勾股定理的逆定理

【考纲说明】
1. 1. 定理的内容要彻底理解并熟练掌握
2.要熟练把理论知识应用到具体做题中
3.在中考题中，常以选择题、填空题单独出现，或结合三角形的其他知识以大题的形式考察，一般在3-10分左右【知识梳理】
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222
+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足
a b c
222
+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）
a c b
2：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
【经典例题】
1．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．
A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，41
2．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）．
A．8个 B．10个 C．11个 D．12个
3．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（）；
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4. 若三角形三边分别为6,8,10，则它最长边上的高为（）
A.6
B.8
C.4.8
D.2.4
5. 将直兔三角形的三条边部扩大同样的倍数后，得到的三角形是( )
A.仍为直角只角形
B.可能为片角三角形
C.可能为锐角兰角形
D.无法确定
6.若一个三角形的三条边长分别是n+1,n+2,n+3，当n=_____________时，此三角形为直角三角形.
7.在Rt ABC ∆中，三边组成勾股定理，并且是不超过10的三个连续的偶数，则Rt ABC ∆的周长为 ______________.
8. 已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．
9. 在ABC ∆中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_______________.
10.园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=3米,BC=4米，CD= 12米，DA= 13米，且AB ⊥BC ，这块草坪的面积是多少？
11. 如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且14
CE BC =，求证：AEF ∆为直角三角形.
【课堂练习】
1..三角形的三边长分别为2222,2,a b ab a b +-（a b 、都是正整数）则这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形 C 锐角三角形 D.不能确定
2. 1.观察下列几组数据:(1)8，15，17;(2)7，12，15;(3)12，15，20;
(4)7，24，25.其中能作为直角三角形三边长的有（ ）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
3．三角形的三边长满足22
()2a b c ab +=+,则这个三角形是( )
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形 C.锐角三角形
.4. 若一个三角形的三边长为6,8、x ，则使此三角形是直角三角形的x 值是（ ）
A.8
B.10
C. 或5. 设a b >，如果a b +，a b -是三角形较小的两条边，当第三边等于_____________时，这个三角 形为直角三角形.
6. 传说，古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角，现有一根长24厘米的绳子，请你利用它拉出一个周长为24厘来的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为____________厘米，___________厘米，___________厘米，其中的道理是______________________.
7. 如图(1)所示是一块地,已知AD=8米,CD=6米.∠D=90°，AB=26米.BC=24米，求这块地的面积.
8. 如图18－2－5，在ABC ∆中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求ABC ∆的周长和面积．
9. 已知ABC ∆中，AB ＝17 cm ，BC ＝30 cm ，BC 上的中线AD ＝8 cm ，请你判断ABC ∆的形状，并说明理由 ．
图
2 【课后练习】
1. 5．在同一平面上把三边BC ＝3、AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ）. A.125 B.135 C.56 D.245
2．如图1，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对
3．已知，如图2，在长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）．
A ．6cm 2
B ．8cm 2
C ．10cm 2
D ．12cm 2
4. 如图4，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于
5.如果ABC ∆的三边长,,a b c
满足关系式2(260)180a b b +-+-=，在ABC ∆是_________三角形。

6．一种机器零件的形状如图18－2－6，规定这个零件中的∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm ），这个零件符合要求吗
7.已知，如图四边形ABCD 中，90B ο
∠=，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD 的面积. 图 1 图4
底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：8.如图，等腰ABC
当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直.
9.如图(1)，A，B，C，D是四个小城镇，除BC外其他之间都有笔直的公路相连.已知AB=10 km，AC=11 km，AD=6km，BD=8 km.，为了B，C间的交通方便，拟修建一条公路，求这条公路的最短距离。