高三理科数学第二轮专题复习课件：重点突破专题专题四第2讲空间中的平行与垂直

重点突破专题
专题四立体几何
第2讲空间中的平行与垂直
Z做育题亲临耳損
［真题再现］
1・（2018-课标丨丨）在长方体ABCD-AiBiCjD 1中，AB= =书,则异面直线AD与所成角的余弦值为（
1
A亏・・・》»»=1，AA[
C・5
［解析］方法1：如图⑴，在长方体ABCD-A{B{C{D{的一侧补上一个相同的长方体4' B' BA-A{'54.连接B{B',由长方体性质可知,BR //AD［9所以ZDBR为异面直线AD1与DB1所成的角
或其补角.连接DB',由题意，得DB' =^12 + (1 + 1)2=^5, B f B{
羽)2 = 2, DB[=^12+12+(V3)2=A/5.在△DB，5中，由余弦定理，得M 2=B f B\+DB\-2B f
B[ DBi-cos ZDB[B r ,
即 5 = 4+5 —2X2伍osZDBB ,
••• cosZDB{B f =专•故选C・图⑴
方法2：如图(2),分别以D4, DC,
DD所在直线为x，y，
z轴建立空间直角坐标系.
由题意,得4(100), £>(0,0,0), 0（0,0,羽），
图⑵5（1」，书）21 = （—1,0,羽），DB1 =
（1,1,
•••伯・切1 = —lXl+0Xl + （羽）2 = 2, 肋］| = 2, 1场1=逅. /E E \ AZ>1・Z^1 2 远比、牛
..cos （AZ）1，DB X） = ------------- •故选C.
肋11・1场1 2弋55
［答案］C
尺2,（2°1&浙江）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段M上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为久SE 与平面佔CD所成的角为g,二面角S-4B-C的平面角为务，则（）
A.勺WEWg
B. EW02W01
C.崇豪&2
D.輕衣倂
［解析］如图，不妨设底面正方形的边长为2, E为AB±靠近点A 的四等分点，E'为也的中点，S到底面的距离阳=1,以耐，E，O为邻边作矩形OO, EE f ,
则ZSEO r =0], ZSEO=329 ZSE f O=03.
Q —S0_ 1 - 2 tan %-而-逅-肩T 由题意,
tan。

3 = 1，此时，tan ^2<tan ^3<tan 0\, 可得02<&3<。

1・
当E在AB中点处时，02=&3=&I.故选D. ［答案］D
3. (2018-课标I)如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3, Z ACM=90°.以AC为折痕将dlCM折起，使点M到达点D的位置，且丄D4・
(1)证明：平面ACD丄平面ABC；
(2)0为线段AD±一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=jDA,
求三棱锥Q-ABP的体积.
懈］(1)证明：由已知可得，ZBAC=90°9即B4丄AC.又B4丄AD,所以AB丄平面ACD
又ABU平面ABC,
所以平面ACD丄平面ABC.
(2)解：由己知可得，DC=CM=AB=39 DA = 3&・
2
又BP=DQ=qDA,所以BP=2边.
如图，过点Q作0E丄AC,垂足为E,贝ij QE ^|D C・
D
由已知及(1)可得，DC丄平面ABC,所以0E丄平面ABC, QE=1. 因此，三棱锥Q-ABP的体积为
1 = 1.
4. （2018-课标II）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2\l29 PA =PB=PC=AC=49 O 为AC 的中点.
(2)若点M在棱BC±,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
［解］(1)证明：因为AP=CP=AC=4, 0为AC 的中点，所以OP 丄AC, OP=2\f3.
如图，连接OB 因为AB=BC=^AC,所以厶4
肌
?为等腰直角三 角形，且 OB 丄AC, OB=^AC=2.
由 OP 2+OB 2=PB 2 OP LOB .
由O P±OB. OP 丄AC 知，PO 丄平面ABC.
c
(2)解：如图，作CH 丄0M,垂足为又由⑴可得0P 丄CH,所 以CH 丄平面POM.
故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.
1 9
由题设可知 0C=^C=2, CM=$BC=+，ZACB=45O 9 所以
OCMCsinZACB OM
=響•所以点c 到平面POM 的距 4^5
5・
,CH= 离为
5. (2018•课标III)如图，矩形4BCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CZ)上异于c, Z)的点.
(1)证明：平面AMD丄平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PBD?说明理由.
T厂
(2)解：当P为AM的中点时，MC〃平面PBD
证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以0为4C 中点.
连接OP,因为P为4M中点，
所以MC〃OP・
又MCQ平面PBD, OPU平面PBD,
所以MC〃平面PBD
［看透高考］
高考对本节知识的考查主要是以下两种形式;
1・以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础
题.
2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂
直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.
［核心素养］
1・异面直线的性质
(1)异面直线不具有传递性.注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线.
(2)异面直线所成角的范围是(0,打,所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直.
(3)求异面直线所成角的一般步骤为：①____________________
——用平移法；②——转化为在三角形中求解；③由②所求得的角或其补角即为所求.
2.平面与平面平行的常用性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(2)经过平面外一点有且只有__________ 与已知平面平行.
(3)如果两个平面分别______ 于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
(4)
3.证明线面位置关系的方法
(1)证明线线平行的方法：①三角形的中位线等平面几何中的性质；
②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理.
(2)证明线面平行的方法：________________________________
(3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与
平面内的所有直线都垂直；②；
(4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②
【易错警示】
(1)在判断与位置关系相关的真假命题时，可助于常见的几何体模型(长方体、三棱锥等)，会更加直观.
(2)平面几何中的有些结论在立体几何中不一定成立，如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行这个结论在空间中是不成立的.
(3)使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，
缺一不可.
A B D
也I明臺向重点突破…
考向一空间位置关系的判断
【例11
1. （2017-全国卷I ）如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个
顶点，M, N,。

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线
AB与平面MNQ不平行的是（）
A B D
［解析］B选项中9AB//MQ9且ABQ平面MNQ, M0U平面MNQ, 则AB〃平面MAQ； C选项中，AB//MQ,且ABQ平面MNQ, MQU平面MNQ,则AB〃平面MAQ； D选项中，AB//NQ.且AEG平面MN0 NQU平面MAQ,则AB〃平面MAQ•故选A.
［答案］A
2・（2018•株洲一模）如图，平面a丄平面0, 川0=直线厶人C 是a内不同的两点，B, D是0内不同的两点，且A, B, C,直线l，M,"分别是线段Ab CQ的中点.下列判断正确的是（）
B
D
A.当CD=2AB时，M, N两点不可能重合
B.M, N两点可能重合，但此时直线AC与/不可能相交
C.当AB与CD相交，直线AC平行于/时，直线BD可以与/相D・当AB, CD是异面直线时，直线MN可能与/平行
［解析］由于直线CD的两个端点都可以动，所以M, N两点可能重合，此时两条直线AB, CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因^AC//BD,则BDUp,所以由线面平行的判定定理可得AC//P，又因为ACCa, aC0=l,所以由线面平行的性质定理可得AC//1,故应排除答案A, C, D,故选B.
［答案］B
【方法提升】
(1)解决空间线面位置关系的判断问题常有以下方法：①根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；②必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.
(2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语言以及
图形语言的相互转换，是解决此类问题的关键.
［题组训练］
1. (2018•泉州模拟)设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面a去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面«()
A.有无数多个
B.恰有4个
C•只有1个 D.不存在
［解析］如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD
相交，可设两组相交平面的交线分别为加，n,由加，斤决定的平面为伤作a与0平行且与四条侧棱相交，交点分别为Ai，Bi，Cp Dp则
由面面平行的性质定理得A15〃比〃CQi，AiD〃加〃B］Ci，从而得截
面必为平行四边形.由于平面么可以上下平移，可知满足条件的平面a
有无数多个.故选A.
［答案］A
B
2. （2018-r西名校联考）己知m, I是直线，a, 0是平面，给出下列命题：
①若/垂直于贝畀垂直于a内的所有直线
②若/平行于弘贝驭平行于Q内的所有直线
③若/U”，且/丄a,则a丄0
④若mUa, IU/3,且则m//1
其中正确的命题的个数是（）
A. 4 B・3 C・2 D・1
［解析］对于①，由线面垂直的定义可知①正确；
对于②，若/平行于a内的所有直线，根据平行公理可得：a内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；
对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；
对于④，若mUa, IU®,且a//p,则直线/与加无公共点，与加平行或异面，故④错误；
故选C.
［答案］C
考向二平行与垂直的证明与体积
【例2】
(2017•课标II)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面BAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC=^AD, ZBAD= ZABC=90°.
(1)证明：直线BC〃平面
⑵若△B4D面积为2曲，求四棱锥P—ABCD的体积.
［解析］(1)证明：在平面ABCD内，因为ZBAD=ZABC= 90。

，所以BC//AD又平面明D A"平面明D,故BC//平面
PAD.
P
(2)取AD的中点M,连结PM, CM,由AB=BC= | ADRBC// AD. ZABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM丄AD
因为侧面为等边三角形且垂直于底面ABCQ,平面B4DQ平
^ABCD=AD.所以PM丄AD, PM丄底面ABCD,因为CMU底面ABCD,所以PM丄CM.
设BC=x,则CM=x. CD= PM=\[3x. PC=PD=2x.取
CD的中点N,连结PN,则PV丄CD,所以
因为APCD的面积为2申,所以jx^2xX^x=2^7,解得尸2（舍去），x=2,于^AB=BC=2, AD=4, PM=2书,所以四棱锥P - ABCD 的体积V吕X 2（22*~4）X 2^3=4^3.
面面垂直的性质 【方法提升】
(1)平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性
质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化
.
_______________ 面面平行的判定 ________________
I~~[ [~~ 线线I 线面平行的判定」线面I 面面平行的判定」面面
平行I 、线面平行的性质I 平行I'面面平行的性质I 平行
t _____________ I 面面平行的性质
_______________ 面面垂直的判定 ________________
I~~[ [~~
线线I 线面垂直的判定」线面I 面面垂直的判定」面面
垂直 '线而垂直的性质 垂直 '面面垂直的性质 垂直
(2)数学思想
①本例在证明线线垂直、线面平行时，采用了转化与化归思想.
②利用转化与化归思想还可以解决本专题中的线面其他位置关系.
(3)求解多面体的体积问题，如最值问题、高的问题、点面距离
的问题，一般利用公式法、等体积法、割补法、函数与方程的思想求解.
［题组训练］
（2018-重庆市巴蜀中学三模）如图，平面ABCD丄平面ADEF,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为矩形，M, N分别是EF, BC的中点，AB = 2AE ZCBA = 60°.
①求证：DM丄平面MNA；
②若三棱锥A-DMN的体积为*,求MN的长.
①［证明］连接AC,在菱形ABCD中，ZCBA = 60°,且
•••△ABC为等边三角形，又TN为BC的中点，
:.AN±BC99：BC//AD.
:.AN丄AD,又•••平面ABCD丄平面ADEF,平面ABCDQ平面ADEF=AD, ANU平面ABCD, :.AN丄平面ADEF,又DMU 面ADEF, :.DM 丄AN.T在矩形ADEF中，AD = 2AF.M为EF 的中点,AAMF 为等腰直角三角形…・・ZAMF=45。

，同理可证ZDA/E=45°, :.ZDMA = 90°, :.DM丄AM,
又9：AMHAN=A.且AM, ANU平面MNA, :.DM丄平面MAS。

②设AF=x.则AB=2AF=2x.在RtAABN中，AB=2x, BN=x, Z ABN =60%
•: AN=\[3x, /. S HADN =|X2X X书X=书x2.
•••平面ABCD丄平面ADEE AD为交线，阳丄AD, .••E4丄平面ABCD,
设％为点M到平面ADN的距离，贝\\h=AF=x, :.V M-ADN=^XS
=\)AN2^AM2=y]5.
考向三空间几何中的翻折问题
【例3】
（2018-海淀二模）己知长方形ABCD中，AD=© AB=2, E为AB 的中点.将△ADE沿DE折起到△PDE,得到四棱锥P-BCDE, 如图所示.
(1)若点M为PC的中点，求证：BM〃平面PDE；
⑵当平面PDE丄平面BCDE时，求四棱锥P—BCDE的体积;
(3)求证：DE丄PC.
［解析］(1)证明：取DP中点F,连接EF, FM.
所以FM^DC.
又EB統*DC,所以FM,狹EB,所以四边形FEBM是平行四边形, 所以BM〃EF・
又EFU平面PDE, 平面PDE.。