新编(人教版)高中数学选修1-1课后提升作业十2.1.2.1含解析

| 最小
【解析】 (1)由题意知
解得 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2) 设 P(x0,y0),且 + =1, 所以 | |2=(x 0-m) 2+
= -2mx 0+m 2+12
= -2mx 0+m 2+12= (x 0-4m) 2-3m2+12.
所以 | |2 为关于 x0 的二次函数 ,开口向上 ,对称轴为 x0=4m.
1 .
4
a2
bc b2 c2
1 b，
2
7.(2016 ·衡水高二检测 ) 已知 F1,F 2 是椭圆的两个焦点 , 满足 · =0
的点 M总在椭圆内部 , 则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.
C.
D.
【解析】 选 C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a,b,c, 因为
· =0,
F1BF2 的外接圆方程为 (
)
A.x 2+y2=1
B.(x-1) 2+y2=4
C.x 2+y2=4
D.x 2+(y-1) 2=4
【解析】 选 A. 由 2x2+y2=2 得 x2+ =1, 所以 b=1,c=1.F 1(0,-1),F 2(0,1),
取 B(1,0), 故△F1BF2 外接圆方程为 x2+y2=1.
以 c2≤b2=a2-c 2≤3c2, 即 ≤e2≤ , 所以 ≤e≤ .
二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分)
9.(2016 ·台州高二检测 ) 若椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F 2(4,0), 点 P 在椭
圆上 , 且△ PF1F2 的最大面积是 12, 则椭圆的短半轴长为 ________.
程为 x= .①
因为 BC 的中点为
,k BC=-b,
所以 BC 的垂直平分线方程为 y- =
.②
由① ,②联立 ,得 x= ,y= ,即 m= ,n= .
因为 P(m,n) 在直线 x+y=0 上,所以 + =0,
可得 (1+b)(b-c)=0,
因为 1+b>0, 所以 b=c, 结合 b2=1-c 2 得 b2= ,
所以 M 点的轨迹是以原点 O 为圆心 ,半焦距 c 为半径的圆 .
又 M 点总在椭圆内部 ,所以该圆内含于椭圆 ,即 c<b,c 2<b2=a2-c2,故 e2< ,
所以 0<e< .
8. 椭圆 M: + =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F 2,P 为椭圆 M上任一
点, 且 · 的最大值的取值范围是 [c 2,3c 2], 其中 c= 圆 M的离心率 e 的取值范围是 ( )
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课后提升作业 十
椭圆的简单几何性质
(45 分钟 70 分)
一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 40 分)
1. 椭圆 (m+1)x 2+my2=1 的长轴长是 (
)
A.
B.
C.
D.-
【解析】 选 C.椭圆方程可简化为 + =1, 由题意知 m>0,所以 < ,
所以 a= , 所以椭圆的长轴长 2a= .
从而 a2=4. 所求方程为 +y 2=1.
【补偿训练】 已知椭圆 C的中心在原点 , 一个焦点为 F(-2,0), 且长轴长
与短轴长的比是 2∶ . (1) 求椭圆 C的方程 .
(2) 设点 M(m,0)在椭圆 C的长轴上 , 点 P是椭圆上任意一点 . 当| 时, 点 P恰好落在椭圆的右顶点 , 求实数 m的取值范围 .
2. 已知椭圆 C的左、右焦点的坐标分别是 (- ,0),( ,0), 离心率是 ,
则椭圆 C 的方程为 ( )
A. +y2=1
B.x 2+ =1
C. + =1
D. + =1
【解析】 选 A. 因为 = ,且 c= ,
所以 a= ,b=
=1,
所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.
3. 已知椭圆 2x2+y2=2 的两个焦点为 F1,F 2, 且 B 为短轴的一个端点 , 则△
识求解椭圆的标准方程 .
【解析】 设椭圆方程为 + =1(a>b>0),M(x,y) 为椭圆上的点 ,由 = 得
a=2b,|PM| 2=x 2+
=-3
+4b 2+3(-b ≤y≤b),
若 0<b< ,则当 y=-b 时|PM| 2 最大 ,即
=7, 所以 b= - > ,故矛
盾.
若 b≥,则当 y=- 时,4b2+3=7,b 2=1,
· 取最小值时 |
+ | 的取值为
【解析】 由已知得 a=2,b= ,c=1, 所以 F2(1,0),A 1(-2,0), 设 P(x,y),
则 · =(1-x,-y) ·(-2-x,-y) =(1-x)(-2-x)+y 2. 又点 P(x,y) 在椭圆上 ,所以 y2=3- x2,代入上式 ,
得 · = x2+x+1= (x+2) 2. 又 x∈[-2,2],
当焦点在 y 轴上时 ,a2=4+k,b 2=9, 得 c2=k-5. 由 = = ,得 k=21. 【误区警示】 认真审题 ,防止 丟解 在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时 , 一定要注意椭圆的位置是否
确定 ,若没有确定 ,则应该有两解 .
6.(2016 ·全国卷Ⅰ ) 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中
所以椭圆的方程为 x2+ =1, 即 x2+2y 2=1.
【能力挑战题】
设椭圆的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 离心率 e= , 已知点 P 到这个
椭圆上的点的最远距离为 , 求这个椭圆方程 .
【解题指南】 先设出椭圆的标准方程 , 根据离心率得到 a,b 的关系 , 再设
M(x,y) 为椭圆上的点 , 用两点间距离表示出 |PM|, 最后利用二次函数知
4.F,A 分别为椭圆的一个焦点和顶点 , 若椭圆的长轴长是 6, 且 cos∠
OFA=, 则椭圆的标准方程为 ( )
A. + =1
B. + =1
C. + =1 或 + =1 D. + =1 或 + =1 【解析】 选 D.当焦点在 x 轴上时 ,cos ∠OFA= =
==.
因为 2a=6, 所以 a=3,c=2, 所以 b2=a 2-c 2=9-4=5.
由题意知 ,当 x0=4 时,| |2 最小 , 所以 4m≥4,所以 m≥1.
又点 M(m,0) 在椭圆长轴上 ,所以 1≤m≤4.
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在△PF 1F2 中,由余弦定理可知 ,
4c2=m2+n 2-2mncos60 °=(m+n) 2-3mn
=4a 2-3mn ≥4a 2-3 ·
=4a 2-3a2பைடு நூலகம்a 2(当且仅当 m=n 时取等号 ).
所以 ≥,即 e≥.
又 0<e<1, 所以 e 的取值范围是
.
(2) 由(1)知 mn= b2,所以
所以当 x=-2 时, · 取得最小值 . 所以 P(-2,0), 求得 | + |=3. 答案 :3 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分) 11. 已知 F1,F 2 是椭圆的两个焦点 ,P 为椭圆上一点 , ∠F1PF2=60° . (1) 求椭圆离心率的范围 . (2) 求证: △F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关 . 【解析】 (1)不妨设椭圆方程为 + =1(a>b>0), |PF 1|=m,|PF 2|=n, 则 m+n=2a.
= mnsin60 °= b2,
即△PF 1F2 的面积只与短轴长有关 . 12. 已知椭圆 x2+ =1(0<b<1) 的左焦点为 F, 左、右顶点分别为 A,C, 上顶
点为 B, 过 F,B,C 三点作☉ P, 且圆心在直线 x+y=0 上, 求此椭圆的方程 .
【解题指南】 根据圆的性质 , 得圆心 P 为 FC的垂直平分线与 BC的垂直
【解析】 设 P 点到 x 轴的距离为 h,则
= |F1F2|h,
当 P 点在 y 轴上时 ,h 最大 ,此时
最大 .
因为 |F1F2|=2c=8, 所以 h=3, 即 b=3.
答案 :3
10.(2016 ·嘉兴高二检测 ) 已知椭圆 + =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2,
点 P 为该椭圆上一动点 , 则当 __________.
, 则椭
A.
B.
C.
D.
【 解 析 】 选 B. 设 P(x,y),F 1(-c,0),F 2(c,0),
则
=(-c-x,-y),
=(c-x,-y),
· =x2+y2-c 2. 又 x2+y2 可 看 作
P(x,y) 到原点的距离的平方 , 所以 (x 2+y2) max=a2, 所以 (
· ) max=b2, 所
平分线的交点 , 因此分别算出 FC,BC的垂直平分线方程 , 得到它们的交点 , 代入直线 x+y=0 解出 b2, 即可得出此椭圆的方程 .
【解析】设圆心 P 的坐标为 (m,n), 因为 ☉P 过点 F,B,C 三点 ,所以圆心 P
既在 FC 的垂直平分线上 ,也在 BC 的垂直平分线上 ,FC 的垂直平分线方
所以椭圆方程为 + =1,
同理 ,当焦点在 y 轴上时 ,椭圆方程为 + =1. 5. 椭圆 + =1 的离心率为 , 则 k 的值为 ( )
A.-21 C.- 或 21
B.21 D. 或 21
【解析】 选 C.当椭圆的焦点在 x 轴上时 ,a2=9,b 2=4+k,
得 c2=5-k. 由 = = ,得 k=- ;
心到 l 的距离为其短轴长的 1 ，则该椭圆的离心率为 ( )
4
1
1
2
3
A.
B.
C.
D.
3
2
3
4
【解析】 选 B. 设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
=1(a>b>0)
，右焦点
F(c,0) ，
则直线 l 的方程为 x y =1，即 bx+cy-bc=0 ，由题意可知
cb
又 a2=b2+c 2，得 b2c2= 1 b2a2，所以 e= c