黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题(理)(1)

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年
高二上学期第二次月考（理）
考试时间：120分钟 分值：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．．．．．．．．．．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签．．．．．．．．．．．．．．．．字笔描绘。

．．．．．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．抛物线：的焦点坐标是 （ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知p ，q 是简单命题，那么“p ∧q 是真命题”是“￢p 是真命题”的 （ ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 （ ） A 、任意一个无理数，它的平方是有理数 B 、任意一个无理数，它的平方不是有理数 C 、存在一个无理数，它的平方是有理数 D 、存在一个无理数，它的平方不是有理数
4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交
C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 2
4
＝1 5.已知双曲线22
22:1y x C a b
-=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）
A.33
y x =±
B.3y x =±
C.2y x =±
D.5y x =±
6.设 ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ） A.
172 B.3 C.5 D.9
2
8．若椭圆
22
1369
x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A.2 B.-2 C.
13 D.12
- 9．已知一动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆的圆心P 的轨迹
（ ）
A ．双曲线的一支
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．圆
10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是 ( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
11.已知双曲线22
2
21(0,0)x y a b a b -=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两
点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A ．⎝⎛⎭
⎫1，3
2 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭
⎫3
2，＋∞ D ． (2，＋∞) 12．直线l 与抛物线C ：2
2y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率1k ，2k 满足122
3
k k =，则l 一定过点 （ ） A ．()3,0-
B ．()3,0
C ．()1,3-
D,()2,0-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.在空间直角坐标系中，点(5,3,1)M -关于x 轴的对称点的坐标为
14．已知命题
2
:,x 0p x R a ∀∈-≥，命题2
000:,x 220q x R ax a ∃∈++-=.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．
15.过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆22
24
a x y +=的切
线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率是 .
16.过椭圆22194
x y +=内一点(2,0)M 引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）『选修4-4：坐标系与参数方程』
在极坐标系中，已知点4,
4A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，直线为sin 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的非负半轴, 建立平面直角坐标系,椭圆
(为参数)，
（1）求点4,4A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
的直角坐标与椭圆的普通方程； （2）求点4,4A π⎛⎫
⎪⎝
⎭
到直线sin 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
的距离.
18. （本小题满分12分）『选修4-4：坐标系与参数方程』
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴
的非负半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l 的参数方程是: 22{(t )22x m t y t
=+
=为参数 .
(Ⅰ) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程, 将直线的参数方程化为普通方程; (Ⅱ) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 且|AB |14=, 试求实数m 值. 19．（本小题满分12分）
已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为2
2，过点B (0，－2)及左焦
点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.
cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩23ϕ
(1)求椭圆的方程； (2)求弦CD 长．
20. （本小题满分12分）『选修4-4：坐标系与参数方程』
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1+cos {
()
sin x y ϕ
ϕϕ==为参数．以O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是
，射
线与圆C 的交点为O 、P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．
21．（本小题满分12分）
过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)，作倾斜角互补的两直线AB 、AC 交抛物线于B 、C .求证:直线BC 的斜率为定值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>，圆Q :22
4230x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C 上，
点(0,1)P 到椭圆C 的右焦点的距离为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB ∆=∠，求直线l 的方程.
——★ 参*考*答*案 ★——
一、选择题（每小题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
D
B
A
A
A
A
D
A
B
D
A
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、(-5,-3,-1) 14、 15.
102 16、()2
2911
4x y -+=
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）点4,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
化成直角坐标为()
22,22.椭圆普通方程22
143x y +=.
直线sin 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭
，化成直角坐标方程为22122x y +=，即20x y +-=. （2）由题意可知，点4,
4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
到直线sin 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
的距离，就是点()
22,22到直线20x y +-=的距离，由距离公式可得22222
32
d +-=
=.
18.解: (I) 曲线C 的极坐标方程是
化为直角坐标方程为:
直线的直角坐标方程为:
，
(Ⅱ): 把(是参数) 代入方程
, 得
,
.
所以 ，
所以
或
19. 解(1)由题意知b ＝1，c a ＝2
2
，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1.
易得椭圆方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C (x 1
，y 1
)，D (x 2
，y 2
)，则⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝－
169
x 1
·x 2
＝2
3
∴|CD |＝5|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·
⎝⎛⎭⎫－1692－4×23＝109
2，
20．.（Ⅰ）圆的普通方程是
，又所以圆的极
坐标方程是
.
（Ⅱ）设为点的极坐标，则有，解得，
设为点的极坐标，则有，解得，
由于，所以，所以线段的长为.
21．『证明』 设B (x 21，x 1)，C (x 22，x 2)(|x 1|≠|x 2|)，
则k BC ＝x 1－x 2x 21－x 22＝1
x 1＋x 2；k AB ＝x 1－2x 21－4，k AC ＝x 2－2x 22－4.
∵AB ，AC 的倾斜角互补．∴k AB ＝－k AC . ∴x 1－2x 21－4＝－x 2－2
x 22－4，∴x 1＋2＝－(x 2＋2)， ∴x 1＋x 2＝－4.∴k BC ＝－1
4
为定值．
22、解：（1）因为椭圆C 的右焦点(,0)F c ，||2PF =，所以3c =，
因为(2,1)Q 在椭圆C 上，所以
22
41
1a b +=， 由223a b -=，得26a =，23b =，
所以椭圆C 的方程为22
163
x y +=．
（2）由tan AQB S AQB ∆=∠得：
1
sin tan 2
QA QB AQB AQB ⋅∠=∠， 即cos 2QA QB AQB ⋅∠=，可得2QA QB ⋅=，
①当l 垂直x 轴时，(2,31)QA QB ⋅=--(2,31)4132⋅---=+-=， 此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0x =； ②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，
由22
1,631x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得22
(12)440k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122412k x x k -+=
+，12
2
4
12x x k -=+， 代入2QA QB ⋅=可得：1122(2,1)(2,1)2x y x y --⋅--=， 代入111y kx =+，221y kx =+，得21212(2)(2)2x x k x x --+=，
代入化简得：222
4(1)8201212k k k k -+++=++，解得1
4
k =， 经检验满足题意，则直线l 的方程为440x y -+=， 综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+=。