2018年中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第18课时三角形与等腰三角形检测湘教版

课时训练（十八）三角形与等腰三角形
|夯实基础I
一、选择题
1. ［2017 •衡阳］下列命题是假命题的是（）
A. 不在同一直线上的三点确定一个圆
B. 角平分线上的点到角两边的距离相等
C. 正六边形的内角和是720°
D. 角的边越长，角就越大
2. ［2017 •黔东南州］如图K18—1，/ ACD= 120。

，/ B= 20°,则/A 的度数是（）
图K18— 1
A .120°
B . 90°
C .100°
D . 30°
3 . [201
6
•贵港］在厶ABC中，若/ A= 95°,/ B= 40 °，则/C的度数为（）
A .35°
B . 40°
C .45°
D . 50°
4 . [201
7
•扬州］若一个三角形的两边长分别
为
2和4，则该三角形的周长可能是（）
A .6
B . 7
C .11 D.12
5 . [201
6
•西宁］下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）
A .3
cm,
4 cm, 8 cm
B .8
cm,
7 cm, 15 cm
C .5
cm,
5 cm, 11 cm
D .13
cm
,12 cm , 20 cm
6 . [201
7
•滨州］如图K18—2,在厶ABC中, AB= AC, D为BC上一点，且DA= DC, BD= BA 则/B 的大小为（
B D
图K18— 2
A .40°
B . 36°
C .80°
D . 25°
7 .[201
7
•庆阳］已知a, b, c是厶ABC的三条边长，化简|a + b —c| —|c —a —b| 的结杲为()
A .2a+ 2b—2c
B . 2a+ 2b
C .2c D.0
8 . [201
7
•天津］如图K18—3, 在厶ABC 中，AB= AC, AD,。

丘是厶ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下
列
线段的长等于BP+ EP最小值的是（)
A
图K18—3
A. BC B . CE C. AD D. AC
图K18—3
、填空题
9. _____________________________________________________________________________________________ [2017 •常德]命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：________________________________________ .
10. ___________________________________________________________________________ [2016 •徐州]若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm,则它的底边长为______________________________________________ cm.
11. [2016 •张家界]如图K18—4,在厶ABC中，点D, E, F分别是边AB, BC, CA的中点，且AB= 6 cm, AC= 8 cm
则四边形ADEF的周长等于__________ c m.
12. __________________________________________ [2017 •益阳]如图K18—5,在厶ABC中，AB= AC, / BAC= 36°, DE 是线段AC的垂直平分线，若BE= a, AE =b,则用含a、b的代数式表示△ ABC的周长为.
则BC= ________
13. [2016 •龙岩]如图K18—6, △ ABC是等边三角形，BD平分/ ABC点E在BC的延长线上，且CE= 1 , / E= 30°,
14. [2016 •南京二模]如图K18-乙一束平行太阳光照射到等边三角形上，若/ a = 28°,则/ 3 = ____________
图K18—
三、解答题
15. [201 7 •内江]如图K18—8, AD平分/ BAC ADL BD,垂足为点D, DE// AC. 求证：△ BDE是等腰三角形.
图K18—8
16. 如图K18—9, AE平分/ BAC △ AEC沿EC折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且B» DE.若/ACB= 60°, 求/B 的度数.
图K18—9
17. 如图K18—10,等边三角形ABC的边长是2, D, E分别为AB AC的中点，延长BC至点F,使CF= ^BC,连接
CD和EF.
(1) 求证：DE= CF;
(2) 求EF的长.
图K18—10
|拓展提升|
18. ［2017 •宁夏］如图K18- 11，在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM L AB PN^ AC M N分别为垂足.
(1) 求证：不论点P在BC边的何处时都有PW PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
(2) 当BP的长为何值时，四边形AMPN勺面积最大？并求出最大值.
A
参考答案
1. D
2. C ［解析］I/ACD= 120°,/ B= 20°,A Z A=Z AC—/B= 120°—20°= 100° .
3. C ［解析］根据三角形内角和定理得/ C= 180°—95°—40°= 45° .
4. C ［解析］根据“两边之差<第三边<两边之和”，所以第三边长大于2且小于6,因此周长大于8且小于12 , 所以三角形的周长可能是11.
5. D ［解析］•/ 13+ 12>20,二长度为13 cm , 12 cm , 20 cm的木棒可以构成三角形.
6. B ［解析］设/ C= x°，由DA= DC 可得/ DAC=/ C= x°,由AB= AC可得/ B=/ C= x ° . /•/ ADB=/ C+/ DAC =2x°，由于BD= BA「./ BAD=/ ADB= 2x°，根据三角形内角和定理，得x°+ x°+3x°= 180°,解得x= 36.所
以/ B= 36° .
7. D ［解析］根据三角形三边满足的条件：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，即可确定 a + b—c>0, c
—a—b v 0，所以原式=a+ b — c + c—a— b = 0,故选 D.
& B ［解析］由AB= AC,可得△ ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD 对称，连接CP贝U BP= CP因此BP+ EP的最小值为CE,故选B.
9. 如果m是有理数，那么它是整数
10. 2 3 ［解析］过顶角的顶点A作ADL BC于D点.
•/ AB= AC, •••/ B=Z C,
又/ BAC= 120°,「./ B= 30° .
•/ AD丄BC, • BC= 2BD.
•/ AB= 2,
占厂
•••在Rt △ ABD中，BD= ABcosB= 2X 三= 3,
• BC= 2 3.
11. 14 ［解析］因为点D, E , F分别是边AB BC, CA的中点，所以DE EF ABC的中位线，DE= AF= 4 , AD =EF= 3.故四边形ADEF的周长为2(AD + EF) = 14.
12. 2a+ 3b
13. 2 ［解析］在等边三角形ABC中，/ ABC=Z AC= 60° , BA= BC, •/ BD平分/ ABC DBC=Z E= 30° , BD
丄AC •••在Rt △ BDC中，BC= 2DC.由外角性质有/ ACB=Z E+Z CD= 60° , CD= 30° , • CD= CE= 1, • BC= 2CD =2.
14. 32 ［解析］依题意有Z a +Z 3 = 60°,又Z a = 28°,
3 = 32 ° .
15. 证明：T DE// AC •••/ CAD=Z EDA
•/ AD平分Z BAC •Z CAD=Z BAD
•Z BAD=Z EDA.
•/ AD丄BD,
•Z BAD+Z B= 90°, Z EDA+Z BDE= 90°.
•Z B=Z BDE.
•△ BDE是等腰三角形.
16. 解：如图，由折叠的性质知Z 3=Z 4,即CE是Z ACB的平分线.
又••• AE平分Z BAC
•根据三角形三条角平分线交于一点，
连接BE,贝U BE平分Z ABC.
设Z 5=Z 6= x°,则Z ABC= 2x°.
•/ BD= DE
•Z 5 =Z 7 = x°.
由三角形外角性质得Z EDC=Z 5+Z 7= 2x ° ,
•Z 2 =Z EDC= 2x° ,
•Z BAC= 4x° ,
根据三角形内角和定理建立方程2x° + 4x°+ 60°= 180°,解得x = 20 ,
•Z ABC= 2x°= 40°.
17. 解：(1)证明：T D, E分别为AB, AC的中点，
1
• DE// BC M DE= ^BC.
1
T CF=尹C,
• DE= CF.
⑵由(1)知DE// FC, DE= CF,
•四边形DEFC是平行四边形，
• DC= EF.
T D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2 ,
• AD= BD= 1, CD! AB BC= 2 ,
• DC= 3,
• EF= 3.
18 .解：(1)证明：连接AP, •/△ ABC是等边三角形，• AB= BC= AC设BC边上的高为h, •/ PM丄AB PN丄AC
1 1 1
S AABC = S A ABP + S A ACP = qAB ・ MPb qAC° PN= 2BC(PMH- PN),
1
又 TS A ABC =
PN= h ,即不论点
(2)设 BP = x ，在 Rt △ BMP 中，/ BMP= 90° / B = 60°,
1
S A BMP = gBM ・ MP= 2 • 2* •
T BC = 2, . PC = 2 — x ，同理可得： S A PNC =
又 TS A ABC =
X2 2= •-』3 ,
r
J 3 2 A
/3 2
• • S 四边形 AMP = S A ABC 一 S A BM — S A PN <= ■ ?3 一 X — (2 一 X ) =
8 8
•••当BP = 1时，四边形 AMPIN 勺面积最大，最大值是 一4~
BM= BP •
cos60 1
=2X , MP= BP- sin60 P 在BC 边的何处时都有PW PN 的长恰好等于三角形
ABC 一边上的
1 1 3 3 2
x = x .
2 2 2 8
B
-x)2.。