高三数学双曲线试题

高三数学双曲线试题
1.已知双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数，.可得.假设渐近线与函数的切点为.则渐近线
的斜率为所以可得.解得.所以可得.又因为.
即可解得.故选D.
【考点】1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想.
2.已知双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点坐标为，由题意知，故双曲线的方程为，因此双曲线的渐近线方程为，故选D.
【考点】1.双曲线与抛物线的几何性质；2.双曲线的渐近线
3. [2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
【答案】9
【解析】由双曲线方程知a＝4.又e＝＝，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.
4.已知离心率为2的双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，
则="____________" ．
【答案】
【解析】由题意可得m+n=1，，解得m=，n=，所以=
【考点】双曲线和抛物线的性质．
5.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率
是
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，
因为,所以,所以，所以
又，所以，，所以
故选B.
【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.
6.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是()
A．x2=4y B．x2=-4y
C．y2=-12x D．x2=-12y
【答案】D
【解析】由题意,得c==3.
所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).
所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.
7.已知F
1、F
2
为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F
1
PF
2
=60°，则|PF
1
|•|PF
2
|=
（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】法1．由余弦定理得
cos∠F
1PF
2
=
∴|PF
1|•|PF
2
|=4
法2；由焦点三角形面积公式得：
∴|PF
1|•|PF
2
|=4；
故选B．
8.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程
为．
【答案】
【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.
【考点】双曲线的性质
9.已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】椭圆的左焦点为，双曲线的渐近线为，即，由题意，解得，双曲线的半焦距为，双曲线离心率为．
【考点】双曲线的性质，椭圆的性质，直线与圆相切．
10.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为．
【答案】4
【解析】由题意，，，解得．
【考点】双曲线的离心率．
11.双曲线的左、右焦点分别为，若为其上一点，且，
，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,那么在中，根据余弦定理得：
,,整理得：,,故选C.
【考点】1.双曲线的定义；2.余弦定理.
12.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由a2+5=9得a2=4,
∴a=2,∴e==.故选C.
13.己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线
的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）
A．+1B．2C．D．－1
【答案】A
【解析】
由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此
又因为，所以.
【考点】抛物线通径的应用
14.已知双曲线（，），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】画出图形，根据双曲线的对称性及，可得是等腰直角三角形（不妨设点在第一象限），平分角，所以，即（因为由得到，所以），所以，整理得，解得．由双曲线，可得，故选D．
【考点】离心率双曲线
15.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]
【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应
在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，
∴c2－a2≤3a2，则c2≤4a2，故1<e≤2.
16.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()．
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0，
故所求距离为＝.选B.
17.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.
【答案】
【解析】不妨设顶点为 ,一条渐近线为即,点直线的距离为.
【考点】1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.
18.双曲线y2=1的离心率e= ；渐近线方程为。

【答案】
【解析】由双曲线方程可知，所以，所以离心率。

渐近线方程为即。

【考点】1.双曲线的离心率；2.双曲线的渐近线
19. P是双曲线上的点，F
1、F
2
是其焦点，且，若△F
1
PF
2
的面
积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，在中有，
，由双曲线定义知，且，代入得，，故，则离心率为
【考点】1、勾股定理；2、三角形的面积；3、双曲线的简单几何性质.
20.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，也是双曲线的一个焦点，所以，解得，所以
该双曲线的离心率是：.
【考点】1.抛物线的图像与性质；2.双曲线的图像与性质
21.已知双曲线的离心率是，则的值是 .
【答案】.
【解析】由题意知，双曲线的离心率，解得.
【考点】双曲线的离心率
22.已知双曲线的渐近线为，则双曲线的焦距为( )
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】∵双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为，结合双曲线的渐近线为，
可得（舍负），∴双曲线的方程为，得，
所以，双曲线的焦距，
故选A.
【考点】双曲线的几何性质
23.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，设，则，即直线
是双曲线的一条渐近线，将直线化为一般式得，则有
，化简即得，由于，解得，即，设双曲线的焦距为
，设，则，，故双曲线的离心率
.
【考点】双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系、点到直线的距离
24.已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条
渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双曲线右支交于点．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）求面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）18．
【解析】（Ⅰ）由题设，，，设双曲线的一条渐近线方程为：，与右准线的交点，则，∴，
所求双曲线的方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，设直线的方程为，
由，设，则
，且
，
∴
，令，∴
，而在上为减函数，∴当时有最大值1，面积的最小值为18．
【考点】本题考查了双曲线的方程及直线双曲线的位置关系
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式
25.．若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距
离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2)B．(2,+)C．(1,5)D．(5,+)
【答案】B
【解析】因为双曲线到右焦点的距离为,整理后得
.
26.已知P是双曲线上一点，F
1、F
2
是左右焦点，⊿P F
1
F
2
的三边长成等差数列，
且∠F
1 P F
2
=120°，则双曲线的离心率等于
【答案】
【解析】∠F
1 P F
2
=120°，最长，，，
，
即,
所以.
27.过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′="2" OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2
即9a2+a2=4c2
⇒所以离心率e="c" /a = 故答案选A．
28.双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离
心率的取值范围是 ( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设右支上存在一点P，使P到右焦点F
的距离等于它到左准线的距离.根据双曲线的第
2
二定义，则
29.在平面直角坐标系中，已知△的顶点和，顶点在双曲线的
右支上，则等于 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知-BC+AB=2a=10，
c=6，sinB/ sinA-sinC ="AC/(-" BC+AB) ="-2c" /2a ="-6" /5
所以答案选B
30.如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|=（）
A．1B．C．D．2
【答案】A，
，则利用双曲线的定义，可知
【解析】解：由题意可知，|PM|=|FM|,设双曲线的右焦点为F
1
|P F
|=2|OT|,利用线圆相切，得到FT=5，OT=1，所以|MO|—|MT|=1
1
31.已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为的正方形．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过的直线交于、两点，线段的中点为，问是否能成立？若
成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）依题意知的两条渐近线相互垂直，且点到任一条渐近线的距离为，
故双曲线的方程为．
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：
当直线的斜率不存在时，结论不成立
当直线斜率存在时，设其方程为，并设、
由知
则
故
这不可能
综上可知，不存在这样的直线．
【解析】略
32.已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的渐近线方
程为____________________.
【答案】
【解析】此题考查双曲线、椭圆性质的应用；由已知得椭圆的焦点是，
所以双曲线的焦点在轴上，又因为双曲线的离心率为2，即，所以渐近线方程为；
33.已知棱长为2的正方体中，为的中点，P是平面内的动点，且满足条件，则动点P在平面内形成的轨迹是（）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
【答案】D
【解析】以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系
则，所以
因为是平面内的动点，所以设
因为，所以，即
化简可得，其轨迹为圆，故选D
34.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原
点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是___________。

【答案】
【解析】抛物线的焦点为，则双曲线的右焦点为，则。

由于双曲线上的点
到坐标原点的最短距离为1，因而，则。

所以双曲线的标准方程是
【考点】双曲线的方程
点评：解决双曲线的问题，有时要用到双曲线的特点：双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值是为２ａ．
35.双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围
【答案】
【解析】略
36.已知点是双曲线-=1右支上一点,是双曲线的右焦点，点在直线上，若
且,则双曲线的离心率
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点P坐标为，根据条件知四边形是边长为c的菱形；则
代入椭圆方程得：
，，
故选C
37.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为，渐近线方程为．
【答案】，
【解析】略
38.（本小题共12分）
已知双曲线过点A（2，3），其一条渐近线的方程为
（I）求该双曲线的方程；
（II）若过点A的直线与双曲线右支交于另一点B，的面积为，其中O为坐标原点，求直线AB的方程。

【答案】
【解析】略
39.（．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，，点C满足，其中且。

（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（且）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围。

【答案】解：（1）设，则。

，即点C的轨迹方程为。

（2）由题意。

，。

（3）。

∴双曲线实轴长的取值范围是。

【解析】略
40.从双曲线的左焦点F引圆的切线
FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
41.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
A．5x2-y2=1B．
C．D．5x2-y2=1
【答案】D
【解析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2-a2求得b，则双曲线的方程可得．
解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
c=1，e==，a2=，b2=c2-a2=双曲线的方程为5x2-y2=1
故选D
42.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB 的中点为,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
43.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足
，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
44.过双曲线的一个焦点F作一条渐近的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线并于点B，若，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】略
45.已知点P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，I为△
的内心，若成立，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
46.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为A．B．
C．D．不确定．
【答案】B
【解析】略
47.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
48.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，双曲线离心率，则，所以，所以双曲线的渐近线方程为
49.已知F
1，F
2
分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】设P点在右支上，由，与得
，故选D
50.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率（）
A．5B．C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为，所以可设所求线方程为
.则；故选C.
【考点】双曲线的离心率.
51.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是．
【答案】.
【解析】因为双曲线的渐近线方程是，即，所以设双曲线的方程为；代入，
得，即双曲线的方程为.
【考点】双曲线的性质.
52.设抛物线，双曲线的焦点均在轴上，的顶点与的中心均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录于下表中：
1
则的方程是；的方程是．
【答案】；
【解析】由题意设抛物线方程为，双曲线方程为，据此验证5个点知只有3个点在同一抛物线上，故的方程是，再把代入双曲线方程得，故的方程是
【考点】曲线方程
53.已知双曲线的离心率为，则实数a的值为．
【答案】8
【解析】，所以，解得a=8
【考点】双曲线离心率
54.如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取PQ的中点D，连接AD，则，且，因为，，则，，由于，则，则，
，则，选B.
【考点】求离心率
55.若双曲线的离心率为2，则其渐近线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线渐近线方程为，因为双曲线的离心率为2，所以
，解得，所以渐近线的斜率为.
【考点】双曲线的性质.
56.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB 的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e
的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；
设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点
B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相
垂直，∵双曲线的离心率e ＞1，∴e=,故选：D
【考点】双曲线的简单性质
57.双曲线的焦点坐标是，离心率是．
【答案】;
【解析】由题将所给双曲线方程整理成标准形式，然后应用双曲线性质不难解决焦点坐标及离心率；
由题双曲线方程可化为所以焦点坐标为，离心率为．
【考点】双曲线的性质
58.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）
A．B．C．6D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
【考点】双曲线.
59.如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在中，，
，
.
【考点】双曲线的定义及其性质.
60.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，则．
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为，又直线截双曲线的弦长为，则有，解得：．
【考点】1．抛物线的定义；2．双曲线的标准方程．。