2016年上海市嘉定区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）＝．
2．（4分）设集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B ＝．
3．（4分）若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a＝．
4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．
6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．（4分）已知，则cos（30°+2α）＝．
8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．
9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2＝4相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则实数a的值为．
10．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．
11．（4分）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝2，BC＝1，P 是腰AB上的动点，则的最小值为．
12．（4分）已知n∈N*，若，则n＝．13．（4分）对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）＝[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则＝．14．（4分）对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f （x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（5分）下列四个命题：
①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；
③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；
④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．
其中错误命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
17．（5分）已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2＝4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）
A．4B．3C．2D．1
18．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图
②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；
（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α＝60°时，能实现要求吗？请说明理由．
20．（14分）已知x∈R，设，，
记函数．
（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，，求△ABC的面积S的最大值．
21．（14分）设函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若，且函数g（x）＝a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x＝﹣4的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，
求m的值．
（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别
为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S 是否为定值？请说明理由．
23．（18分）设复数z n＝x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．
（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；
（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．
2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）＝．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
2．（4分）设集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B ＝{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＞0，x∈R}＝{x|x＜0或x＞2，x∈R}，
＝{x|﹣1≤x＜1，x∈R}，
∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．
故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．
3．（4分）若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），
则a＝．
【解答】解：∵函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3＝a﹣1，
解得a＝．
故答案为：．
4．（4分）已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2．
【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，
∴，解得m＝10，
∴这组数据的方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2．
故答案为：2．
5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM
与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，
则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），
＝（0，1，2），＝（﹣2，0，2），
设异面直线AM与B1C所成的角为θ，
cosθ＝＝＝．
∴θ＝．
∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．
故答案为：．
6．（4分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r＝1，设圆锥母线为l，则πrl＝2π，∴l＝2，
∴圆锥的高h＝＝．∴圆锥的体积V＝πr2h＝．
故答案为：．
7．（4分）已知，则cos（30°+2α）＝．
【解答】解：∵，
∴cos75°cosα+sin75°sinα＝cos（75°﹣α）＝，
cos（30°+2α）＝cos[180°﹣2（75°﹣α）]
＝﹣cos[2（75°﹣α）]
＝﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]
＝﹣[2×﹣1]
＝．
故答案为：．
8．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．
【解答】解：模拟执行程序，可得
k＝1，S＝0
满足条件k≤2015，S＝，k＝2
满足条件k≤2015，S＝+，k＝3
…
满足条件k≤2015，S＝++…+，k＝2015
满足条件k≤2015，S＝++…++，k＝2016
不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．
由于S＝++…++＝1﹣﹣…+
＝1﹣＝．
故答案为：．
9．（4分）过点P（1，2）的直线与圆x2+y2＝4相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂
直，则实数a的值为．
【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为原点O（0，0），半径等于2，显然点P（1，2）在圆的外部．
过点P能做2条圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，
根据圆心O到kx﹣y+2﹣k＝0的距离等于半径2，可得＝2，求得k＝0，或k＝﹣．
当k＝0时，过点P（1，2）的直线斜率为零，故与之垂直的直线ax﹣y+1＝0的斜率不存在；
当k＝﹣时，过点P（1，2）的直线斜率为﹣，故与之垂直的直线ax﹣y+1＝0的斜率为，
故答案为：．
10．（4分）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲
手中的概率是．
【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法
所有传球方法共有：
甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；
甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；
则共有8种传球方法．
第3次球恰好传回给甲的有两种情况，
∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p＝．
故答案为：．
11．（4分）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝2，BC＝1，P 是腰AB上的动点，则的最小值为3．
【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）
设P（0，b）（0≤b≤1）
则＝（1，1﹣b），＝（2，﹣b），
∴+＝（3，1﹣2b），
∴＝≥3，当且仅当b＝时取等号，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
12．（4分）已知n∈N*，若，则n＝4．【解答】解：∵n∈N*，若，
则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n＝40•2，
即（1+2）n﹣1＝80，∴n＝4，
故答案为：4．
13．（4分）对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）＝[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则＝100．【解答】解：＝，n∈N*，
当n＝1，2，…，9时，a n＝0；
当n＝10，11，12，…，19时，a n＝1；…，
∴S2009＝0+1×10+2×10+…+199×10+200×10
＝10×＝201000，
则＝100．
故答案为：100．
14．（4分）对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f （x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；
即至少有两个实数根；
∴；
∴k＝1+|x|＞1；
由＝﹣x至少有两个不同实数根，
同理可得k＜﹣1．
∴实数k的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若φ＝时，y＝sin（x+φ）＝cos x为偶函数；
若y＝sin（x+φ）为偶函数，则φ＝+kπ，k∈Z；
∴“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，
故选：B．
16．（5分）下列四个命题：
①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；
③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；
④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．
其中错误命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；
在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，
若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；
在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；
在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．
故选：C．
17．（5分）已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2＝4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2＝4x上；
∴设，r＝；
∴圆M的方程为：；
令x＝0，；
∴；
∴y＝y0±2；
∴|AB|＝y0+2﹣（y0﹣2）＝4．
故选：A．
18．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
【解答】解：
令，则t是区间（0，1]内的值，而＝，
所以当n＝1，即t＝1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，
所以该数列既有最大项又有最小项．
故选：C．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图
②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；
（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α＝60°时，能实现要求吗？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，
过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，
在Rt△CDF中，∠FCD＝α，CD＝20cm，DF＝20tanα，
且点F在线段AD上，AF＝30﹣20tanα，
此时容器内能容纳的溶液量为：
S梯形ABCF•20＝•20
＝（30﹣20tanα+30）•20•10
＝2000（6﹣2tanα）（cm3）；
而容器中原有溶液量为20×20×20＝8000（cm3），
令2000（6﹣2tanα）≥8000，
解得tanα≤1，
所以α≤45°，
即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；
（2）如图b所示，当α＝60°时，
过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，
在Rt△CBF中，BC＝30cm，∠BCF＝30°，BF＝10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，
＝BC•BF＝150cm2，
∵S
△ABF
容器内溶液量为150×20＝3000cm3，
倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，
∴不能实现要求．
20．（14分）已知x∈R，设，，
记函数．
（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，，求△ABC的面积S的最大值．
【解答】解：（1）＝
．
当f（x）取最小值时，，，k∈Z，
所以，所求x的取值集合是．
（2）由f（C）＝2，得，
因为0＜C＜π，所以，
所以，．
在△ABC中，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，
得3＝a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，
所以△ABC的面积，
因此△ABC的面积S的最大值为．
21．（14分）设函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若，且函数g（x）＝a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
【解答】（1）解法一：函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x的定义域为R，
f（x）是奇函数，所以f（0）＝k﹣1＝0，即有k＝1．
当k＝1时，f（x）＝a x﹣a﹣x，f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），
则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；
解法二：函数f（x）＝k•a x﹣a﹣x的定义域为R，
由题意，对任意x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），
即k•a﹣x﹣a x＝a﹣x﹣k•a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）＝0，
因为a x+a﹣x＞0，所以，k＝1．
（2）由，得，解得a＝3或（舍）．
所以g（x）＝32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），
令t＝3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，
g（x）＝h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，
当时，则当时，，
解得；
当时，则当t＝m时，，m＝±2（舍去）．
综上，．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x＝﹣4的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．
（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别
为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S 是否为定值？请说明理由．
【解答】解：（1）设P（x，y），
∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x＝﹣4的距离之比为，
∴由题意，，…（2分）
化简得3x2+4y2＝12，…（3分）
∴动点P的轨迹C的方程为．…（4分）
（2）设N（x，y），
则＝
，﹣2≤x≤2．…（2分）
①当0＜4m≤2，即时，当x＝4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）＝1，解得，，此时，故舍去．…（4分）
②当4m＞2，即时，当x＝2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4＝1，
解得m＝1，或m＝3（舍）．…（6分）
综上，m＝1．
（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由，得，（1分），，
∵点A、B在椭圆C上，∴，，
∴＝，化简得．…（2分）
①当x1＝x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2＝﹣y1，则，
由，得，解得，，
S＝|AB|•|A1B|＝4|x1||y1|＝．…（3分）
②当x 1≠x2时，直线AB的方向向量为，
直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，
原点O到直线AB的距离为
∴△AOB的面积，
∴
＝，∴．
∴四边形ABA1B1的面积为定值．…（6分）
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，…（1分）
∵点A、B在椭圆C上，所以，，
∴＝，化简得．…（2分）
直线OA的方程为y1x﹣x1y＝0，点B到直线OA的距离，
△ABA1的面积，…（3分）
根据椭圆的对称性，四边形ABA 1B1的面积＝2|x1y2﹣x2y1|，…（4分）∴
＝，∴．
∴四边形ABA1B1的面积为定值．…（6分）
解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）由，得，…（1分）
∵点A、B在椭圆C上，所以，，
∴＝，化简得．…（2分）
△ABA1的面积＝|x1y2﹣x2y1|，…（3分）
∴
＝，∴．
∴四边形ABA1B1的面积为定值．…（6分）
23．（18分）设复数z n＝x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1＝（1+i）•z n，z1＝3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．
（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；
（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．
【解答】本题（18分），第1小题（4分），第2小题（6分），第3小题（8分）．解：（1）z2＝（1+i）（3+4i）＝﹣1+7i，z3＝﹣8+6i，z4＝﹣14﹣2i．…（4分）（算错一个扣（1分），即算对一个得（2分），算对两个得3分）
（2）若∥，则存在实数λ，使得，故z n＝λ•z1，
即（x n，y n）＝λ（x1，y1），…（3分）
又z n+1＝（1+i）z n，故，即（1+i）n﹣1＝λ为实数，…（5分）
故n﹣1为4的倍数，即n﹣1＝4k，n＝4k+1，k∈N．…（6分）
（3）因为，故x n+4＝﹣4x n，y n+4＝﹣4y n，…（2分）
所以x n+4y n+4＝16x n y n，…（3分）
又x1y1＝12，x2y2＝﹣7，x3y3＝﹣48，x4y4＝28，
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
＝（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）＝，…（6分）
而，，…（7分）所以数列{x n y n}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100＝1+2102．…（8分）。