高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件

b，c，已知 asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－14，则bc＝
()
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－ b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ b2＋c2－（2b4cc2＋b2）＝－2b3cc2＝－14，∴ bc＝6.故选A.
12/11/2021
(2)由题设及(1)知△ABC
的面积
S△ABC＝
3 4 a.
由(1)知 A＋C＝120°，
由正弦定理得 a＝cssiinnCA＝sin（1s2i0n°C－C）＝2tan3 C＋12.
由于△ABC 为锐角三角形，故 0°<A<90°，0°<C<90°.
结合 A＋C＝120°，得 30°<C<90°，
(1)高考对此部分的考无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考 查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11 或第14～16题位置上．
(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角 形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度 中等．在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行 考查(近三年文科多考“数列”)．
Acos B＋sin Bcos cos Acos B
A，
∴sin3A＝co1s A，则tan A＝ 3， π
又0<A<π，∴A＝ 3 .
12/11/2021
(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7， 得cos∠BDC＝252＋ ×93－ ×459＝－12， 又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝2π 3 .
π 又A＝ 3 ，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.
即
cos sin
θ＝54，
θ≠35，
又sin2θ＋cos2θ＝
1，所以sin
θ＝－
3 5
，所以tan
θ＝－
3 4
，于是tan
θ－π4
＝
tan
θ－tan
π 4
1＋tan θtanπ4
＝
1＋－－34－43×1 1＝－7. 12/11/2021
答案：A
3．(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈ －π6 ，π12 ，且2sin2θ＋
给值 求值
给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及 函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某 些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式， 便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目 的
给值 求角
实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该 函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围
∴cos(α－β)＝31010，cos α＝255，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝255×31010＋ 55×－ 1100＝ 22，
π
β ∴ ＝ 4 . 12/11/2021
[答案]
(1)B
(2)C
[解题方略] 三角函数求值的类型及方法
第2讲 三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
诱导公式及两角和的 正切公式·T7
二倍角公式的应用·T11
正、余弦定理的应 用·T11
正弦定理的应用·T15
正弦定理的应用
及三角形面积计 算·T18
三角函数的定义及恒 等变换·T11
二倍角公式及余弦定 理·T7
二倍角公式·T4
给角 求值
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换， 注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍 半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的 三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数； 二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特 征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形
12/11/2021
[变式2] 若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝ 3 ，求AD的取值 范围．
解：∵S△ABC＝12AD·BC＝12bcsin A， ∴AD＝12bc. 由余弦定理得cos A＝12＝b2＋2cb2c－a2≥2b2cb－c 3， ∴0<bc≤3(当且仅当b＝c时等号成立)， ∴0<AD≤32，即AD的取值范围为0，32.
12/11/2021
[解析] 如图，设经过 x 小时后，甲船行驶到 D 处，
乙船行驶到 C 处，则 AD＝4x，BC＝6x，则 BD＝10－ 4x，由余弦定理得，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－
4x)×6xcos 120°＝28x2－20x＋100＝28x－1542＋6775. 若甲船行驶 2.5 小时，则甲船到达海岛 B，因而若 x<2.5，则当
2018
正、余弦定理及三角 形面积公式·T16
诱导公式及三角恒等变 换·T15
三角形的面积公
式及余弦定 理·T11
三角恒等变换、正弦
三角恒等变换求
2017
定理解三角形·T11 三角恒等变换求值问
利用正、余弦定理解三 角形·T16
值问题·T4 利用正弦定理解
12/11题/202·1 T15
三角形·T15
12/11/2021
[变式1] 若本例(2)变为：a＝ 3，求b＋c的取值范围． 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得b2＋c2－3＝bc， 即(b＋c)2－3＝3bc≤34(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号， ∴b＋c≤2 3， 又由两边之和大于第三边可得b＋c> 3， ∴b＋c∈( 3，2 3]．
12/11/2021
[解题方略] 正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对 角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三 边”应采用余弦定理．
[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统 一函数、统一结构”．
12/11/2021
题型二 利用正、余弦定理进行面积计算 [例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边
π 3
∈
π
0，
2
，则tan
π
2θ＋
3
＝
4 3
，所以
π
π
tan2θ＋π12＝tan2θ＋π3 －π4 ＝1t＋anta2nθ＋2θ3＋π－3 ttaann4π4 ＝17.
答案：1
7 12/11/2021
考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算 [例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
答案：A
12/11/2021
π 2．(2019·河南期末改编)在△ABC中，B＝ 3 ，AC＝ 3 ，且
cos2C－cos2A－sin2B＝－ 2sin Bsin C，则C＝________， BC＝________． 解析：由 cos2C－cos2A－sin2B＝－ 2sin Bsin C，可得 1－sin2C －(1－sin2A)－sin2B＝－ 2sin Bsin C，即 sin2A－sin2C－sin2B ＝－ 2sin Bsin C．结合正弦定理得 BC2－AB2－AC2＝－ 2·AC·AB，所以 cos A＝ 22，A＝π4 ，则 C＝π－A－B＝51π2 . 由siAnCB＝siBnCA，解得 BC＝ 2.
aco3scB＝tan A＋tan B． (1)求角A的大小； (2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.
12/11/2021
[解] (1)∵在△ABC中，aco3scB＝tan A＋tan B，
∴sin3AsicnosCB＝csions AA＋csions BB，
即sin3AsicnosCB＝sin
分别为a，b，c.已知asinA＋2 C＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的
取值范围．
12/11/2021
[解] (1)由题设及正弦定理得 sin AsinA＋2 C＝sin Bsin A． 因为 sin A≠0，所以 sinA＋2 C＝sin B． 由 A＋B＋C＝180°，可得 sinA＋2 C＝cosB2， 故 cosB2＝2sinB2cosB2. 因为 cosB2≠0，故 sinB2＝12，因此 B＝60°.
所以12<a<2，从而
3 8 <S△ABC<
3 2.
因此，△ABC 面积的取值范围是 83， 23.
12/11/2021
[解题方略] 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般 是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理 进行边和角的互化．
12/11/2021
考点一 三角恒等变换
[例 1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知 15sin θ＝cos(2
π－θ)，则 tan 2θ＝
()
A．－
15 7
15 B. 7
C．－
15 8
15 D. 8
(2)已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β均为锐角，则
角 β 等于
x＝154时距离最小，且最小距离为 6775＝15721，若 x≥2.5，
则 BC≥6×2.5＝15>15721，因而当两船相距最近时，两船行驶
的时间为154小时．
[答案]
5 14
12/11/2021
[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤
12/11/2021
[跟踪训练]
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
三角形面积公式还可用其它几何量表示S＝
1 2
(a＋b＋c)r，
其中a＋b＋c为三角形的周长，r为三角形内切圆的半径．
12/11/2021
题型三 正、余弦定理的实际应用 [例4] 甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时
的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向 北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为 ________小时．
12/11/2021
[跟踪训练]
1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝
A．－2－ 3
B．－2＋ 3
C．2－ 3
D．2＋ 3
()
解 析 ： tan 255°＝ tan(180°＋ 75°) ＝ tan 75°＝ tan(45°＋ 30°) ＝
1t－anta4n5°4＋5°ttaann3300°°＝11－＋
以tan
2θ＝
sin cos
2θ 2θ
＝
2sin θcos θ cos2θ－sin2θ
＝
2sin θ· 15sin θ （ 15sin θ）2－sin2θ
＝
715，故选B.
12/11/2021
(2)∵0<α<π2 ，0<β<π2 ，
π
π
∴－ 2 <α－β< 2 .
∵sin(α－β)＝－ 1100，sin α＝ 55，
答案：5π 12 12/11/2021
2
3．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c，已知 a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)．
(1)求角 C；
(2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长． 解：(1)由 a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，
3 33＝2＋ 3
3.故选 D.
答案：D
12/11/2021
2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝
cos
θ－45
＋
sin
θ－35 i是纯
虚数(i为虚数单位)，则tanθ－π4 的值为
()
A．－7
B．－17
C．7
D．－7或－17
解析：由复数z为纯虚数，得
cos sin
θ－45＝0， θ－35≠0，
3sin 2θ＝－15，则tan2θ＋π12＝________．
解析：由2sin2θ＋ 3sin 2θ＝－15，得1－cos 2θ＋ 3sin 2θ＝－15，得
cos 2θ－
3 sin
2θ＝
6 5
，2cos
π
2θ＋
3
＝
6 5
，即cos
π
2θ＋
3
＝
3 5
，又
θ∈
π π － ， 6 12
，所以2θ＋
得 a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即 a2＋b2－c2＝ab.
()
5π A. 12
π B． 3
π C. 4
π D. 6
12/11/2021
[解析] (1)法一：由 15sin θ＝cos(2π－θ)，得 15sin θ
＝cos
θ，所以tan
θ＝
1155，则tan
2θ＝1－2tatannθ2θ＝1－2×
15 11552＝ 15
715，故选B.
法二：由 15sin θ＝cos(2π－θ)，得 15sin θ＝cos θ，所