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0,其中
a>0,a≠1,b>0.
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1
3
1.(-3) =
3
-3 =
6
(-3)2 .( × )
2.log2a2=2log2|a|.(
以用( A )(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A.10117万年
B.10118万年
C.10119万年
D.10200万年
解析 因为 1 万年用掉 3×1015 个二维码,则所有的二维码大约能用
第5节 指数与对数运算
课标解读
1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识,掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然
对数或常用对数.
3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.指数及指数运算
概念
根式
于
-1
1
1
=18 ”,试求m
+
1
的值等
n
.
解析 因为 2 =9
m
1
1
1
1
1
1
= ,所以 m=log2 ,n=log9 ,于是 =log 1 2, =log 1 9,因此 +
18
18
18



18
18
n
1
=log 1 2+log 1 9=log 1 18=-1.

18
18
18
[对点训练 1](2024·广东河源检测)已知a 3 = 3 3 81 ,则 a=( C )
数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法
的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(
A.1.5
B.1.2
C.0.8
10
10 ≈1.259)( C )
D.0.6
解析 由题意 L=5+lg V,当 L=4.9 时,有 4.9=5+lg V,lg V=-0.1,
V=
1
正整数指数幂 an=···…·(n∈N+)
整数指
实 数幂
数
指
数
幂 分数指
数幂
n 个
负整数指数幂 a
1
= (a≠0 且
-n
n∈N+)
零指数幂 a0=1(a≠0)


正数的正分数指数幂 =




1


1
= am
正数的负分数指数幂 =
0 的正分数指数幂是 0,0 没有负分数指数幂
83
B.
3
A )
67
C.
3
33
D.
2
解析 (方法一)由 log32lo g 3 =log3(81 3),根据对数的性质可得
1
9
2log3a·
log3a=log334·32 =log332
3
log3a=-2,解得
故选 A.
3
a=3 2 ,故
=
9
2 9
,即(log
3a) = ,因为
2
4
1
1
+log
9a= -3
2

3
0<a<1,于是 log3a<0,故
3
ln 3 2
3
+log93 2 =27+
-
ln9
3
=27+ 2
- ln3
3
=272ln3
4
=
105
,
4
(方法二)由题意,loga81
9
3=2log3a,即2loga3=2log3a,因为
9
1
2 9
·
=2log3a,即(log3a) = ,又因为
2
4
33 -4=42+1-3-4=10.
1
×(34)3 -22
(2)化简
1
b·a 3
1
- 3
b 2·
a -2
a -2 ·
÷(
b -2
ab 2
2
3
-
) (a>0,b>0)=
1

.
1
1 1
-2 -2
-1 -2
-2
2
-2
3
3
2

·

b·a
·
·
1
-3 -3 -3
3
3
2 2
解析 1
÷(
= 1 2÷( 2 ) =ab÷(a b ) =ab÷(a b )=.